Conjuncția: propoziții legate prin «și»

Regulamentul unei burse de merit spune: „primesc bursă elevii care au media generală cel puțin $9$ și nicio absență nemotivată". Un elev cu media $9,45$ și trei absențe nemotivate nu primește bursa. Niciunul fără absențe, dar cu media $8,90$. Bursa merge doar la cei care îndeplinesc amândouă condițiile — și nimeni nu găsește asta nedrept, pentru că „și" înseamnă, în limba tuturor, exact acest lucru.

Matematica preia cuvântul „și" cu același înțeles, dar îl transformă într-o operație: din două propoziții construiește o a treia, a cărei valoare de adevăr se calculează după o regulă fixă. Este prima operație care leagă două propoziții — spre deosebire de negație, care lucra cu una singură. Vei descoperi că regula ei este atât de simplă încât se ține minte dintr-o privire, dar și că apare, sub diverse deghizări, în aproape orice rezolvare: în condițiile de existență, în sistemele de ecuații, în intervale și în criteriile de divizibilitate.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești conjuncția a două propoziții și să folosești notațiile $p\text{ și }q$, $p\wedge q$.
• Vei ști tabelul de adevăr al conjuncției și de ce are patru linii.
• Vei ști să calculezi $v(p\wedge q)$ cu regula practică $v(p\wedge q)=\min (v(p),v(q))$.
• Vei ști să recunoști conjuncția în matematica de zi cu zi: condiții de existență, intervale, sisteme, criterii de divizibilitate.
• Vei ști proprietățile conjuncției (comutativitate, asociativitate) și de ce $p\wedge \neg p$ este mereu falsă.
• Vei ști cum se demonstrează și cum se infirmă un enunț legat prin „și".

Hai să descoperim împreună

1. „Și" cere totul, nu jumătate

Să pornim de la un exemplu matematic. Fie propozițiile:

• $p$: „numărul $12$ este par" — adevărată;
• $q$: „numărul $12$ se divide cu $5$" — falsă, căci $12:5$ nu dă rest zero.

Ce spunem despre enunțul „numărul $12$ este par și se divide cu $5$"? Că este fals — pentru că a doua parte nu se verifică. Nu contează că prima parte era în regulă: un enunț legat prin „și" cere ca fiecare bucată să fie adevărată.

Reformulat, avem prima regulă a capitolului: enunțul „$p$ și $q$" este adevărat exact atunci când și $p$, și $q$ sunt adevărate. În orice alt caz este fals. Simplu — dar merită scris cu grijă, pentru că din el se calculează totul.

2. Definiție, notație, tabel de adevăr

Definiție. Se numește conjuncția propozițiilor $p$ și $q$ propoziția, notată $p\wedge q$ (se citește „$p$ și $q$"), care este adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții sunt adevărate.

Pentru că fiecare dintre $p$ și $q$ poate lua două valori, avem $2\cdot 2=4$ combinații posibile, deci tabelul de adevăr are patru linii:

Citește tabelul pe verticală: o singură linie dă rezultatul $1$, prima. Conjuncția este cea mai pretențioasă dintre operațiile logice.

Există și o formulă comodă de calcul, care spune același lucru:

$$v(p\wedge q)=\min (v(p),v(q)).$$

Într-adevăr, minimul a două valori din mulțimea $\{0,1\}$ este $1$ doar când amândouă sunt $1$. (Tot atât de bine merge și produsul: $v(p\wedge q)=v(p)\cdot v(q)$ — verifică singur pe cele patru linii.)

Desenul de mai sus nu este o simplă ilustrație: în electronică, două comutatoare legate în serie realizează fizic conjuncția, iar circuitele logice din interiorul unui calculator sunt construite exact pe acest principiu.

3. Ordinea nu contează, gruparea nici atât

Din tabel se citesc imediat câteva proprietăți, pe care le vei folosi fără să le mai numești.

Comutativitate: $p\wedge q$ și $q\wedge p$ au întotdeauna aceeași valoare de adevăr. „$12$ este par și divizibil cu $3$" spune exact cât „$12$ este divizibil cu $3$ și par".

