Ce polinom se obține normalizând restul -3X²+6X-3?

Se obține X²-2X+1, adică (X-1)². Se înmulțește cu - 1/3, inversul coeficientului dominant, iar rezultatul are coeficientul lui X² egal cu 1. Constanta scoasă nu schimbă divizorii comuni, deci răspunsul rămâne valabil.

De ce apar fracții în algoritmul lui Euclid?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Cel mai mare divizor comun al polinoamelor

Pentru că fiecare împărțire se face într-un corp, unde împărțirea cu orice element nenul este permisă; coeficienții raționali sunt așadar normali, nu semn de eroare. Ei dispar oricum la final, când ultimul rest nenul se înmulțește cu inversul coeficientului său dominant, ca să iasă monic. Dacă te încurcă, poți amplifica un rest cu o constantă nenulă: divizorii comuni nu se schimbă.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Cel mai mare divizor comun a două polinoame nenule din $K [X]$ este polinomul monic care le divide pe amândouă și care se divide cu orice alt divizor comun al lor; se notează $cmmdc (f, g)$ . Cerința de a fi monic asigură unicitatea: orice divizor comun înmulțit cu o constantă nenulă rămâne divizor comun. Instrumentul de calcul este algoritmul lui Euclid, sprijinit pe lema $f = g q + r \Rightarrow cmmdc (f, g) = cmmdc (g, r)$ : perechea $(f, g)$ se înlocuiește pas cu pas cu $(g, r)$ , algoritmul se oprește la primul rest nul, iar răspunsul este ultimul rest nenul, făcut monic. Fiecare împărțire se verifică înmulțind înapoi, $f = g q + r$ . Fracțiile apărute pe drum nu sunt o eroare — într-un corp împărțirea cu orice element nenul este permisă — și dispar la normalizarea finală. Două polinoame cu $cmmdc (f, g) = 1$ se numesc prime între ele. Rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ sunt exact rădăcinile lui $cmmdc (f, g)$ în corpul de lucru: un divizor comun de grad cel puțin $1$ nu garantează o rădăcină comună, cum arată $X^{2} + 1$ peste $R$ . Algoritmul funcționează identic peste $Z_{p}$ .

De reținut

$cmmdc (f, g)$ este polinomul monic care le divide și se divide cu orice divizor comun
lema: din $f = g q + r$ rezultă $cmmdc (f, g) = cmmdc (g, r)$
răspunsul este ultimul rest nenul, adus la formă monică

Greșeala tipică

Se ia drept răspuns ultimul rest calculat, care este $0$ . Algoritmul se oprește când restul se anulează, iar cel mai mare divizor comun este restul dinaintea lui, adus la formă monică.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea lui $cmmdc (X^{3} - 4 X, X^{2} - 4 X + 4)$ este:
- a) $(X - 2)^{2}$
- b) $X - 2$
- c) $X (X - 2)$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $X - 2$

Descompunem: $X^{3} - 4 X = X (X - 2) (X + 2)$ , iar $X^{2} - 4 X + 4 = (X - 2)^{2}$ . Singurul factor comun este $X - 2$ , luat la puterea cea mai mică, deci $cmmdc = X - 2$ , deja monic. Varianta $(X - 2)^{2}$ ar cere ca $X^{3} - 4 X$ să aibă pe $2$ ca rădăcină dublă, ceea ce nu se întâmplă; varianta $X (X - 2)$ adaugă un factor care nu divide al doilea polinom.
Într-un algoritm al lui Euclid, ultimul rest nenul obținut este $- 2 X^{2} + 6 X - 4$ . Atunci $cmmdc (f, g)$ este:
- a) $- 2 X^{2} + 6 X - 4$
- b) $2 X^{2} - 6 X + 4$
- c) $X^{2} - 3 X + 2$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $X^{2} - 3 X + 2$

Cel mai mare divizor comun se cere monic, deci ultimul rest nenul se înmulțește cu inversul coeficientului dominant: $\frac{1}{- 2} (- 2 X^{2} + 6 X - 4) = X^{2} - 3 X + 2$ . Un rezultat nemonic este considerat greșit la Bacalaureat M1. Varianta $0$ vine din confuzia clasică: algoritmul se oprește când restul este zero, dar răspunsul este restul dinaintea lui.
Polinoamele $f = X^{2} + 4$ și $g = X^{3} + 4 X$ din $R [X]$ au $cmmdc (f, g) = X^{2} + 4$ . Câte rădăcini comune reale au ele?
- a) $1$
- b) $2$
- c) $3$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $0$

Rădăcinile comune sunt rădăcinile celui mai mare divizor comun în corpul de lucru. Aici $cmmdc (f, g) = X^{2} + 4$ , care nu are nicio rădăcină reală, fiindcă $x^{2} + 4 \geq 4$ pentru orice $x$ real. Un divizor comun de grad cel puțin $1$ nu garantează deci o rădăcină comună: afirmația este adevărată doar dacă acel divizor are rădăcini în corp.

Întrebări conexe

Ce se face cu ultimul rest nenul din algoritm?

Se face monic, înmulțindu-l cu inversul coeficientului dominant, iar acesta este răspunsul. Un rest ca $2 X - 4$ devine $X - 2$ , iar $- 3 X^{2} + 6 X - 3$ devine $X^{2} - 2 X + 1$ . Fără normalizare, rezultatul se consideră greșit, oricât de corect ar fi restul calculului.

Ce lemă stă la baza algoritmului lui Euclid la polinoame?

Aceea care spune că, dacă $f = g q + r$ , atunci perechile $(f, g)$ și $(g, r)$ au același cel mai mare divizor comun. Ea permite înlocuirea pas cu pas a perechii cu una de grade mai mici, iar coborârea gradelor asigură oprirea după un număr finit de pași.

Cum se verifică fiecare împărțire din algoritm?

Se înmulțește înapoi: câtul cu împărțitorul, plus restul, trebuie să dea deîmpărțitul. Controlul costă un rând și prinde imediat o greșeală de semn sau de coeficient, care altfel s-ar propaga în toți pașii următori.

Ce polinom se obține normalizând restul $- 3 X^{2} + 6 X - 3$ ?

Se obține $X^{2} - 2 X + 1$ , adică $(X - 1)^{2}$ . Se înmulțește cu $- \frac{1}{3}$ , inversul coeficientului dominant, iar rezultatul are coeficientul lui $X^{2}$ egal cu $1$ . Constanta scoasă nu schimbă divizorii comuni, deci răspunsul rămâne valabil.

Ce arată un divizor comun de gradul al doilea fără rădăcini reale?

Arată că polinoamele au factori comuni, dar nu neapărat rădăcini comune în corpul de lucru. Peste $R$ , un divizor ca $X^{2} + 1$ nu se anulează nicăieri, deci cele două polinoame nu au niciun punct comun, deși nu sunt prime între ele.

De ce nu câștigă divizorul de grad maxim prin definiție?

Fiindcă definiția cere ca răspunsul să se dividă cu orice alt divizor comun, nu doar să aibă gradul cel mai mare. Într-un corp cele două cerințe duc la același polinom, dar formularea corectă este cea cu divizibilitatea, iar baremul o urmărește.

Oamenii mai întreabă și: cel mai mare divizor comun a două polinoame · algoritmul lui Euclid la polinoame · polinoame prime între ele · rădăcini comune a două polinoame · cmmdc monic