Ce unghi de tăiere dă o parabolă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Conicele ca secțiuni ale conului

Acela pentru care planul de tăiere este paralel cu o generatoare, adică unghiul lui cu axa este egal cu unghiul conului. Celelalte cazuri se citesc din aceeași comparație: un plan perpendicular pe axă dă cerc, unul mai înclinat decât atât, dar nu până la paralelism, dă elipsă, iar unul și mai înclinat prinde amândouă pânzele și dă hiperbolă.

Conica este curba obținută tăind un con circular drept cu un plan care nu trece prin vârf. Conul matematic are două pânze, iar tipul curbei e decis de comparația dintre unghiul $β$ al planului cu axa și unghiul $α$ al conului: $β = 9 0^{\circ}$ dă cerc, $α < β < 9 0^{\circ}$ dă elipsă, $β = α$ dă parabolă, iar $β < α$ dă hiperbolă, pentru că planul prinde amândouă pânzele. Planele care trec prin vârf dau conicele degenerate: un punct, o dreaptă sau două drepte concurente.

Aceleași patru curbe se descriu și prin distanțe, ca locuri geometrice: $M C = r$ pentru cerc, $M F + M F^{'} = 2 a$ pentru elipsă, $∣ M F - M F^{'} ∣ = 2 a$ pentru hiperbolă și $M F = d (M, d)$ pentru parabolă, unde $d$ este directoarea. Descrierea prin distanțe e cea care se traduce în coordonate și dă ecuațiile.

Într-un reper potrivit ales, ecuațiile canonice sunt $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ și $y^{2} = 2 p x$ . Recunoașterea rapidă: plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă, o variabilă la puterea întâi înseamnă parabolă. Nu confunda formulele: la elipsă $c = a^{2} - b^{2}$ , la hiperbolă $c = a^{2} + b^{2}$ . Litera $e$ înseamnă în toată unitatea excentricitate, $e = \frac{c}{a}$ . În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă.

De reținut

cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă — după unghiul planului față de axă
la elipsă $c = a^{2} - b^{2}$ , la hiperbolă $c = a^{2} + b^{2}$
plus între pătrate înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă

Greșeala tipică

Se desenează conul ca un singur coif, cu o singură pânză. Atunci nu se mai vede de unde apar cele două ramuri ale hiperbolei, fiindcă suprafața iese din rotirea unei drepte întregi și are două părți simetrice față de vârf.

Exerciții din această mini-lecție

Un plan care nu trece prin vârful conului taie amândouă pânzele acestuia. Curba obținută este:
- a) o parabolă
- b) o hiperbolă
- c) un cerc
- d) o elipsă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) o hiperbolă

Planul prinde ambele pânze numai când unghiul $β$ pe care îl face cu axa este mai mic decât unghiul $α$ al conului; secțiunea are atunci două bucăți separate, adică cele două ramuri ale hiperbolei. Cercul și elipsa taie o singură pânză și se închid, iar parabola apare exact la $β = α$ , când o generatoare scapă neintersectată.
Curba de ecuație $x^{2} - 4 y = 0$ este:
- a) o elipsă
- b) o hiperbolă
- c) o parabolă
- d) un cerc
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) o parabolă

Ecuația se scrie $x^{2} = 4 y$ , deci o singură variabilă apare la pătrat, iar cealaltă la puterea întâi: este semnătura parabolei. Aici axa de simetrie este $O y$ , curba se deschide în sus, iar $2 p = 4$ . Elipsa și hiperbola au amândouă variabilele la pătrat, cu plus, respectiv cu minus între ele.
Distanța dintre focarele hiperbolei $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ este:
- a) $5$
- b) $27$
- c) $6$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $10$

La hiperbolă $c = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 5$ , deci focarele sunt $(\pm 5, 0)$ și distanța dintre ele este $2 c = 10$ . Varianta $27$ vine din folosirea formulei elipsei, $a^{2} - b^{2}$ ; varianta $5$ confundă $c$ cu $2 c$ , iar $6$ este $2 a$ , distanța dintre vârfuri.

Întrebări conexe

Ce sunt conicele degenerate?

Figurile obținute când planul trece chiar prin vârful conului: un singur punct, o dreaptă sau două drepte care se taie. Ele nu sunt curbe propriu-zise, dar apar în discuția completă a secțiunilor și la ecuațiile de gradul al doilea cu membrul drept nul.

De ce are conul matematic două pânze?

Fiindcă se obține rotind o dreaptă întreagă în jurul axei, nu o semidreaptă. Dreapta trece prin vârf și se prelungește de amândouă părțile, deci suprafața are două părți simetrice. Fără a doua pânză, cele două ramuri ale hiperbolei ar rămâne fără explicație.

Ce loc geometric descrie fiecare conică prin distanțe?

Cercul adună punctele aflate la aceeași distanță de centru. Elipsa cere ca suma distanțelor la două puncte fixe să rămână constantă, hiperbola cere ca diferența lor, luată în modul, să rămână constantă, iar parabola cere ca distanța la un punct fix să fie egală cu distanța la o dreaptă fixă.

Ce înseamnă excentricitatea unei conice?

Raportul dintre semidistanța focală și semiaxa mare, notat cu $e$ . El măsoară cât de departe se află forma de cerc: valori mici înseamnă aproape rotund, valori apropiate de $1$ înseamnă alungit, iar valori peste $1$ apar la hiperbolă.

Ce ecuații canonice au cele patru conice?

Cercul are $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , elipsa $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , hiperbola $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , iar parabola $y^{2} = 2 p x$ . Semnul dintre pătrate și prezența unei variabile la puterea întâi sunt cele două indicii după care se recunoaște tipul.

Ce plan dă un cerc la tăierea conului?

Unul perpendicular pe axa conului, care nu trece prin vârf. Cercul este așadar o conică autentică, cazul-limită al elipsei, în care cele două focare se suprapun în centru, iar excentricitatea coboară la zero.

Oamenii mai întreabă și: ce sunt conicele · secțiuni ale conului · elipsă parabolă hiperbolă · cum recunosc o conică · excentricitatea unei conice