Asociativitate: la trei propoziții, $(p\wedge q)\wedge r$ și $p\wedge (q\wedge r)$ dau același rezultat, așa că parantezele se pot lăsa deoparte: scriem simplu $p\wedge q\wedge r$, adevărată doar când toate trei sunt adevărate.

Idempotență: $p\wedge p$ are aceeași valoare de adevăr ca $p$ — a repeta o condiție nu adaugă nimic.

Rolul special al propoziției false: dacă una dintre propoziții este falsă, conjuncția este falsă, indiferent de cealaltă. De aceea, când vrei să arăți că un enunț cu „și" este fals, îți ajunge o singură bucată falsă; nu trebuie să le verifici pe toate.

Aceste proprietăți se demonstrează completând tabele de adevăr, tehnică pe care o vei sistematiza în lecția Tabelul de adevăr al unui enunț compus.

4. Conjuncția care se ascunde: $p\wedge \neg p$

Ce se întâmplă dacă legăm prin „și" o propoziție cu propria ei negație? Completăm tabelul:

Rezultatul este $0$ pe ambele linii: $p\wedge \neg p$ este falsă oricare ar fi $p$. Un asemenea enunț, fals indiferent de valorile propozițiilor din el, se numește contradicție. Nu e o curiozitate: exact spre o astfel de propoziție („am obținut și $x=2$, și $x\ne 2$") se îndreaptă orice demonstrație prin metoda reducerii la absurd. Când raționamentul te aduce la o contradicție, semn că presupunerea de la care ai pornit era falsă.

5. Unde întâlnești conjuncția în matematică

Ai folosit-o de ani de zile, fără s-o numești.

Condițiile de existență. Expresia $\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ are sens doar dacă $x-2\ge 0$ și $x-5\ne 0$, adică $x\ge 2$ și $x\ne 5$. Sunt două condiții legate prin „și": ambele trebuie respectate simultan.

Intervalele. Scrierea $x\in [3,7]$ înseamnă $x\ge 3$ și $x\le 7$. Orice interval mărginit este, în limbaj logic, o conjuncție de două inegalități — de aceea, când negi apartenența la un interval, obții „sau" (ai văzut ideea în lecția despre negație și o vei formaliza la legile lui De Morgan).

Sistemele de ecuații. Un sistem cere ca toate ecuațiile să fie satisfăcute în același timp de aceeași pereche de valori: acolada din fața sistemului este, de fapt, semnul lui „și".

Criteriile de divizibilitate compuse. „$n$ se divide cu $6$" înseamnă „$n$ se divide cu $2$ și $n$ se divide cu $3$"; „$n$ se divide cu $15$" înseamnă „se divide cu $3$ și cu $5$". Atenție: trucul funcționează doar când cei doi divizori sunt primi între ei, adică nu au divizori comuni în afară de $1$. Pentru $12=4\cdot 3$ merge (numerele $4$ și $3$ sunt prime între ele), dar „se divide cu $2$ și cu $6$" nu înseamnă „se divide cu $12$": numărul $6$ trece de ambele condiții și nu se divide cu $12$.

Intersecția mulțimilor. $x\in A\cap B$ înseamnă $x\in A$ și $x\in B$. Conjuncția este, în limbajul mulțimilor, chiar intersecția — o corespondență pe care merită s-o ții minte, pentru că îți permite să „vezi" enunțurile logice desenate.

6. Capcane de limbaj

Nu orice „și" din limba română leagă două propoziții.

„Și" între obiecte, nu între propoziții. În „Ana și Bogdan sunt colegi", cuvântul „și" nu leagă două propoziții: enunțul nu înseamnă „Ana este colegă" și „Bogdan este coleg" — el descrie o relație între cei doi. La fel, „numerele $3$ și $5$ sunt prime" poate fi descompus („$3$ este prim" și „$5$ este prim"), dar „numerele $3$ și $5$ sunt prime între ele"? Nu — aici avem o singură propoziție, despre o pereche.

