De ce trebuie demonstrată buna definire a adunării claselor?

pentru că rezultatul ar putea depinde de reprezentanții aleși

pentru că adunarea claselor nu este comutativă

pentru că $$\mathbb{Z}_n$$ este o mulțime finită

pentru că $$\hat{0}$$ ar putea să nu fie element neutru

Ce sunt clasele de resturi modulo n?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Clase de resturi; adunarea

Sunt mulțimile de numere întregi care dau același rest la împărțirea cu $n$ . Clasa lui $a$ adună toate numerele de forma $a + k n$ , iar $a$ se numește reprezentant. Există exact $n$ asemenea clase, notate de la $\hat{0}$ până la $n - 1$ , și ele acoperă toți întregii fără să se suprapună. Adunarea lor se face pe reprezentanți: $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ .

Clasa de resturi $\overset{a}{^}$ modulo $n$ este mulțimea $\overset{a}{^} = {a + k n ∣ k \in Z}$ , adică mulțimea întregilor care dau același rest ca $a$ la împărțirea cu $n$ ; numărul $a$ este un reprezentant. Restul din teorema împărțirii cu rest este mereu nenegativ și mai mic decât $n$ : din $- 7 = 3 \cdot (- 3) + 2$ rezultă $- 7 \in \hat{2}$ , nu în clasa lui $- 1$ .

Criteriul de egalitate: $\overset{a}{^} = \hat{b} ⟺ n ∣ (a - b)$ . Mulțimea $Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ are exact $n$ elemente, iar cele $n$ clase sunt disjuncte și acoperă tot $Z$ — o mulțime infinită strânsă, fără pierdere de informație, în $n$ elemente.

Adunarea se definește prin $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ , iar buna definire se demonstrează: din $n ∣ (a - a_{1})$ și $n ∣ (b - b_{1})$ rezultă $n ∣ [(a + b) - (a_{1} + b_{1})]$ . Grija nu e formală — „ $\overset{a}{^} * \hat{b} = max (a, b)$ ” nu este bine definită.

Toate proprietățile coboară de la $Z$ : adunarea claselor este asociativă și comutativă, are elementul neutru $\hat{0}$ , iar fiecare clasă are opusul $- \overset{a}{^} = n - a$ . Ecuațiile de gradul întâi se rezolvă adunând opusul; când necunoscuta apare de mai multe ori, se verifică toate cele $n$ clase, iar răspunsul poate fi „nicio soluție”.

De reținut

$\overset{a}{^} = {a + k n ∣ k \in Z}$
$\overset{a}{^} = \hat{b}$ dacă și numai dacă $n$ divide $a - b$
opusul lui $\overset{a}{^}$ este $n - a$

Greșeala tipică

Se scrie un rest negativ, de pildă $- 19$ trecut în clasa lui $- 4$ modulo $5$ . Restul din teorema împărțirii este mereu nenegativ și mai mic decât modulul, deci corect este $\hat{1}$ .

Exerciții din această mini-lecție

În $Z_{6}$ , clasa numărului $- 23$ este:
- a) $\hat{5}$
- b) $\hat{1}$
- c) $\hat{3}$
- d) $\hat{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\hat{1}$

Scriem împărțirea completă: $- 23 = 6 \cdot (- 4) + 1$ , cu restul $1$ , care respectă condiția $0 \leq r < 6$ . Deci $- 23 \in \hat{1}$ . Varianta $\hat{5}$ vine din calculul făcut pe $23 = 6 \cdot 3 + 5$ , cu semnul uitat; scrierea $- 23 = 6 \cdot (- 3) - 5$ dă un „rest” negativ, care nu este permis de teorema împărțirii cu rest.
Opusul clasei $\hat{5}$ în $Z_{11}$ este:
- a) $\hat{6}$
- b) $\hat{0}$
- c) $\hat{5}$
- d) $\hat{1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\hat{6}$

Opusul se calculează cu formula $- \overset{a}{^} = n - a$ , deci $- \hat{5} = 11 - 5 = \hat{6}$ ; verificare: $\hat{5} + \hat{6} = 11 = \hat{0}$ . Varianta $\hat{5}$ ar însemna că fiecare clasă este propriul opus, ceea ce se întâmplă doar pentru $\hat{0}$ și, când $n$ este par, pentru clasa lui $\frac{n}{2}$ . Varianta $\hat{0}$ confundă opusul cu elementul neutru.
De ce trebuie demonstrată buna definire a adunării claselor?
- a) pentru că adunarea claselor nu este comutativă
- b) pentru că $Z_{n}$ este o mulțime finită
- c) pentru că rezultatul ar putea depinde de reprezentanții aleși
- d) pentru că $\hat{0}$ ar putea să nu fie element neutru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pentru că rezultatul ar putea depinde de reprezentanții aleși

Definiția $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ trece prin reprezentanți, iar o clasă are infinit de mulți reprezentanți; dacă rezultatul ar depinde de alegere, operația nu ar fi funcție. Că grija e reală o arată „operația” $\overset{a}{^} * \hat{b} = max (a, b)$ : în $Z_{5}$ , reprezentanții $1$ și $2$ dau $\hat{2}$ , iar $6$ și $2$ dau $\hat{6} = \hat{1}$ .

Întrebări conexe

Ce structură formează clasele de resturi față de adunare?

Un monoid comutativ în care fiecare element are simetric, adică treapta de sus a ierarhiei. Adunarea este asociativă și comutativă, neutrul este $\hat{0}$ , iar opusul clasei lui $a$ este clasa lui $n - a$ . În unitatea următoare structura aceasta primește un nume.

Când sunt egale două clase de resturi?

Exact atunci când diferența reprezentanților se împarte exact la $n$ . Criteriul se scrie: $\overset{a}{^} = \hat{b}$ dacă și numai dacă $n$ divide $a - b$ . El înlocuiește orice verificare prin enumerare.

Câte clase de resturi există modulo n?

Exact $n$ , câte un rest posibil la împărțirea cu $n$ : de la $0$ până la $n - 1$ . Modulo $5$ sunt cinci clase, iar orice număr întreg, oricât de mare, cade în una dintre ele. Numărul lor nu depinde de cât de mari sunt numerele.

Cum aflu opusul clasei lui 3 modulo 8?

Cauți clasa care adunată cu ea dă $\hat{0}$ : din $3 + 5 = 8$ rezultă că opusul este $\hat{5}$ . Formula generală este $n - a$ , deci aici $8 - 3$ . Fiecare clasă își are opusul ei.

Ce reprezentant se alege pentru o clasă de resturi?

De obicei restul împărțirii la $n$ , adică un număr între $0$ și $n - 1$ . Orice alt element al clasei ar merge la fel de bine, dar forma standard face comparațiile imediate și scrierea uniformă.

De ce cele n clase acoperă toate numerele întregi?

Fiindcă teorema împărțirii cu rest dă fiecărui întreg exact un rest cuprins între $0$ și $n - 1$ . Așadar fiecare număr intră într-o clasă și numai în una, iar mulțimea infinită a întregilor se strânge în $n$ elemente.

Oamenii mai întreabă și: clase de resturi modulo n · mulțimea claselor de resturi · adunarea claselor de resturi · reprezentantul unei clase · buna definire a adunării