Pentru punctele $$A(2, 1)$$, $$B(5, 3)$$ și $$C(8, 4)$$, valoarea determinantului $$\Delta$$ este:

$$-3$$, deci punctele formează un triunghi

$$0$$, deci punctele sunt coliniare

$$3$$, deci punctele formează un triunghi

$$-1$$, deci punctele formează un triunghi

Despre punctele $$P(-3, 1)$$, $$Q(-3, 6)$$ și $$R(-3, 11)$$ se poate afirma că:

sunt coliniare, dar metoda pantelor nu se poate aplica, fiindcă abscisele coincid

nu sunt coliniare, pentru că pantele lor nu există

sunt coliniare, iar concluzia se obține comparând pantele

sunt coliniare doar dacă se schimbă ordinea liniilor în determinant

Cum arăt coliniaritatea cu un determinant?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Coliniaritatea a trei puncte

Pui cele trei perechi de coordonate pe liniile unui determinant de ordinul $3$ , completând fiecare linie cu un $1$ , și calculezi. Punctele stau pe aceeași dreaptă exact când rezultatul este zero. Pentru $(1, 1)$ , $(2, 3)$ și $(4, 7)$ determinantul iese $0$ , deci sunt coliniare. Valoarea lui absolută este, de altfel, dublul ariei triunghiului pe care l-ar forma.

Trei puncte sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate. Întrebarea are sens abia de la al treilea punct: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una, deci orice două puncte sunt automat coliniare. Iar reciproca e la fel de utilă — trei puncte distincte și necoliniare sunt vârfurile unui triunghi, așa că, ori de câte ori un enunț cere „arătați că formează un triunghi”, ceea ce ai de demonstrat este necoliniaritatea.

Primul criteriu este cel cu pante: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $m_{A B} = m_{A C}$ , cele două pante pornind dintr-un punct comun. Are însă o zonă oarbă: dacă două dintre puncte au aceeași abscisă, panta corespunzătoare nu există și criteriul nici nu se poate formula. Punctele de pe o verticală sunt evident coliniare, dar nicio pantă nu se poate scrie.

Al doilea criteriu, cerut de programă ca aplicație a determinanților, nu are nicio excepție: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $Δ = 0$ , unde $Δ$ este determinantul de ordinul al treilea cu liniile $(x_{A}, y_{A}, 1)$ , $(x_{B}, y_{B}, 1)$ , $(x_{C}, y_{C}, 1)$ . Ordinea punctelor nu contează: orice permutare de linii schimbă cel mult semnul, iar condiția $Δ = 0$ nu e afectată de semn.

La probleme cu parametru determinantul este de preferat, pentru că nu produce numitori care s-ar putea anula. Atenție la soluțiile degenerate: dacă o valoare face două puncte să coincidă, $Δ$ se anulează banal, iar valoarea se exclude când enunțul cere un triunghi.

De reținut

Coliniare $⟺ x_{1} x_{2} x_{3} y_{1} y_{2} y_{3} 111 = 0$
Determinant nenul $\Rightarrow$ punctele formează un triunghi
Modulul determinantului = dublul ariei triunghiului

Greșeala tipică

Se trage concluzia că punctele sunt coliniare fiindcă determinantul iese o valoare mică. Condiția cere anularea exactă, iar un rezultat de $0, 5$ înseamnă un triunghi turtit, nu trei puncte pe o dreaptă.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru punctele $A (2, 1)$ , $B (5, 3)$ și $C (8, 4)$ , valoarea determinantului $Δ$ este:
- a) $0$ , deci punctele sunt coliniare
- b) $3$ , deci punctele formează un triunghi
- c) $- 1$ , deci punctele formează un triunghi
- d) $- 3$ , deci punctele formează un triunghi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 3$ , deci punctele formează un triunghi