Sinonimele lui „și". Conjuncția logică se ascunde adesea în cuvintele „dar", „însă", „iar", „totodată" sau chiar într-o simplă virgulă: „numărul $132$ este par, dar nu se divide cu $5$" înseamnă, logic, „$132$ este par și $132$ nu se divide cu $5$". Nuanța de opoziție pe care o aduce „dar" este de natură stilistică; valoarea de adevăr se calculează la fel.

„Și" cu sens de succesiune. În vorbire, „am deschis ușa și am intrat" sugerează o ordine. În logică, ordinea nu contează (comutativitate), deci traducerea matematică pierde nuanța de timp. Când modelezi o situație reală, verifică dacă „și"-ul din enunț chiar înseamnă „amândouă deodată".

7. Cum demonstrezi și cum infirmi un enunț cu „și"

Regula de lucru se citește direct din tabel și merită învățată ca atare, pentru că se aplică la teze:

• Ca să demonstrezi că „$p$ și $q$" este adevărată, trebuie să demonstrezi ambele propoziții. Două demonstrații, nu una.
• Ca să infirmi enunțul „$p$ și $q$", îți ajunge să arăți că una singură dintre ele este falsă.

Exemplu. Enunțul „numărul $225$ este pătrat perfect și se divide cu $9$" este adevărat: $225=15^2$ și $225=9\cdot 25$. Ambele au trebuit verificate. În schimb, enunțul „numărul $225$ este pătrat perfect și este par" este fals — și e de ajuns să observăm că $225$ este impar, fără să mai discutăm despre pătrate perfecte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea de adevăr a unei conjuncții

Se consideră propozițiile $p$: „$3^2+4^2=5^2$" și $q$: „numărul $24$ se divide cu $8$". Determinați $v(p\wedge q)$.

Rezolvare. Calculăm: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, deci $v(p)=1$. Apoi $24=8\cdot 3$, deci $v(q)=1$. Ambele fiind adevărate, $v(p\wedge q)=1$.

Exemplul 2 — Când o singură bucată strică totul

Determinați valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $132$ se divide cu $4$ și se divide cu $5$".

Rezolvare. Prima propoziție este adevărată: $132=4\cdot 33$. A doua este falsă: ultima cifră a lui $132$ este $2$, deci numărul nu se divide cu $5$. Conjuncția este falsă, pentru că are o componentă falsă. Observă economia de efort: dacă am fi început cu a doua propoziție, ne-am fi oprit imediat.

Exemplul 3 — Condiții de existență

Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care are sens expresia $E(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$.

Rezolvare. Expresia are sens dacă radicalul este definit și numitorul este nenul:

$$x-2\ge 0\text{ și }x-5\ne 0,$$

adică $x\ge 2$ și $x\ne 5$. Mulțimea căutată este $[2,5)\cup (5,\infty )$. Aici conjuncția se vede cu ochiul liber: fiecare condiție taie din mulțimea numerelor reale, iar ce rămâne este intersecția.

Exemplul 4 — Intervalul, citit ca o conjuncție

Scrieți sub formă de conjuncție de inegalități apartenența $x\in [-1,4]$ și precizați valoarea de adevăr a enunțului pentru $x=4$ și pentru $x=5$.

Rezolvare. $x\in [-1,4]$ înseamnă „$x\ge -1$ și $x\le 4$". Pentru $x=4$: prima inegalitate este adevărată ($4\ge -1$), a doua este adevărată ($4\le 4$), deci conjuncția este adevărată. Pentru $x=5$: prima este adevărată, a doua falsă ($5\le 4$ este fals), deci conjuncția este falsă — într-adevăr, $5\notin [-1,4]$.

Exemplul 5 — Divizibilitate prin conjuncție

Arătați că numărul $345$ se divide cu $15$, folosind descompunerea $15=3\cdot 5$.

