Propoziția $$p$$ este adevărată, iar $$q$$ este falsă. Ce valoare de adevăr are $$p \wedge q$$?

depinde de ordinea propozițiilor

Care dintre următoarele conjuncții este adevărată?

«$$2$$ este par și $$3$$ este par»

«$$\sqrt{9} = 3$$ și $$\sqrt{16} = 5$$»

Într-un club se intră doar dacă ai peste $$1{,}70$$ m și ai trecut testul de selecție. Care dintre următorii candidați intră?

Are $$1{,}82$$ m și a trecut testul.

Are $$1{,}75$$ m, dar nu a trecut testul.

Are $$1{,}68$$ m și a trecut testul.

Are $$1{,}60$$ m și nu a trecut testul.

Când este adevărată o conjuncție?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Conjuncția «și»

Conjuncția $p \land q$ , citită „ $p$ și $q$ ”, este adevărată într-un singur caz din patru: atunci când amândouă propozițiile sunt adevărate. O componentă falsă face tot enunțul fals. „ $5 > 3$ și $12$ se împarte la $4$ ” este adevărată, iar „ $7$ este prim și $7$ este par” este falsă. Pe mulțimi, cuvântul „și” înseamnă intersecție.

Când legi două propoziții prin «și», obții conjuncția lor, notată $p \land q$ (se citește «p și q»).

Regula ei este cea din viața de zi cu zi: conjuncția este adevărată doar dacă amândouă propozițiile sunt adevărate. Ajunge ca una singură să fie falsă și toată conjuncția devine falsă.

$p$	$q$	$p \land q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Exemplu: « $5 > 3$ și $10 : 2 = 5$ » este adevărată, pentru că ambele părți sunt adevărate. « $7$ este prim și $7$ este par» este falsă: prima parte este adevărată, dar a doua nu.

Conjuncția apare peste tot unde o condiție cere două lucruri simultan: «are peste $1, 70$ m și a trecut testul», « $x > 2$ și $x < 5$ ». În limbajul mulțimilor, «și» înseamnă intersecție.

De reținut

$p \land q$ iese adevărată într-un singur caz din patru
$v (p \land q) = min (v (p), v (q))$
„și” corespunde intersecției mulțimilor

Greșeala tipică

Enunțul cu „și” este socotit adevărat pentru că o parte a lui se verifică, deși cealaltă cade. Aici nu există jumătăți de măsură: fiecare componentă trebuie să fie adevărată.

Exerciții din această mini-lecție

Propoziția $p$ este adevărată, iar $q$ este falsă. Ce valoare de adevăr are $p \land q$ ?
- a) adevărată
- b) falsă
- c) depinde de ordinea propozițiilor
- d) nu se poate stabili
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) falsă

Conjuncția cere ca ambele propoziții să fie adevărate. Cum $q$ este falsă, $p \land q$ este falsă. Ordinea nu contează: $p \land q$ și $q \land p$ au mereu aceeași valoare.
Care dintre următoarele conjuncții este adevărată?
- a) « $2$ este par și $3$ este par»
- b) « $5 > 3$ și $10 : 2 = 5$ »
- c) « $7$ este prim și $7$ este par»
- d) « $9 = 3$ și $16 = 5$ »
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) « $5 > 3$ și $10 : 2 = 5$ »

În b) ambele părți sunt adevărate: $5 > 3$ și $10 : 2 = 5$ . În celelalte, o parte cade: $3$ nu este par, $7$ nu este par, iar $16 = 4$ , nu $5$ — și o singură parte falsă face toată conjuncția falsă.
Într-un club se intră doar dacă ai peste $1, 70$ m și ai trecut testul de selecție. Care dintre următorii candidați intră?
- a) Are $1, 75$ m, dar nu a trecut testul.
- b) Are $1, 68$ m și a trecut testul.
- c) Are $1, 82$ m și a trecut testul.
- d) Are $1, 60$ m și nu a trecut testul.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Are $1, 82$ m și a trecut testul.

Condiția este o conjuncție: trebuie îndeplinite amândouă cerințele. Doar candidatul c) le bifează pe amândouă. La a) cade testul, la b) cade înălțimea, la d) cad amândouă.

Întrebări conexe

Ce mulțime descrie condiția x mai mare ca 2 și x mai mic ca 5?

Intervalul deschis $(2, 5)$ , adică numerele care îndeplinesc amândouă cerințele în același timp. Pe axă, este porțiunea comună a celor două semidrepte, deci o intersecție. Numărul $4$ aparține mulțimii, iar $5$ nu, fiindcă a doua condiție cade.

Contează ordinea propozițiilor într-o conjuncție?

Nu, rezultatul este același: $p \land q$ și $q \land p$ au mereu aceeași valoare de adevăr. Operația este și asociativă, deci la trei propoziții nu contează cum se pun parantezele. În limbajul obișnuit, ordinea poate sugera o succesiune în timp, dar logica nu o vede.

Cum scriu condițiile de existență la o fracție cu doi numitori?

Le legi prin „și”, fiindcă trebuie respectate simultan. La expresia cu numitorii $x - 2$ și $x + 5$ , condiția se scrie $x \neq = 2$ și $x \neq = - 5$ . Dacă ar fi legate prin „sau”, ar însemna că e de ajuns una dintre ele, ceea ce ar lăsa expresia fără sens.

Ce legătură are conjuncția cu un sistem de ecuații?

La un sistem, perechea căutată trebuie să verifice fiecare ecuație în parte, deci condițiile se leagă prin „și”. Soluția este intersecția mulțimilor de soluții ale ecuațiilor luate separat. Dacă una singură nu se verifică, perechea nu intră în răspuns.

Se pot lega prin «și» mai mult de două propoziții?

Da, oricâte. Enunțul obținut este adevărat doar dacă fiecare componentă este adevărată, deci o singură parte falsă strică totul. Cu cât se leagă mai multe propoziții, cu atât enunțul devine mai greu de îndeplinit.

Ce înseamnă că un număr este divizibil cu 2 și cu 3?

Că se împarte exact la $6$ , fiindcă $2$ și $3$ sunt prime între ele. Regula nu merge la orice pereche: un număr care se împarte și la $2$ , și la $6$ poate să nu se împartă la $12$ , cum arată chiar numărul $6$ . Condiția este ca cei doi divizori să nu aibă factori comuni.

Oamenii mai întreabă și: conjuncția în logică · p și q tabel de adevăr · când e adevărat un enunț cu și · operatorul și în matematică · conjuncție de propoziții