Funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{5}+4x$$, este:

strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

strict descrescătoare pe $$\mathbb{R}$$

crescătoare pe $$(0,+\infty)$$ și descrescătoare pe $$(-\infty,0)$$

Funcția $$f:\mathbb{R}^{*}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac1x$$, are $$f'(x)<0$$ în fiecare punct al domeniului. Formularea corectă a monotoniei este:

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$(-\infty,0)$$ și strict descrescătoare pe $$(0,+\infty)$$

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$\mathbb{R}^{*}$$

$$f$$ este strict crescătoare pe $$\mathbb{R}^{*}$$

$$f$$ este constantă pe fiecare interval al domeniului

Când este o funcție constantă pe un interval?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Consecințele teoremei lui Lagrange

Atunci când derivata ei se anulează în fiecare punct al acelui interval. Este prima consecință a teoremei creșterilor finite, iar cuvântul interval este esențial. Din ea rezultă și că, atunci când derivatele coincid pe un interval, cele două funcții se deosebesc printr-un număr fix. Așa se rezolvă cerințele de tipul „aflați $f$ știind că $f^{'} (x) = 2 x$ și $f (1) = 5$ ”.

Formula creșterilor finite se citește ca o balanță: în stânga stă diferența valorilor, în dreapta un produs dintre lungimea intervalului (pozitivă) și o valoare a derivatei. Cunoscând semnul lui $f^{'}$ , afli semnul diferenței — adică monotonia.

Consecința 1 (funcția constantă): dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{'} (x) = 0$ pe $I$ , atunci $f$ este constantă pe $I$ . Corolar: dacă $f^{'} = g^{'}$ pe $I$ , atunci $f - g$ e constantă — de aici forma răspunsului la cerințele „determinați $f$ știind că $f^{'} (x) = \dots$ și $f (x_{0}) = \dots$ ".

Consecința 2 (monotonia): dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{'} (x) > 0$ pe $I$ , atunci $f$ e strict crescătoare pe $I$ ; dacă $f^{'} (x) < 0$ , e strict descrescătoare.

⚠️ Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Funcția $f (x) = \frac{1}{x}$ are $f^{'} < 0$ pe tot domeniul, dar nu este descrescătoare pe $R^{*}$ : $- 1 < 1$ , iar $f (- 1) = - 1 < 1 = f (1)$ . Corect: strict descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ , separat.

Rețeta inegalităților: muți totul într-un membru, arăți că diferența $g$ are derivată de semn constant și compari cu valoarea dintr-un capăt, unde $g$ se anulează.

Consecința 3 (limita derivatei): dacă $f$ e continuă în $x_{0}$ și $x \to x_{0} lim f^{'} (x) = ℓ$ , atunci $f$ are derivată în $x_{0}$ , egală cu $ℓ$ . Continuitatea se verifică prima — fără ea, concluzia e falsă.

De reținut

$f^{'} = 0$ pe un interval dă $f$ constantă acolo
$f^{'} = g^{'}$ pe un interval dă $f - g$ constantă
consecința limitei derivatei cere întâi continuitatea în punct

Greșeala tipică

Se aplică prima consecință pe o reuniune de intervale și se scrie că funcția este constantă peste tot. Constanta poate să difere de la un interval la altul, deci concluzia se dă separat.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{5} + 4 x$ , este:
- a) strict descrescătoare pe $R$
- b) constantă pe $R$
- c) strict crescătoare pe $R$
- d) crescătoare pe $(0, + \infty)$ și descrescătoare pe $(- \infty, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) strict crescătoare pe $R$

$f^{'} (x) = 5 x^{4} + 4 \geq 4 > 0$ pentru orice $x$ real, iar $R$ este interval; prin Consecința 2, funcția e strict crescătoare pe $R$ . Faptul că $x^{5}$ ia valori negative la stânga originii nu schimbă nimic: contează semnul derivatei, nu al funcției.
Funcția $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , are $f^{'} (x) < 0$ în fiecare punct al domeniului. Formularea corectă a monotoniei este:
- a) $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și strict descrescătoare pe $(0, + \infty)$
- b) $f$ este strict descrescătoare pe $R^{*}$
- c) $f$ este strict crescătoare pe $R^{*}$
- d) $f$ este constantă pe fiecare interval al domeniului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și strict descrescătoare pe $(0, + \infty)$

Consecința 2 se aplică numai pe intervale, iar $R^{*}$ nu este interval. Că a doua variantă e falsă se vede direct: $- 1 < 1$ , dar $f (- 1) = - 1 < 1 = f (1)$ . Monotonia se enunță pe fiecare interval al domeniului, separat, iar între ramuri nu se compară nimic.
Fie $f : R \to R$ derivabilă, cu $f^{'} (x) = 6 x^{2}$ pentru orice $x$ real și $f (1) = 10$ . Atunci:
- a) $f (x) = 6 x^{3} + 4$
- b) $f (x) = 2 x^{3}$
- c) $f (x) = 2 x^{3} + 10$
- d) $f (x) = 2 x^{3} + 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f (x) = 2 x^{3} + 8$

Funcția $g (x) = 2 x^{3}$ are aceeași derivată, iar $R$ este interval, deci prin corolarul Consecinței 1 diferența $f - g$ este constantă: $f (x) = 2 x^{3} + k$ . Din $f (1) = 2 + k = 10$ rezultă $k = 8$ . Constanta se determină din condiția dată, nu se copiază valoarea $f (1)$ .

Întrebări conexe

Cum determin funcția știind derivata ei și o valoare?

Găsești o funcție cu derivata cerută, apoi adaugi o constantă pe care o afli din valoarea dată. Pentru $f^{'} (x) = 2 x$ și $f (1) = 5$ pornești de la $x^{2}$ , scrii $f (x) = x^{2} + k$ și din $1 + k = 5$ obții $k = 4$ .

De ce concluzia se scrie pe un interval, nu pe o reuniune?

Fiindcă demonstrația folosește teorema creșterilor finite între două puncte, iar drumul dintre ele trebuie să rămână în domeniu. Pe $R^{*}$ acest drum ar trece prin origine, care lipsește, deci raționamentul se rupe.

Care sunt cele trei consecințe ale teoremei lui Lagrange?

Prima leagă derivata nulă de funcția constantă, a doua traduce semnul derivatei în monotonie, iar a treia spune că limita derivatei într-un punct de continuitate chiar este derivata acolo. Toate trei se citează cu numele întreg.

Ce se întâmplă dacă derivata se anulează într-un singur punct?

Stricta monotonie se păstrează. Pe $f (x) = x^{3}$ derivata se anulează doar în origine, iar funcția urcă strict pe toată dreapta: aplici Consecința 2 de o parte și de alta, apoi lipești cele două bucăți prin continuitate.

La ce funcții pe ramuri ajută consecința limitei derivatei?

La cele în care raportul de diferențe ar fi greu de prelucrat: în loc să calculezi derivatele laterale din definiție, iei limitele lui $f^{'}$ pe fiecare ramură. Metoda cere însă continuitatea în punct, verificată mai întâi.

Cum arăt cu derivata că două expresii sunt egale?

Le pui într-o funcție diferență, arăți că derivata acesteia se anulează pe tot intervalul, deci diferența rămâne constantă, apoi calculezi constanta într-un punct comod. Dacă acolo iese zero, cele două expresii coincid pe întreg intervalul.

Oamenii mai întreabă și: consecințele teoremei lui Lagrange · derivata nulă înseamnă funcție constantă · funcții cu aceeași derivată · consecința limitei derivatei · monotonia din consecința a doua