Dezvoltând după prima linie: $Δ = 2 (3 - 4) - 1 (5 - 8) + (5 \cdot 4 - 8 \cdot 3) = - 2 + 3 - 4 = - 3$ . Cum $Δ \neq = 0$ , punctele nu sunt coliniare, deci sunt vârfurile unui triunghi — deși pe desen par aliniate. Control prin pante: $m_{A B} = \frac{2}{3}$ , iar $m_{A C} = \frac{1}{2}$ .
Despre punctele $P (- 3, 1)$ , $Q (- 3, 6)$ și $R (- 3, 11)$ se poate afirma că:
- a) nu sunt coliniare, pentru că pantele lor nu există
- b) sunt coliniare, iar concluzia se obține comparând pantele
- c) sunt coliniare, dar metoda pantelor nu se poate aplica, fiindcă abscisele coincid
- d) sunt coliniare doar dacă se schimbă ordinea liniilor în determinant
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sunt coliniare, dar metoda pantelor nu se poate aplica, fiindcă abscisele coincid

Toate trei au abscisa $- 3$ , deci se află pe verticala $x = - 3$ și sunt coliniare. Pantele nu există (numitorul ar fi zero), așa că metoda pantelor nu dă un răspuns greșit, ci pur și simplu nu se poate formula. Determinantul răspunde imediat: prima coloană este coloana de $1$ înmulțită cu $- 3$ , iar două coloane proporționale îl anulează.
Punctele $A (- 4, 1)$ , $B (2, 5)$ și $C (11, t)$ sunt coliniare pentru:
- a) $t = 9$
- b) $t = 11$
- c) $t = 13$
- d) $t = 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $t = 11$

Dezvoltarea dă $Δ = 6 t - 66$ , deci $t = 11$ . Verificare pe dreapta $A B$ : panta este $\frac{5 - 1}{2 - ( - 4 )} = \frac{2}{3}$ , ecuația este $y = \frac{2}{3} x + \frac{11}{3}$ , iar pentru $x = 11$ se obține $y = 11$ ✓. Determinantul e de preferat aici, pentru că nu cere nicio împărțire.

Întrebări conexe

Sunt coliniare punctele de coordonate 1 și 1, apoi 2 și 3, apoi 4 și 7?

Da. Panta dintre primele două este $2$ , iar între ultimele două tot $2$ , deci direcția nu se schimbă. Determinantul construit cu ele iese zero, ceea ce confirmă rezultatul pe a doua cale.

Cum aflu al treilea punct astfel încât toate trei să fie coliniare?

Scrii condiția de anulare a determinantului, lăsând necunoscută una dintre coordonatele punctului căutat, și rezolvi ecuația de gradul întâi. De obicei iese o singură valoare, în afară de cazul în care condiția devine identitate.

Se pot folosi vectorii pentru a arăta coliniaritatea?

Da, arătând că vectorii formați de la primul punct la celelalte două sunt proporționali. Este exact aceeași condiție, scrisă altfel, fiindcă proporționalitatea a două linii anulează determinantul.

Ce se întâmplă dacă două dintre cele trei puncte coincid?

Determinantul are două linii identice, deci se anulează automat. Rezultatul este corect din punct de vedere formal, dar nu spune nimic interesant: două puncte suprapuse stau pe orice dreaptă care trece prin ele.

Cum arăt că patru puncte sunt coliniare?

Verifici condiția pentru primele trei, apoi pentru grupul format din primele două și al patrulea. Dacă ambele determinante se anulează, toate patru se așază pe aceeași dreaptă: prima pereche de puncte fixează direcția, iar al doilea calcul o confirmă și pentru punctul rămas.

Ce condiție dă determinantul nul, scrisă cu coordonate?

Egalitatea $x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) = 0$ , adică forma dezvoltată a condiției cu determinant. Ea se poate folosi direct, fără să mai desenezi tabloul, și este comodă mai ales atunci când unele coordonate conțin parametri de aflat.

Oamenii mai întreabă și: condiția de coliniaritate cu determinant · trei puncte pe aceeași dreaptă · determinant nul și puncte coliniare · cum verific coliniaritatea cu coordonate · cum verific dacă trei puncte sunt coliniare