Rezolvare. Fie $p$: „$345$ se divide cu $3$" și $q$: „$345$ se divide cu $5$". Suma cifrelor lui $345$ este $3+4+5=12$, divizibilă cu $3$, deci $v(p)=1$. Ultima cifră este $5$, deci $v(q)=1$. Cum $3$ și $5$ nu au divizori comuni în afară de $1$, din $p\wedge q$ adevărată rezultă că numărul se divide cu $3\cdot 5=15$. Verificare: $345=15\cdot 23$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră propozițiile $p$: „$\sqrt{(-4{)}^2}=4$" și $q$: „$2^3\cdot 2^4=2^{12}$". Determinați $v(p\wedge q)$ și $v(p\wedge \neg q)$.

Rezolvare. Pentru $p$: $\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4$ (folosim $\sqrt{a^2}=|a|$, iar $|-4|=4$), deci $v(p)=1$.

Pentru $q$: la înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții, deci $2^3\cdot 2^4=2^7=128$, în timp ce $2^{12}=4096$. Egalitatea din enunț este falsă: $v(q)=0$.

Prin urmare $v(p\wedge q)=\min (1,0)=0$. Cum $v(\neg q)=1-0=1$, avem $v(p\wedge \neg q)=\min (1,1)=1$.

Observație de redactare. La examen, orice cerință de acest tip se rezolvă în trei pași scriși: valoarea de adevăr a fiecărei propoziții cu justificarea ei, apoi aplicarea regulii conjuncției. Săritul primului pas costă puncte chiar dacă răspunsul final este corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare conjuncție, stabilește întâi separat valorile de adevăr ale propozițiilor componente, cu justificare, și abia apoi aplică regula.

1. Se consideră $p$: „$5^2=25$" și $q$: „numărul $18$ se divide cu $3$". Determină $v(p\wedge q)$.

2. Determină valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $60$ se divide cu $4$ și se divide cu $15$".

3. Determină valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $18$ se divide cu $3$ și se divide cu $4$".

4. Completează tabelul de adevăr al conjuncției și verifică pe fiecare linie formula $v(p\wedge q)=\min (v(p),v(q))$.

5. Scrie sub formă de conjuncție de inegalități: (a) $x\in [2,9]$; (b) $x\in (-3,5]$.

6. Determină valorile reale ale lui $x$ pentru care are sens expresia $\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $v(p)=1$, atunci $v(p\wedge q)=1$, indiferent de $q$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Enunțul $p\wedge \neg p$ poate fi adevărat pentru anumite propoziții $p$."

9. Identifică propozițiile elementare și determină valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $1225$ se divide cu $25$, dar nu se divide cu $2$".

10. Arată, folosind conjuncția a două criterii de divizibilitate, că numărul $144$ se divide cu $12$.

11. Determină toate numerele naturale de o cifră care sunt impare și se divid cu $3$.

12. (Problemă aplicată.) Regulamentul unei tabere spune: „Se înscriu elevii care au media la purtare $10$ și media generală cel puțin $8$". Un elev are media la purtare $10$ și media generală $7,95$. Se înscrie? Justifică folosind regula conjuncției.

13. Scrie negația enunțului „$x\ge 2$ și $x\le 7$" și reprezint-o pe axa numerelor. (Indicație: gândește-te la complementara intervalului.)

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Enunțul «numărul $n$ se divide cu $2$ și cu $6$» este echivalent cu «numărul $n$ se divide cu $12$»."

15. Se consideră $p$: „$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$" și $q$: „$\sqrt{2}$ este număr rațional". Determină $v(p\wedge q)$ și $v(p\wedge \neg q)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră propozițiile $p$: „numărul $2^6$ este pătrat perfect" și $q$: „numărul $2^6$ se divide cu $3$". Determinați $v(p\wedge q)$ și $v(p\wedge \neg q)$.

17. Un elev scrie: „Ca să arăt că enunțul «$n$ este par și $n$ se divide cu $7$» este fals pentru $n=21$, verific ambele condiții". Este necesar să le verifice pe amândouă? Explică.

18. (Provocare.) Găsește cel mai mic număr natural care se divide cu $4$, se divide cu $9$ și are suma cifrelor egală cu $9$. Justifică folosind cele trei condiții legate prin „și".

