Ce resturi poate da un pătrat împărțit la 4?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Clasele de resturi în aritmetică

Doar $0$ și $1$ . Orice întreg este par sau impar: dacă $a = 2 k$ , atunci $a^{2} = 4 k^{2}$ dă restul $0$ ; dacă $a = 2 k + 1$ , atunci $a^{2} = 4 (k^{2} + k) + 1$ dă restul $1$ . De aici iese o unealtă puternică: o ecuație în care un membru ar cere restul $2$ sau $3$ nu are soluții întregi. Aceeași idee, cu modulul potrivit, respinge multe ecuații dintr-o singură privire.

Reducerea modulo $n$ duce fiecare întreg $a$ în clasa lui $\overset{a}{^}$ și păstrează ambele operații: $a + b = \overset{a}{^} + \hat{b}$ , $ab = \overset{a}{^} \hat{b}$ , iar $n ∣ a$ exact când $\overset{a}{^} = \hat{0}$ . De aici regula practică: orice expresie polinomială cu coeficienți întregi se reduce termen cu termen, deci o afirmație despre toate numerele întregi se verifică pe cele $n$ clase — un număr finit de cazuri în locul unei infinități. Atenție la sensul invers: din $\overset{a}{^} = \hat{b}$ rezultă doar $n ∣ (a - b)$ .

Rețetele lecției: pentru o divizibilitate, descompui modulul în factori primi între ei, verifici toate clasele pentru fiecare factor și reunești concluziile (pasul final cere ca factorii să fie primi între ei). Pentru ultima cifră a unei puteri lucrezi în $Z_{10}$ : afli ordinul clasei bazei, împarți exponentul la el și păstrezi restul; pentru ultimele două cifre, în $Z_{100}$ . Pentru restul unei puteri mari folosești Consecința 2 a teoremei lui Lagrange în grupul claselor inversabile: dacă $(a, n) = 1$ și $m = card U (Z_{n}, \cdot)$ , atunci $\overset{a}{^}^{m} = \hat{1}$ . Pentru a arăta că o ecuație nu are soluții întregi, alegi un modul potrivit — $3$ , $4$ , $5$ sau $8$ la pătrate, $7$ sau $9$ la cuburi, un divizor al unui coeficient ca să elimini un termen — și arăți că cei doi membri nu iau niciodată aceeași clasă; metoda respinge, dar nu confirmă. Criteriile de divizibilitate cu $9$ și cu $11$ ies din $10 = \hat{1}$ , respectiv $10 = - 1$ .

De reținut

reducerea modulo $n$ păstrează operațiile: $a + b = \overset{a}{^} + \hat{b}$ și $ab = \overset{a}{^} \hat{b}$
pătratele dau modulo $4$ doar $\hat{0}$ și $\hat{1}$ ; cuburile dau modulo $9$ doar $\hat{0}$ , $\hat{1}$ , $\hat{8}$
dacă $(a, n) = 1$ și $m = card U (Z_{n}, \cdot)$ , atunci $\overset{a}{^}^{m} = \hat{1}$

Greșeala tipică

Se încearcă dovedirea existenței unei soluții întregi pe calea claselor de resturi. Metoda poate doar respinge: o potrivire modulo $n$ nu produce niciun număr întreg, în timp ce o nepotrivire închide problema.

Exerciții din această mini-lecție

Ultima cifră a numărului $1 3^{2027}$ este:
- a) $1$
- b) $3$
- c) $7$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7$

