Fie $$f : [-a, a] \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$$, ramura de deasupra axei $$Ox$$ a unei elipse. Care afirmație este adevărată?

$$f$$ este concavă pe $$(-a, a)$$

$$f$$ este derivabilă pe $$[-a, a]$$

$$f$$ este convexă pe $$(-a, a)$$

$$f$$ are un punct de inflexiune în $$x = 0$$

Au conicele puncte de inflexiune?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Conicele și analiza matematică

Nu, niciuna dintre ele. Ramura de deasupra axei de simetrie are derivata a doua strict negativă pe tot domeniul ei, deci rămâne concavă de la un capăt la altul, iar cea de dedesubt este simetrica ei. Convexitatea nu își schimbă semnul nicăieri, așa că marcajul de inflexiune nu apare pe niciun desen de conică.

O conică nu este graficul unei funcții, dar local este: scoțând $y$ din ecuație se obțin funcțiile-ramură, de pildă $f_{1, 2} : [- a, a] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{b}{a} a^{2} - x^{2}$ pentru elipsă. Toate proprietățile locale ale curbei se citesc atunci cu derivata acelei funcții.

Panta tangentei în $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ este $- \frac{b ^{2} x _{0}}{a ^{2} y _{0}}$ la elipsă, $\frac{b ^{2} x _{0}}{a ^{2} y _{0}}$ la hiperbolă, $\frac{p}{y _{0}}$ la parabolă și $- \frac{x _{0} - a}{y _{0} - b}$ la cercul de centru $C (a, b)$ . Sunt exact pantele dreptelor obținute prin dedublare, deci derivata confirmă metoda, fără să o înlocuiască.

În vârfurile de pe axa focală funcția-ramură nu mai este derivabilă, iar limita derivatei este infinită: acolo tangenta este verticală și se scrie $x = x_{0}$ , fără pantă. Derivata a doua a ramurii de deasupra axei de simetrie este strict negativă la toate conicele capitolului, deci ramura este concavă și nicio conică nu are puncte de inflexiune.

Ariile mărginite numai de segmente se calculează elementar: dreptunghiul fundamental are aria $4 ab$ , iar triunghiul format de o tangentă la $x y = k$ cu axele are aria constantă $2 k$ , punctul de tangență fiind mijlocul segmentului. Aria interiorului elipsei, $π ab$ , cere integrala.

De reținut

pantele tangentei: $- \frac{b ^{2} x _{0}}{a ^{2} y _{0}}$ , $\frac{b ^{2} x _{0}}{a ^{2} y _{0}}$ , $\frac{p}{y _{0}}$
dedublarea și derivata duc la aceeași dreaptă
aria dreptunghiului fundamental este $4 ab$ , iar a interiorului elipsei $π ab$

Greșeala tipică

Se derivează conica de parcă ar fi graficul unei funcții. Întâi se alege ramura pe care stă punctul, după semnul ordonatei lui, și abia acea funcție se derivează.

Exerciții din această mini-lecție

Panta tangentei la cercul $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ în punctul $M (4, 2)$ este:
- a) $- \frac{4}{3}$
- b) $\frac{4}{3}$
- c) $- \frac{3}{4}$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{3}{4}$

Punctul aparține cercului: $(4 - 1)^{2} + (2 + 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ . Panta este $- \frac{x _{0} - a}{y _{0} - b} = - \frac{4 - 1}{2 + 2} = - \frac{3}{4}$ . Valoarea $\frac{4}{3}$ este panta razei $C M$ , iar tangenta este perpendiculară pe rază, deci pantele lor au produsul $- 1$ .
În vârful $A (a, 0)$ al elipsei $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , tangenta este dreapta:
- a) $x = a$
- b) $y = a$
- c) $y = \frac{b}{a} (x - a)$
- d) $y = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = a$

Funcția-ramură este derivabilă doar pe $(- a, a)$ ; în $x = a$ limita derivatei este infinită, deci tangenta este verticală: $x = a$ . Dedublarea dă același lucru: $\frac{x \cdot a}{a ^{2}} + \frac{y \cdot 0}{b ^{2}} = 1$ , adică $x = a$ . Tangentele orizontale sunt cele din vârfurile $(0, \pm b)$ .
Fie $f : [- a, a] \to R$ , $f (x) = \frac{b}{a} a^{2} - x^{2}$ , ramura de deasupra axei $O x$ a unei elipse. Care afirmație este adevărată?
- a) $f$ este derivabilă pe $[- a, a]$
- b) $f$ este convexă pe $(- a, a)$
- c) $f$ are un punct de inflexiune în $x = 0$
- d) $f$ este concavă pe $(- a, a)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ este concavă pe $(- a, a)$

Derivata a doua este $f^{''} (x) = - \frac{ab}{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{3/2}} < 0$ pe tot intervalul $(- a, a)$ , deci $f$ este concavă și nu își schimbă concavitatea nicăieri: nu există punct de inflexiune. În capetele $\pm a$ funcția este continuă, dar nederivabilă, iar acolo tangenta este verticală.

Întrebări conexe

Ce arie are dreptunghiul fundamental al unei hiperbole?

Iese $4 ab$ , fiindcă laturile lui măsoară $2 a$ și $2 b$ . Aria se calculează elementar, fără integrală, spre deosebire de aria mărginită de curbă. Același dreptunghi dă și asimptotele, ca prelungiri ale diagonalelor lui.

Ce pantă are tangenta la o parabolă într-un punct al ei?

Raportul $\frac{p}{y _{0}}$ , unde $y_{0}$ este ordonata punctului. Se obține derivând funcția-ramură pe care se află punctul și coincide cu panta dreptei scrise prin dedublare. În vârf, unde $y_{0} = 0$ , formula nu se aplică, iar tangenta este verticală.

Pe ce interval este derivabilă funcția-ramură a elipsei?

Pe intervalul deschis $(- a, a)$ , deși ea este definită pe cel închis. În capete radicalul se anulează, iar limita derivatei iese infinită, deci acolo nu există derivată finită, ci doar o tangentă verticală.

Ce ramură se alege înainte de a deriva?

Cea pe care se află punctul, hotărâtă după semnul ordonatei lui. Pentru o ordonată pozitivă se lucrează cu ramura de deasupra, iar pentru una negativă cu cea de dedesubt. Derivarea unei conice ca și cum ar fi o funcție întreagă nu are înțeles.

Ce arie are interiorul unei elipse?

Este $π ab$ , dar formula se obține cu integrala, nu prin argumente elementare. Pentru $a = b$ ea devine $π a^{2}$ , adică aria discului, ceea ce servește drept control. Ariile mărginite numai de segmente se pot calcula însă direct.

Ce se scrie în locul pantei când tangenta este verticală?

Ecuația $x = x_{0}$ , adică dreapta verticală care trece prin punct. Panta nu există acolo, deci scrierea cu formula obișnuită ar duce la o împărțire la zero. Situația apare în vârfurile de pe axa focală, la elipsă și la hiperbolă.

Oamenii mai întreabă și: tangenta la conică cu derivata · funcții-ramură ale conicelor · aria interiorului elipsei · tangentă verticală la elipsă · conice și derivate