Care dintre următoarele funcții definite pe $$[0, 1]$$ nu este integrabilă?

$$f(x) = \dfrac{1}{x}$$ pentru $$x \in (0, 1]$$ și $$f(0) = 0$$

$$f(x) = 3$$ pentru $$x \in \left[0, \dfrac12\right)$$ și $$f(x) = 5$$ pentru $$x \in \left[\dfrac12, 1\right]$$

Justificarea corectă a integrabilității funcției $$f : [1, 4] \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \ln x$$, este:

$$f$$ este continuă pe $$[1, 4]$$, deci integrabilă

$$f$$ este derivabilă pe $$[1, 4]$$

$$f$$ este mărginită pe $$[1, 4]$$

$$f$$ este o funcție elementară

Orice funcție integrabilă pe $$[a, b]$$ este mărginită. Reciproca acestei afirmații:

este falsă, funcția lui Dirichlet fiind contraexemplu

este adevărată numai pentru funcții continue

Ce funcții sunt sigur integrabile?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Clase de funcții integrabile

Trei clase acoperă tot ce apare în probleme: funcțiile continue pe un interval închis și mărginit, funcțiile monotone pe un astfel de interval și funcțiile mărginite care au discontinuități în număr finit. Primele două rezultate se admit fără demonstrație. În sens invers lucrează mărginirea: o funcție nemărginită pe $[a, b]$ nu are cum să fie integrabilă acolo.

Definiția cu $ε$ și $δ$ este greu de aplicat direct, așa că se folosesc teoreme de clasă. Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile: orice funcție continuă pe $[a, b]$ este integrabilă. Teorema 2 de la clasele de funcții integrabile: orice funcție monotonă pe $[a, b]$ este integrabilă. Ambele se admit fără demonstrație, iar intuiția celei de-a doua este că toate sumele Riemann de pe o diviziune se strâng într-o bandă de lățime cel mult $∥ Δ ∥ (f (b) - f (a))$ .

Se demonstrează, prin reducere la absurd, că orice funcție integrabilă este mărginită. Contrapoziția ei este criteriul negativ al mărginirii: o funcție nemărginită pe $[a, b]$ nu este integrabilă. Reciproca este falsă — funcția lui Dirichlet este mărginită și neintegrabilă.

A treia unealtă: o funcție mărginită pe $[a, b]$ , cu un număr finit de puncte de discontinuitate, este integrabilă, indiferent de speța lor. Speța contează la primitive, nu la integrabilitate.

La examen justificarea se scrie în două rânduri și numește criteriul din grilă — continuitate, monotonie sau mărginire cu discontinuități izolate. Abia după justificare intră în joc principiul șirului convenabil: valoarea integralei se poate afla ca limită a sumelor Riemann pe un singur șir de diviziuni cu norma tinzând la zero.

De reținut

continuă pe $[a, b]$ $\Rightarrow$ integrabilă
monotonă pe $[a, b]$ $\Rightarrow$ integrabilă
integrabilă $\Rightarrow$ mărginită
mărginirea singură nu ajunge

Greșeala tipică

Se trece direct la calcul, fără propoziția care justifică integrabilitatea. Baremul o punctează separat, iar la limitele cu sume Riemann rezolvarea rămâne fără ea incompletă.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele funcții definite pe $[0, 1]$ nu este integrabilă?
- a) $f (x) = [x]$
- b) $f (x) = \frac{1}{x}$ pentru $x \in (0, 1]$ și $f (0) = 0$
- c) $f (x) = x^{2} + 1$
- d) $f (x) = 3$ pentru $x \in [0, \frac{1}{2})$ și $f (x) = 5$ pentru $x \in [\frac{1}{2}, 1]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = \frac{1}{x}$ pentru $x \in (0, 1]$ și $f (0) = 0$

Funcția de la b) este nemărginită în vecinătatea lui $0$ , iar criteriul negativ al mărginirii spune că o funcție nemărginită nu este integrabilă. Celelalte sunt mărginite: a) și d) sunt monotone (sau mărginite cu o singură discontinuitate), iar c) este continuă.
Justificarea corectă a integrabilității funcției $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = ln x$ , este:
- a) $f$ este derivabilă pe $[1, 4]$
- b) $f$ este mărginită pe $[1, 4]$
- c) $f$ este o funcție elementară
- d) $f$ este continuă pe $[1, 4]$ , deci integrabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ este continuă pe $[1, 4]$ , deci integrabilă

Baremul cere numit criteriul din grilă: continuitatea, care dă integrabilitatea prin Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile (monotonia ar fi o a doua justificare validă). „Derivabilă” și „elementară” nu sunt criterii, iar mărginirea este necesară, nu suficientă — funcția lui Dirichlet este mărginită și neintegrabilă.
Orice funcție integrabilă pe $[a, b]$ este mărginită. Reciproca acestei afirmații:
- a) este adevărată
- b) este adevărată numai pentru funcții continue
- c) este falsă, funcția lui Dirichlet fiind contraexemplu
- d) nu are sens
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) este falsă, funcția lui Dirichlet fiind contraexemplu

Funcția lui Dirichlet este mărginită, dar pe aceeași diviziune două sisteme de puncte intermediare dau sumele $b - a$ și $0$ , deci nu există niciun număr $I$ ca în definiție. Implicația merge într-un singur sens: integrabilă $\Rightarrow$ mărginită.

Întrebări conexe

Contează speța discontinuității la integrabilitate?

Nu. O funcție care rămâne mărginită și are doar câteva puncte de discontinuitate este integrabilă, oricare ar fi felul acelor puncte. Speța contează la cu totul altceva: la existența primitivelor, unde o discontinuitate cu limite laterale finite și diferite le exclude cu totul.

Ce nu garantează criteriile de integrabilitate?

Ele dau condiții suficiente, nu și necesare. O funcție care nu este nici continuă, nici monotonă poate fi totuși integrabilă; criteriile arată doar situațiile în care răspunsul este sigur da, fără să spună ceva despre celelalte.

Rămâne integrabilă restricția la un subinterval?

Da. Dacă funcția este integrabilă pe $[a, b]$ , ea rămâne integrabilă pe orice porțiune $[c, d]$ cuprinsă acolo. Pe această proprietate se sprijină ruperea integralei în bucăți, atunci când funcția se schimbă de la o zonă la alta.

De ce se strâng sumele Riemann într-o bandă la funcțiile monotone?

Pentru că pe fiecare bucată valorile funcției stau între valorile din capete, deci toate sumele diferă cu cel mult $∥ Δ ∥ (f (b) - f (a))$ . Când norma scade, banda se subțiază, iar sumele nu mai au unde să se împrăștie.

Ce criteriu se alege la o funcție care nu este continuă?

Se trece la monotonie: dacă funcția urcă sau coboară pe tot intervalul, este integrabilă. Când nici asta nu se potrivește, se caută mărginirea împreună cu un număr finit de puncte de ruptură, iar la urmă rămân sumele Riemann.

Oamenii mai întreabă și: ce funcții sunt integrabile · teoreme de integrabilitate · funcție continuă este integrabilă · funcție monotonă integrabilă · orice funcție integrabilă e mărginită