Lucrăm în $Z_{10}$ , unde $13 = \hat{3}$ . Puterile lui $\hat{3}$ sunt $\hat{3}, \hat{9}, \hat{7}, \hat{1}$ , deci ordinul este $4$ . Cum $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , obținem $13^{2027} = \hat{3}^{3} = \hat{7}$ . Variantele $3$ , $9$ și $1$ corespund resturilor $1$ , $2$ și $0$ — greșeala tipică este împărțirea exponentului la altceva decât la ordin.
Restul împărțirii numărului $7^{2026}$ la $15$ este:
- a) $1$
- b) $4$
- c) $7$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Cum $(7, 15) = 1$ , clasa $\hat{7}$ este inversabilă. Grupul $U (Z_{15}, \cdot) = {\hat{1}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{7}, \hat{8}, 11, 13, 14}$ are $8$ elemente, deci, din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $\hat{7}^{8} = \hat{1}$ . Din $2026 = 8 \cdot 253 + 2$ rămâne $\hat{7}^{2} = 49 = \hat{4}$ , deci restul este $4$ .
Ecuația $x^{2} + y^{2} = 2027$ nu are soluții în numere întregi. Ce modul o arată cel mai repede?
- a) modulo $4$
- b) modulo $3$
- c) modulo $5$
- d) modulo $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) modulo $4$

Modulo $4$ , pătratele sunt doar $\hat{0}$ și $\hat{1}$ , deci o sumă de două pătrate este $\hat{0}$ , $\hat{1}$ sau $\hat{2}$ — niciodată $\hat{3}$ . Dar $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , deci membrul drept este $\hat{3}$ : contradicție. Modulo $3$ pătratele sunt tot ${\hat{0}, \hat{1}}$ , dar suma lor poate lua orice valoare, deci nu decide; modulele $5$ și $10$ au mulțimi de pătrate prea mari.

Întrebări conexe

De ce se verifică toate clasele, nu doar câteva valori?

Pentru că o afirmație despre orice număr întreg se sprijină pe toate cele $n$ clase, iar fiecare număr cade în exact una dintre ele. Două-trei exemple pot ieși bine din întâmplare; tabelul complet, în schimb, acoperă o infinitate de cazuri cu un număr finit de rânduri.

Ce condiție trebuie să îndeplinească factorii unui modul compus?

Trebuie să fie primi între ei doi câte doi. Din $4 ∣ k$ și $6 ∣ k$ nu rezultă $24 ∣ k$ , contraexemplul fiind $k = 12$ . Corect se descompune $24 = 8 \cdot 3$ , cu factori fără divizor comun, iar concluziile parțiale se pot atunci reuni.

Cum arăt că o expresie este divizibilă cu un număr dat?

Treci totul în clase de resturi modulo acel număr și arăți că expresia cade în clasa nulă. Verifici pe rând fiecare clasă pe care o poate lua variabila, fiindcă ele sunt în număr finit. Metoda înlocuiește o infinitate de cazuri cu câteva.

De ce nu se aplică formula puterii unei clase neinversabile?

Fiindcă egalitatea $\overset{a}{^}^{m} = \hat{1}$ cere ca $a$ să fie prim cu modulul. Clasa $\hat{2}$ modulo $10$ nu ajunge niciodată la $\hat{1}$ : puterile ei sunt $\hat{2}$ , $\hat{4}$ , $\hat{8}$ , $\hat{6}$ , apoi se repetă. Condiția se verifică explicit înainte de orice calcul.

Ce rezultă din egalitatea a doi întregi în aceeași clasă?

Doar că modulul divide diferența lor: din $\overset{a}{^} = \hat{b}$ urmează $n ∣ (a - b)$ , nu $a = b$ . Modulo $7$ , numerele $3$ și $10$ dau aceeași clasă, deși sunt diferite. Trecerea la clase pierde informație, iar concluziile se scriu tot la nivel de clase.

Ce resturi poate da un cub la împărțirea cu 9?

Numai $0$ , $1$ și $8$ . Se verifică cele nouă clase modulo $9$ și se constată că valorile cuburilor se strâng în aceste trei. Modulul $9$ este de aceea alegerea obișnuită la ecuațiile cu cuburi, așa cum $4$ sau $8$ este alegerea la cele cu pătrate.

Oamenii mai întreabă și: resturile pătratelor perfecte · ce rest dă un pătrat la împărțirea cu 4 · ecuații fără soluții întregi · ultima cifră a unei puteri mari · aritmetică modulară la liceu