Cum aflu parametrul ca funcția să fie continuă?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Funcții continue pe ramuri. Determinarea parametrilor

Continuitatea se impune în punctul de racord, adică acolo unde se schimbă formula. Scrii valoarea funcției de pe ramura care conține punctul, calculezi cele două limite laterale și pui semnul egal între ele; obții o ecuație în parametru, pe care o rezolvi și o verifici. La $f (x) = a x + 1$ pentru $x < 2$ și $f (x) = x^{2}$ pentru $x \geq 2$ , ecuația $2 a + 1 = 4$ dă $a = \frac{3}{2}$ .

Aici continuitatea nu se mai constată, ci se impune: lanțul $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ devine o ecuație cu necunoscuta $a$ .

Punctele de racord sunt cele în care se schimbă formula; o funcție cu $n$ ramuri are $n - 1$ racorduri. În interiorul fiecărei ramuri funcția e dată de o expresie uzuală, deci continuitatea acolo vine gratuit și se justifică într-un rând — dar fraza trebuie scrisă, altfel concluzia „continuă pe $R$ ” rămâne nesusținută. Valoarea $f (x_{0})$ se citește de pe ramura care îl conține efectiv pe $x_{0}$ .

Algoritmul, în cinci pași: scrii $f (x_{0})$ ; calculezi $l_{s} (x_{0})$ ; calculezi $l_{d} (x_{0})$ ; impui lanțul și rezolvi; verifici prin substituție. Baremul plătește separat fiecare pas, deci niciunul nu se sare.

Trei situații speciale: parametrul la pătrat dă o ecuație de gradul al doilea, cu două soluții posibile; parametrul poate dispărea din ecuație, iar atunci mulțimea soluțiilor este vidă; iar dacă o limită laterală în punctul de racord este infinită, niciun parametru nu salvează situația — continuitatea cere o limită finită.

Când racordul aduce o nedeterminare, o elimini înainte de a înlocui: factorizare, conjugată sau limită fundamentală.

De reținut

continuitatea se studiază numai în punctele de racord
ecuația de rezolvat este $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$
o laterală infinită la racord închide problema: niciun parametru nu ajută

Greșeala tipică

Se ia valoarea $f (x_{0})$ de pe ramura greșită, cea care nu conține punctul. Valoarea se citește de pe ramura a cărei condiție este chiar îndeplinită de $x_{0}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + a$ pentru $x \leq - 1$ și $f (x) = x^{2} - 5$ pentru $x > - 1$ , este continuă în $- 1$ .
- a) $a = - 2$
- b) $a = 2$
- c) $a = - 6$
- d) $a = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = - 2$

Punctul $- 1$ verifică $x \leq - 1$ , deci $f (- 1) = - 2 + a = l_{s} (- 1)$ . Pe dreapta, $l_{d} (- 1) = (- 1)^{2} - 5 = - 4$ . Condiția $- 2 + a = - 4$ dă $a = - 2$ . Verificare: lanțul devine $- 4 = - 4 = - 4$ . Varianta c) apare dacă se uită pătratul din a doua ramură.
Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$ pentru $x \neq = 4$ și $f (4) = a$ , este continuă pe $R$ .
- a) $4$
- b) $8$
- c) $16$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$

În $4$ apare $\frac{0}{0}$ ; pentru $x \neq = 4$ avem $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x - 4} = x + 4$ , deci limita este $8$ . Continuitatea cere $a = 8$ . În celelalte puncte funcția e rațională cu numitor nenul, deci continuă din construcție.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = a x + 5$ pentru $x < 0$ și $f (x) = x^{2} + 2$ pentru $x \geq 0$ . Câte valori ale lui $a$ fac funcția continuă în $0$ ?
- a) exact una
- b) exact două
- c) niciuna
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) niciuna

Pe stânga, $l_{s} (0) = x \to 0 x < 0 lim (a x + 5) = 5$ oricare ar fi $a$ , pentru că $a x \to 0$ . Pe de altă parte $f (0) = 0^{2} + 2 = 2$ . Condiția $5 = 2$ este falsă, deci parametrul dispare din ecuație și mulțimea soluțiilor este vidă. Răspunsul corect nu este „ $a$ oarecare”, ci „nicio valoare”.

Întrebări conexe

Câte puncte de racord are o funcție cu trei ramuri?

Două, câte unul la fiecare trecere de la o formulă la următoarea. Numărul racordurilor este mereu cu unu mai mic decât numărul ramurilor. Pe interiorul fiecărei bucăți continuitatea vine de la sine, expresiile fiind funcții uzuale.

Ce ecuație rezultă din continuitatea în punctul de racord?

Egalitatea celor trei numere: limita din stânga, valoarea funcției și limita din dreapta. Practic, egalezi expresiile obținute din cele două ramuri în punctul acela. Necunoscuta este parametrul, iar ecuația poate fi de gradul întâi sau al doilea.

Cum verific la final valoarea găsită pentru parametru?

Înlocuiești numărul obținut în formula funcției și recalculezi cele două limite laterale. Dacă lanțul se închide, răspunsul este bun. Pasul acesta prinde erorile de calcul și aduce puncte în barem, deci nu se sare niciodată.

De ce nu se mai calculează continuitatea în interiorul unei ramuri?

Fiindcă acolo funcția este dată de o expresie uzuală — polinom, radical, exponențială — care e continuă pe tot domeniul ei. Justificarea se scrie totuși într-un rând; fără ea, concluzia „continuă pe toată dreapta” rămâne nesusținută.

Ce fac dacă o limită laterală în punctul de racord este infinită?

Răspunzi că niciun parametru nu rezolvă problema. Continuitatea cere o limită finită, iar un parametru nu poate schimba comportarea unei expresii care explodează. Concluzia se scrie ca atare, cu mulțimea soluțiilor vidă.

Cât trebuie să fie a ca ax plus 1 să se racordeze cu x pătrat în 1?

Limita din stânga este $a + 1$ , iar cea din dreapta, luată de pe ramura cu pătratul, este $1$ . Egalitatea $a + 1 = 1$ dă $a = 0$ . Verificarea: cu $a = 0$ ramura din stânga devine constanta $1$ , care se lipește exact de $x^{2}$ în punctul $1$ .

Oamenii mai întreabă și: funcție continuă pe ramuri · determinarea parametrului din continuitate · punct de racord · continuitate cu parametru · cum aflu a din continuitate