Factorul $$\dfrac12$$ din formula lui $$y_G$$:

apare doar când $$f$$ este liniară

Cum aflu centrul de greutate cu integrale?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Centrul de greutate al plăcii plane

Calculezi întâi aria plăcii, fiindcă ea stă la numitorul amândurora coordonatelor, apoi $x_{G} = \frac{1}{S} \int_{a}^{b} x f (x) d x$ și $y_{G} = \frac{1}{2 S} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ . Locul lui atârnă doar de conturul plăcii, nu de materialul folosit. Formulele se verifică pe figurile din gimnaziu: pentru un dreptunghi iese chiar centrul lui geometric.

Centrul de greutate al unei plăci plane omogene este punctul în care placa stă în echilibru sprijinită pe un vârf; poziția lui depinde numai de forma plăcii, nu de material. Pentru placa de sub graficul funcției continue și pozitive $f$ pe $[a, b]$ , coordonatele lui $G$ sunt $x_{G} = \frac{1}{S} \int_{a}^{b} x f (x) d x$ și $y_{G} = \frac{1}{2 S} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ , unde $S$ este aria plăcii — de aceea aria se calculează prima, fiind la numitorul ambelor coordonate. Formulele se dau, cu intuiția „media ponderată a pozițiilor”, și se verifică pe figurile din gimnaziu: dreptunghiul dă centrul geometric, triunghiul dă $\frac{h}{3}$ . Factorul $\frac{1}{2}$ de la $y_{G}$ nu este decorativ — vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii ei; fără el, pe dreptunghi ar ieși $h$ în loc de $\frac{h}{2}$ . La numărătorul lui $x_{G}$ puterea lui $x$ este $1$ : se ponderează poziția $x$ cu masa $f (x) Δ x$ . Pentru placa dintre $g \leq f$ , numărătorii devin $\int_{a}^{b} x (f - g)$ și $\frac{1}{2} \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2})$ , iar numitorul $\int_{a}^{b} (f - g)$ . Propoziția simetriei: dacă $f$ este pară pe un interval simetric, atunci $x_{G} = 0$ — dar nu și $y_{G}$ , care rămâne strict pozitiv.

De reținut

$x_{G} = \frac{1}{S} \int_{a}^{b} x f (x) d x$
$y_{G} = \frac{1}{2 S} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$
$f$ pară pe interval simetric: $x_{G} = 0$

Greșeala tipică

Se uită factorul $\frac{1}{2}$ de la a doua coordonată. El apare fiindcă mijlocul fiecărei fâșii stă la jumătatea înălțimii ei; fără el, pe un dreptunghi ar ieși chiar latura de sus.

Exerciții din această mini-lecție

Centrul de greutate al plăcii de sub graficul funcției $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = 2 x$ , este:
- a) $G (1, 5; 3)$
- b) $G (2; 4)$
- c) $G (2; 2)$
- d) $G (1, 5; 1, 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $G (2; 2)$

Aria este $S = \int_{0}^{3} 2 x d x = 9$ , deci $x_{G} = \frac{1}{9} \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x = 2$ și $y_{G} = \frac{1}{18} \int_{0}^{3} 4 x^{2} d x = 2$ . Control de gimnaziu: placa este triunghiul cu vârfurile $(0, 0)$ , $(3, 0)$ , $(3, 6)$ , al cărui centru de greutate este $(\frac{0 + 3 + 3}{3}; \frac{0 + 0 + 6}{3}) = (2; 2)$ . Varianta $G (2; 4)$ apare dacă se uită factorul $\frac{1}{2}$ de la $y_{G}$ .
Factorul $\frac{1}{2}$ din formula lui $y_{G}$ :
- a) este o convenție de normare
- b) vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii
- c) provine din aria triunghiului
- d) apare doar când $f$ este liniară
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii

Placa se taie în fâșii verticale de înălțime $f (x)$ ; centrul unei fâșii se află la înălțimea $\frac{f ( x )}{2}$ , iar ponderarea acestei înălțimi cu masa fâșiei produce $\frac{1}{2 S} \int f^{2}$ . Verificarea: pe un dreptunghi de înălțime $h$ trebuie să iasă $\frac{h}{2}$ ; fără factor ar ieși $h$ , adică marginea de sus a plăcii.
Placa de sub graficul funcției $f (x) = 4 - x^{2}$ pe $[- 2, 2]$ este simetrică față de axa $O y$ . Rezultă că:
- a) $G$ este originea
- b) $y_{G} = 0$
- c) $x_{G} = y_{G} = 0$
- d) $x_{G} = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x_{G} = 0$

Simetria față de o axă anulează coordonata perpendiculară pe acea axă: față de $O y$ se anulează $x_{G}$ . Cum placa stă deasupra axei $O x$ , coordonata $y_{G}$ este strict pozitivă, deci celelalte trei variante sunt false. Rezultatul se demonstrează cu teorema integralei funcțiilor impare: $x f (x)$ este impară pe un interval simetric.

Întrebări conexe

Ce se calculează prima dată la centrul de greutate?

Aria plăcii. Ea apare la numitorul amândurora coordonatelor, deci fără ea nu se poate scrie niciuna. La placa dintre două grafice, aria este integrala diferenței, iar aceeași diferență apare și în cele două numărătoare.

Ce se întâmplă cu centrul de greutate dacă mut placa pe verticală?

Se mută și el, cu exact aceeași distanță, fiindcă forma rămâne neschimbată. Prima coordonată nu se modifică deloc. Proprietatea aceasta ajută la verificare: dacă rezultatul nu urmează mutarea plăcii, undeva s-a strecurat o greșeală de calcul.

Ce putere are x la numărătorul abscisei centrului de greutate?

Puterea întâi. Se cântărește poziția fiecărei fâșii verticale cu masa ei, iar masa este proporțională cu înălțimea fâșiei. De aceea în integrală apare produsul dintre variabilă și funcție, nu pătratul vreuneia dintre ele.

Ce înseamnă media ponderată a pozițiilor?

Că fiecare fâșie a plăcii contribuie cu poziția ei, cântărită de cât material are. Fâșiile înalte trag centrul spre ele, cele scunde mai puțin. Împărțirea la arie este chiar împărțirea la suma ponderilor, ca la orice medie ponderată.

Cât este ordonata centrului de greutate al unui triunghi?

Se află la o treime din înălțime, măsurată de la latura pe care se sprijină. Rezultatul cunoscut din gimnaziu iese și din formulele cu integrale, ceea ce arată că au fost scrise corect; același control se face și pe dreptunghi.

Oamenii mai întreabă și: centrul de greutate al unei plăci · formula centrului de greutate cu integrale · coordonatele centrului de greutate · centrul de greutate al semidiscului · media ponderată a pozițiilor