Răspunsuri și explicații

1. $5^2=25$, deci $v(p)=1$; $18=3\cdot 6$, deci $v(q)=1$. Rezultă $v(p\wedge q)=1$.

2. $60=4\cdot 15$, deci se divide cu $4$; și $60=15\cdot 4$, deci se divide și cu $15$. Ambele propoziții sunt adevărate, deci enunțul este adevărat.

3. Prima propoziție este adevărată ($18=3\cdot 6$), a doua este falsă ($18:4$ dă restul $2$). Conjuncția este falsă.

4. Tabelul are patru linii, cu rezultatele $1,0,0,0$ (în ordinea $11$, $10$, $01$, $00$). Formula se verifică: $\min (1,1)=1$, $\min (1,0)=0$, $\min (0,1)=0$, $\min (0,0)=0$.

5. (a) „$x\ge 2$ și $x\le 9$"; (b) „$x>-3$ și $x\le 5$". Capătul deschis al intervalului dă inegalitate strictă, cel închis dă inegalitate cu egal.

6. Condițiile sunt $x+1\ge 0$ și $x-3\ne 0$, adică $x\ge -1$ și $x\ne 3$. Mulțimea este $[-1,3)\cup (3,\infty )$.

7. Fals. Dacă $q$ este falsă, conjuncția este falsă, oricât de adevărată ar fi $p$: de exemplu $p$: „$2>1$" (adevărată) și $q$: „$2>3$" (falsă) dau $v(p\wedge q)=0$. Conjuncția cere ambele componente adevărate.

8. Fals. Din tabel, $p\wedge \neg p$ are valoarea $0$ pe ambele linii, pentru că $p$ și $\neg p$ nu pot fi adevărate simultan (principiul necontradicției). Un asemenea enunț se numește contradicție.

9. Propozițiile elementare: $p$: „$1225$ se divide cu $25$" — adevărată, căci $1225=25\cdot 49$; $q$: „$1225$ se divide cu $2$" — falsă, numărul fiind impar. Enunțul este $p\wedge \neg q$, cu $v(p)=1$ și $v(\neg q)=1$, deci este adevărat. („Dar" joacă rolul lui „și".)

10. Scriem $12=4\cdot 3$, cu $4$ și $3$ fără divizori comuni. Avem $144=4\cdot 36$, deci se divide cu $4$; suma cifrelor este $1+4+4=9$, divizibilă cu $3$, deci se divide și cu $3$. Ambele condiții fiind adevărate, $144$ se divide cu $12$ (într-adevăr, $144=12\cdot 12$).

11. Trebuie ca numărul să fie impar și divizibil cu $3$: dintre $0,1,\dots ,9$, divizibile cu $3$ sunt $0$, $3$, $6$, $9$, iar dintre acestea impare sunt $3$ și $9$. Răspuns: $3$ și $9$.

12. Nu se înscrie. Prima condiție este îndeplinită (media la purtare $10$), dar a doua este falsă: $7,95<8$. Conjuncția cu o componentă falsă este falsă, deci elevul nu îndeplinește regulamentul.

13. Negația este „$x<2$ sau $x>7$", adică $x\in (-\infty ,2)\cup (7,\infty )$: pe axă, tot ce rămâne în afara intervalului $[2,7]$. (Regula după care negația unui „și" devine „sau" este una dintre legile lui De Morgan.)

14. Fals. Contraexemplu: $n=6$ se divide cu $2$ și cu $6$, dar nu se divide cu $12$. Descompunerea funcționează doar când cei doi divizori sunt primi între ei, iar $2$ și $6$ au divizorul comun $2$. Corect ar fi $12=4\cdot 3$.

15. $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1$, deci $v(p)=1$. Numărul $\sqrt{2}$ este irațional, deci $v(q)=0$ și $v(\neg q)=1$. Rezultă $v(p\wedge q)=0$ și $v(p\wedge \neg q)=1$.

16. $2^6=64=8^2$, deci $v(p)=1$. Numărul $64$ nu se divide cu $3$ (suma cifrelor este $10$), deci $v(q)=0$ și $v(\neg q)=1$. Rezultă $v(p\wedge q)=0$ și $v(p\wedge \neg q)=1$.

