Când este o dreaptă secantă unui cerc?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Cercul și dreapta. Tangenta la cerc

Atunci când distanța de la centru la dreaptă rămâne mai mică decât raza. Distanța se calculează cu $δ = \frac{∣ A a + B b + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ , unde $(a, b)$ sunt coordonatele centrului, iar modulul de la numărător nu se uită niciodată. Celelalte două poziții ies din aceeași comparație: egalitatea dă tangentă, iar o distanță mai mare dă dreaptă exterioară. Coarda tăiată are lungimea $2 r^{2} - δ^{2}$ .

O dreaptă are față de un cerc exact una dintre trei poziții — secantă, tangentă sau exterioară — iar decizia se ia comparând distanța $δ$ de la centru la dreaptă cu raza: $δ < r$ înseamnă secantă, $δ = r$ tangentă, $δ > r$ exterioară. Distanța se calculează cu $δ = \frac{∣ A a + B b + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ , întotdeauna cu modul, iar comparația se face fie între $δ$ și $r$ , fie între pătratele lor, niciodată amestecat.

Al doilea criteriu, valabil la orice conică, este discriminantul sistemului format din cele două ecuații: pozitiv înseamnă secantă, nul înseamnă tangentă cu rădăcină dublă, negativ înseamnă exterioară. Cele două criterii dau același răspuns, prin identitatea $\frac{Δ}{4} = (1 + m^{2}) (r^{2} - δ^{2})$ . O dreaptă verticală nu se scrie sub forma $y = m x + n$ : se substituie $x = x_{0}$ direct în ecuația cercului și se discută ecuația obținută în $y$ .

Coarda tăiată de o secantă are lungimea $2 r^{2} - δ^{2}$ , deci se află fără a calcula punctele de intersecție. Cei trei pași ai tangentei la cerc: verifici că punctul este pe cerc, calculezi panta razei, scrii tangenta cu panta $- \frac{1}{m _{raz \overset{a}{˘}}}$ , pentru că tangenta este perpendiculară pe rază. Dintr-un punct exterior aflat la distanța $C P$ de centru se duc două tangente, fiecare de lungime $C P^{2} - r^{2}$ , iar verticala prin acel punct se verifică separat.

De reținut

$δ < r$ secantă, $δ = r$ tangentă, $δ > r$ exterioară
coarda: $2 r^{2} - δ^{2}$ ; tangenta din exterior: $C P^{2} - r^{2}$
tangenta cade perpendicular pe rază în punctul de contact

Greșeala tipică

Se uită modulul de la numărătorul distanței. Rezultatul poate ieși negativ, iar o dreaptă care taie cercul ajunge să fie declarată exterioară, deși calculul de dinainte era corect.

Exerciții din această mini-lecție

Poziția dreptei $3 x + 4 y - 30 = 0$ față de cercul $x^{2} + y^{2} = 36$ este:
- a) tangentă
- b) exterioară
- c) trece prin centrul cercului
- d) secantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) tangentă

Distanța de la centrul $O (0, 0)$ la dreaptă este $δ = \frac{∣ - 30 ∣}{9 + 16} = \frac{30}{5} = 6$ , iar raza este $r = 36 = 6$ . Cum $δ = r$ , dreapta este tangentă. Dacă am fi comparat $δ = 6$ cu $r^{2} = 36$ , am fi conchis greșit „exterioară” — de aceea comparația se face între mărimi de același fel.
Lungimea coardei determinate de dreapta $y = 6$ pe cercul $x^{2} + y^{2} = 100$ este:
- a) $8$
- b) $20$
- c) $12$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $16$

Distanța de la centru la dreapta orizontală $y = 6$ este $δ = 6$ , iar $r = 10$ . Coarda are lungimea $2 r^{2} - δ^{2} = 2 100 - 36 = 2 \cdot 8 = 16$ . Verificare directă: din $x^{2} + 36 = 100$ rezultă $x = \pm 8$ , deci capetele sunt $(- 8, 6)$ și $(8, 6)$ , la distanța $16$ unul de altul.
Tangenta la cercul $x^{2} + y^{2} = 169$ în punctul $M (5, 12)$ are ecuația:
- a) $12 x + 5 y - 120 = 0$
- b) $5 x + 12 y - 169 = 0$
- c) $5 x - 12 y + 119 = 0$
- d) $12 x - 5 y = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5 x + 12 y - 169 = 0$

Punctul este pe cerc: $25 + 144 = 169$ . Raza $O M$ are panta $\frac{12}{5}$ , deci tangenta are panta $- \frac{5}{12}$ și ecuația $y - 12 = - \frac{5}{12} (x - 5)$ , adică $5 x + 12 y - 169 = 0$ . Controlul final durează zece secunde: distanța de la $O$ la această dreaptă este $\frac{169}{13} = 13 = r$ .

Întrebări conexe

Ce lungime are tangenta dusă dintr-un punct exterior?

Iese $C P^{2} - r^{2}$ , unde $C P$ este distanța de la punct la centru. Formula vine din teorema lui Pitagora în triunghiul format de centru, punct și punctul de contact, unde unghiul drept stă la contact. Cele două tangente duse din același punct au lungimi egale.

Cum aflu punctele în care dreapta taie cercul?

Scoți $y$ din ecuația dreptei și îl pui în ecuația cercului. Rămâne o ecuație de gradul al doilea în $x$ , iar rădăcinile ei dau abscisele punctelor comune; ordonatele se află înlocuind valorile găsite înapoi în ecuația dreptei.

Ce identitate leagă discriminantul de distanța la centru?

Egalitatea $\frac{Δ}{4} = (1 + m^{2}) (r^{2} - δ^{2})$ . Factorul din față este strict pozitiv, deci semnul discriminantului urmează semnul diferenței dintre pătratul razei și pătratul distanței. Cele două criterii dau, prin urmare, întotdeauna același răspuns.

De ce se pune modul la formula distanței de la punct la dreaptă?

Fiindcă o distanță nu poate fi negativă, iar expresia $A a + B b + C$ își schimbă semnul după partea în care se află punctul. Fără modul, un punct așezat de o parte ar da un număr negativ, iar comparația cu raza ar duce la o concluzie răsturnată.

Ce se compară: distanța cu raza sau pătratele lor?

Ori una, ori alta, dar nu amestecat. Numerele fiind nenegative, ordinea se păstrează la ridicarea la pătrat, deci ambele variante duc la același răspuns. Compararea distanței cu pătratul razei este însă greșită și se vede mai ales când raza este subunitară.

Ce pantă are tangenta față de panta razei?

Este opusul inversului ei, fiindcă tangenta cade perpendicular pe rază în punctul de contact. Dacă raza are panta $m$ , tangenta are panta $- \frac{1}{m}$ . Când raza iese verticală, tangenta este orizontală, iar formula se înlocuiește cu observația directă.

Oamenii mai întreabă și: poziția unei drepte față de cerc · tangenta la cerc · dreapta secantă cercului · lungimea coardei · distanța de la centru la dreaptă