Cum se scrie interiorul unui cerc?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Cercul: ecuația canonică

Cu inegalitatea $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ , unde $C (a, b)$ este centrul. Punctele care o verifică stau mai aproape de centru decât raza, iar reunite cu curba formează discul. Cercul rămâne doar curba, adică punctele pentru care are loc egalitatea, în timp ce exteriorul se scrie cu semnul mai mare. Comparând cele două numere afli imediat unde se află un punct dat.

Cercul de centru $C$ și rază $r > 0$ este locul geometric al punctelor $M$ din plan cu $M C = r$ ; centrul și raza îl determină complet. Punctele cu $M C < r$ formează interiorul, iar reuniunea cercului cu interiorul lui se numește disc — cercul însuși este doar curba, nu suprafața.

Așezând centrul în $C (a, b)$ și folosind formula distanței, condiția $M C = r$ devine $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$ , iar prin ridicare la pătrat, echivalentă pentru că ambii membri sunt nenegativi, se obține ecuația canonică: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ . Din ea elementele se citesc direct: coordonatele centrului sunt numerele scăzute în paranteze, cu semn schimbat, iar raza este radicalul membrului drept, nu membrul drept.

Poziția unui punct $M (x_{0}, y_{0})$ față de cerc se decide comparând $(x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2}$ cu $r^{2}$ : mai mic înseamnă interior, egal înseamnă pe cerc, mai mare înseamnă exterior. Două construcții revin des: cercul de centru dat care trece printr-un punct are $r^{2}$ egal cu pătratul distanței de la centru la acel punct; cercul de diametru $A B$ are centrul în mijlocul lui $A B$ și raza $\frac{A B}{2}$ . Cercul nu este graficul unei funcții: pentru un $x$ interior intervalului există două valori ale lui $y$ , iar curba este reuniunea graficelor funcțiilor $b \pm r^{2} - (x - a)^{2}$ .

De reținut

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , cu centrul $C (a, b)$ și raza $r$
în membrul drept stă $r^{2}$ , iar centrul se citește cu semn schimbat
cercul este curba; discul este curba împreună cu interiorul

Greșeala tipică

Se spune că un punct din interior aparține cercului. Cercul cuprinde numai punctele aflate exact la distanța $r$ de centru, iar cele mai apropiate formează interiorul, care împreună cu curba alcătuiește discul.

Exerciții din această mini-lecție

Centrul și raza cercului $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ sunt:
- a) $C (4, - 3)$ și $r = 36$
- b) $C (4, - 3)$ și $r = 6$
- c) $C (- 4, 3)$ și $r = 6$
- d) $C (- 4, 3)$ și $r = 36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $C (- 4, 3)$ și $r = 6$

Forma canonică conține scăderi, deci $(x + 4)^{2} = (x - (- 4))^{2}$ și abscisa centrului este $- 4$ , iar $(y - 3)^{2}$ dă ordonata $3$ . Membrul drept este $r^{2} = 36$ , deci $r = 6$ . Cele două greșeli tipice sunt exact distractorii: uitarea schimbării de semn și confundarea razei cu pătratul ei.
Punctul $A (1, 2)$ se află, față de cercul $(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ :
- a) în interiorul cercului
- b) în exteriorul cercului
- c) în centrul cercului
- d) pe cerc
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) pe cerc

Substituim coordonatele în membrul stâng: $(1 - 4)^{2} + (2 + 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ , exact cât este $r^{2}$ . Egalitatea înseamnă $A C = r$ , deci punctul se află pe curbă. Dacă rezultatul ar fi fost mai mic decât $25$ , punctul ar fi fost interior, iar dacă ar fi fost mai mare, exterior.
Cercul care are drept diametru segmentul cu capetele $A (- 1, 2)$ și $B (5, 10)$ are ecuația:
- a) $(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 25$
- b) $(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 100$
- c) $(x + 2)^{2} + (y + 6)^{2} = 25$
- d) $(x - 4)^{2} + (y - 12)^{2} = 25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 25$

Centrul este mijlocul lui $A B$ : $(\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{2 + 10}{2}) = (2, 6)$ . Lungimea diametrului este $A B = 36 + 64 = 10$ , deci raza este $5$ și $r^{2} = 25$ . Varianta cu $100$ pune diametrul în locul razei, iar cea cu $(4, 12)$ ia suma coordonatelor în loc de semisumă.

Întrebări conexe

De ce se schimbă semnul la citirea centrului?

Fiindcă forma canonică conține scăderi. Din $(x + 3)^{2}$ se citește $(x - (- 3))^{2}$ , deci abscisa centrului este $- 3$ , nu $3$ . Regula scurtă spune că numerele din paranteze se iau cu semn schimbat, iar verificarea se face substituind centrul găsit.

De ce se confundă raza cu pătratul ei la citirea ecuației?

Pentru că în membrul drept stă $r^{2}$ , nu $r$ . Din $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ raza este $4$ , nu $16$ . Controlul rapid: punctul $(5, - 3)$ trebuie să se afle pe cerc, ceea ce se verifică printr-o substituție.

Cum se stabilește poziția unui punct față de un cerc?

Se calculează $(x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2}$ și se compară cu $r^{2}$ . Un rezultat mai mic arată un punct interior, egalitatea îl așază pe curbă, iar unul mai mare îl trimite în exterior. Nu e nevoie de radical, fiindcă amândouă numerele comparate sunt nenegative.

Ce înseamnă că centrul și raza determină complet un cerc?

Că nu mai e nevoie de nicio altă informație: perechea formată din punctul $C$ și numărul $r > 0$ scrie singură ecuația. De aceea orice problemă de determinare a unui cerc se reduce la aflarea acestor două lucruri, oricum ar fi formulat enunțul.

Cum trec de la forma generală la centru și rază?

Grupezi termenii cu $x$ și pe cei cu $y$ și formezi două pătrate perfecte, adăugând de fiecare dată pătratul jumătății coeficientului de gradul întâi. Ce ai adăugat trebuie adăugat și în membrul drept. La final citești centrul din paranteze și raza din numărul rămas.

De ce este echivalentă ridicarea la pătrat la deducerea ecuației cercului?

Fiindcă amândoi membrii comparați sunt nenegativi: în stânga un radical, în dreapta raza, care este strict pozitivă. Pentru numere nenegative, egalitatea pătratelor înseamnă egalitatea numerelor, așa că pasul nu adaugă și nu pierde soluții.

Oamenii mai întreabă și: ecuația cercului · centrul și raza dintr-o ecuație · interiorul unui cerc · diferența dintre cerc și disc · ecuația cercului cu centrul în origine