17. Nu este necesar. Numărul $21$ este impar, deci prima propoziție este falsă, iar o conjuncție cu o componentă falsă este falsă — concluzia se obține imediat. (Verificarea celeilalte condiții nu strică, dar nu aduce nimic: $21=7\cdot 3$ se divide cu $7$, și totuși enunțul rămâne fals.)

18. Numărul trebuie să se dividă cu $4$ și cu $9$; cum $4$ și $9$ sunt prime între ele, el se divide cu $36$. Multiplii lui $36$ sunt $36$, $72$, $108$, $144$…, cu sumele cifrelor $9$, $9$, $9$, $9$. Condiția suplimentară („suma cifrelor este $9$") este deja îndeplinită de $36$, care se divide cu $4$ ($36=4\cdot 9$) și cu $9$. Răspuns: $36$. Observă că, la trei condiții legate prin „și", strategia bună este să pornești de la cea mai restrictivă (aici, divizibilitatea cu $36$) și să verifici apoi restul.

De reținut

• Conjuncția $p\wedge q$ („$p$ și $q$") este adevărată doar când ambele propoziții sunt adevărate; în celelalte trei cazuri este falsă.
• Tabelul de adevăr are patru linii, iar formula practică de calcul este $v(p\wedge q)=\min (v(p),v(q))$ (echivalent, produsul valorilor de adevăr).
• Ca să infirmi un enunț cu „și" îți ajunge o singură componentă falsă; ca să-l demonstrezi, trebuie demonstrate toate componentele.
• Conjuncția este comutativă și asociativă, iar $p\wedge \neg p$ este mereu falsă (contradicție) — pe această idee se sprijină reducerea la absurd.
• În matematică, conjuncția apare la condițiile de existență, intervale, sisteme de ecuații, criterii de divizibilitate și corespunde intersecției mulțimilor.

Greșeli frecvente

• Conjuncție declarată adevărată pentru că „una e adevărată". $v(p\wedge q)=1$ cere ambele componente adevărate; o singură propoziție falsă face tot enunțul fals.
• Descompunerea greșită a divizibilității. „Se divide cu $2$ și cu $6$" nu înseamnă „se divide cu $12$" (contraexemplu: $6$). Regula cere divizori primi între ei.
• Negarea unui „și" tot cu „și". Negația lui „$x\ge 2$ și $x\le 7$" este „$x<2$ sau $x>7$"; păstrarea lui „și" în negație este o greșeală clasică, de care se ocupă legile lui De Morgan.
• „Și"-ul care nu leagă propoziții. În „numerele $4$ și $5$ sunt consecutive" nu există două propoziții de judecat separat; nu orice „și" din enunț este operator logic.
• Verificarea inutilă a tuturor condițiilor. Când ai găsit o componentă falsă, enunțul este deja fals; continuarea calculelor nu aduce puncte, dar consumă timp la lucrare.

Aplică acasă

1. Filtrul din magazinul online. Deschide un magazin online și aplică simultan două filtre (de exemplu, „preț sub $200$ de lei" și „livrare gratuită"). Notează câte produse rămân după fiecare filtru separat și după amândouă. Explică de ce numărul final nu este niciodată mai mare decât cel mai mic dintre cele două — este chiar regula minimului din conjuncție.

2. Regulamentul burselor. Caută regulamentul de acordare a burselor din școala ta și identifică toate condițiile legate prin „și". Scrie-le ca listă de propoziții elementare și verifică-le pentru un caz concret (real sau inventat), spunând la final dacă bursa se acordă.

3. Rețeta cu două condiții. Alege o rețetă și scrie condițiile de reușită sub forma unei conjuncții („aluatul crește dacă drojdia este proaspătă și temperatura este de circa $30^{\circ }$C"). Încearcă rețeta încălcând intenționat o singură condiție și observă rezultatul: o componentă falsă strică tot enunțul.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima operație logică binară — conjuncția — și fixează regula ei prin tabelul de adevăr. Competențele vizate sunt identificarea operațiilor cu propoziții elementare dintr-un enunț matematic (IX.CS.2.1) și determinarea valorii de adevăr a unui enunț format din propoziții legate prin operatori logici (IX.CS.3.1). Valoarea practică depășește cu mult capitolul de logică: condițiile de existență, intervalele și sistemele de ecuații sunt, toate, conjuncții.

Ce se verifică la elev: (1) știe tabelul de adevăr și de ce are patru linii; (2) stabilește valorile de adevăr ale componentelor cu justificare înainte de a aplica regula; (3) recunoaște conjuncția ascunsă în „dar", „iar", virgulă sau într-un interval; (4) infirmă un enunț cu „și" printr-o singură componentă falsă; (5) nu descompune greșit divizibilitatea. Întrebări bune de control: „Când este falsă o conjuncție?"; „Ce condiții leagă expresia $\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ și prin ce cuvânt?"; „De ce «divizibil cu $2$ și cu $6$» nu înseamnă «divizibil cu $12$»?".

Semne că a înțeles: la o cerință cu două condiții le scrie separat, apoi intersectează; observă singur că un interval mărginit este o conjuncție de inegalități. La teze și la Bacalaureat, conjuncția apare explicit în cerințe de tipul „determinați valoarea de adevăr a propoziției $p\wedge q$" și, mai ales, implicit: fiecare domeniu de definiție, fiecare sistem și fiecare discuție de cazuri se sprijină pe ea. Un elev care „uită" o condiție de existență pierde puncte tocmai pentru că a tratat o conjuncție ca și cum ar fi avut o singură componentă.

Întrebări frecvente

Ce este conjuncția în logica matematică? Este operația care leagă două propoziții prin cuvântul „și". Conjuncția $p\wedge q$ este adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții sunt adevărate; dacă măcar una este falsă, întregul enunț este fals.

Când este falsă o conjuncție? În trei dintre cele patru cazuri posibile: când $p$ este falsă, când $q$ este falsă și când amândouă sunt false. Practic, este de ajuns ca o singură componentă să fie falsă pentru ca enunțul „$p$ și $q$" să fie fals.

Cum se calculează valoarea de adevăr a conjuncției? Cu regula $v(p\wedge q)=\min (v(p),v(q))$ sau, echivalent, înmulțind valorile de adevăr. Ambele formule dau $1$ doar când cele două valori sunt egale cu $1$.

Câte linii are tabelul de adevăr al conjuncției? Patru, pentru că fiecare dintre cele două propoziții poate fi adevărată sau falsă, iar $2\cdot 2=4$ combinații. Doar prima linie, cea cu ambele propoziții adevărate, dă rezultatul $1$.

Unde apare conjuncția în rezolvările obișnuite? La condițiile de existență ale unei expresii (radical definit și numitor nenul), la intervale ($x\in [3,7]$ înseamnă $x\ge 3$ și $x\le 7$), la sistemele de ecuații și la criteriile de divizibilitate compuse. În limbajul mulțimilor, conjuncția corespunde intersecției.

Ce înseamnă că $p\wedge \neg p$ este o contradicție? Înseamnă că enunțul este fals indiferent de valoarea de adevăr a lui $p$, pentru că o propoziție și negația ei nu pot fi adevărate în același timp. Ajungerea la o contradicție este exact semnalul de final într-o demonstrație prin reducere la absurd.

Cuvântul „dar" este tot conjuncție? Da, din punct de vedere logic. „Numărul $132$ este par, dar nu se divide cu $5$" înseamnă „$132$ este par și $132$ nu se divide cu $5$". Cuvintele „dar", „însă", „iar" adaugă o nuanță stilistică de opoziție, însă valoarea de adevăr se calculează după regula conjuncției.

Cum demonstrez un enunț legat prin „și"? Demonstrând, separat și complet, fiecare componentă: pentru „$n$ se divide cu $3$ și cu $5$" ai de făcut două verificări. Reciproc, pentru a arăta că enunțul este fals îți ajunge să dai un motiv pentru o singură componentă.