Fie $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{2}+2$$ pentru $$x<3$$ și $$f(x)=5x-4$$ pentru $$x \ge 3$$. Atunci:

$$f$$ nu este continuă în $$3$$, deoarece $$l_s(3)=11$$ și $$l_d(3)=15$$

$$f$$ nu este continuă în $$3$$, deoarece $$f(3)=11$$ și $$l_s(3)=9$$

$$f$$ nu este continuă în $$3$$, deoarece ramurile au formule diferite

Fie $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{x^{2}-25}{x-5}$$ pentru $$x \ne 5$$ și $$f(5)=8$$. Atunci:

$$f$$ nu este continuă în $$5$$, deoarece $$\lim\limits_{x \to 5} f(x)=10 \ne 8=f(5)$$

$$f$$ nu este continuă în $$5$$, deoarece limita ei în $$5$$ nu există

$$f$$ nu este continuă în $$5$$, deoarece $$5$$ nu aparține domeniului

Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

Dacă $$x_0$$ este punct izolat al domeniului, $$f$$ este continuă în $$x_0$$ prin convenție

Dacă $$l_s(x_0)=l_d(x_0)$$, atunci $$f$$ este continuă în $$x_0$$

Continuitatea se afirmă despre o funcție, nu despre o funcție și un punct

O funcție continuă în $$x_0$$ poate avea $$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=+\infty$$

Când este o funcție continuă într-un punct?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Continuitatea unei funcții într-un punct

Atunci când punctul aparține domeniului, limita în el există și este finită, iar valoarea acestei limite coincide cu $f (x_{0})$ . Cele trei cerințe se verifică separat și se punctează separat. Practic scrii lanțul $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ : dacă se închide, funcția e continuă acolo. La $f (x) = x^{2} + 1$ în $2$ toate trei valorează $5$ , deci continuitatea este asigurată.

Definiție. $f : D \to R$ este continuă în $x_{0} \in D$ dacă $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ . Egalitatea împachetează trei cerințe, punctate separat la examen: $x_{0}$ să fie în domeniu; limita să existe și să fie finită; cele două să fie egale. Continuitatea este o proprietate locală și punctuală — se afirmă despre o funcție și un punct. Dacă $x_{0}$ este punct izolat al domeniului, $f$ e continuă acolo prin convenție.

Criteriul cu șiruri: $f$ e continuă în $x_{0}$ dacă și numai dacă pentru orice șir $(x_{n})$ din $D$ cu $x_{n} \to x_{0}$ avem $f (x_{n}) \to f (x_{0})$ . Spre deosebire de definiția limitei, aici termenii au voie să fie egali cu $x_{0}$ . Ca să infirmi continuitatea e de ajuns un singur contraexemplu.

Forma de lucru este lanțul de trei egalități $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ ; la un capăt închis al domeniului se cere doar continuitatea laterală dinspre interior.

Funcțiile uzuale sunt continue în fiecare punct al domeniului lor — graficul se trasează fără să ridici creionul. Rețeta are trei pași: valoarea (de pe ramura care conține punctul), cele două limite laterale, comparația.

De reținut

$f$ continuă în $x_{0}$ înseamnă $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$
se cer trei lucruri: punct în domeniu, limită finită, egalitate cu valoarea
forma de lucru este $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$

Greșeala tipică

Se declară funcția continuă după ce s-a arătat doar că limitele laterale sunt egale. Mai lipsește comparația cu $f (x_{0})$ ; fără ea, punctul poate fi unul de discontinuitate.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 2$ pentru $x < 3$ și $f (x) = 5 x - 4$ pentru $x \geq 3$ . Atunci:
- a) $f$ nu este continuă în $3$ , deoarece $l_{s} (3) = 11$ și $l_{d} (3) = 15$
- b) $f$ este continuă în $3$
- c) $f$ nu este continuă în $3$ , deoarece $f (3) = 11$ și $l_{s} (3) = 9$
- d) $f$ nu este continuă în $3$ , deoarece ramurile au formule diferite
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f$ este continuă în $3$

Punctul $3$ verifică $x \geq 3$ , deci $f (3) = 5 \cdot 3 - 4 = 11$ . Apoi $l_{s} (3) = 3^{2} + 2 = 11$ și $l_{d} (3) = 5 \cdot 3 - 4 = 11$ . Lanțul $11 = 11 = 11$ se închide, deci $f$ este continuă în $3$ . Varianta d) confundă forma expresiei cu comportarea funcției — acolada cere doar să verifici racordul.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 25}{x - 5}$ pentru $x \neq = 5$ și $f (5) = 8$ . Atunci:
- a) $f$ este continuă în $5$
- b) $f$ nu este continuă în $5$ , deoarece limita ei în $5$ nu există
- c) $f$ nu este continuă în $5$ , deoarece $5$ nu aparține domeniului
- d) $f$ nu este continuă în $5$ , deoarece $x \to 5 lim f (x) = 10 \neq = 8 = f (5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ nu este continuă în $5$ , deoarece $x \to 5 lim f (x) = 10 \neq = 8 = f (5)$

Pentru $x \neq = 5$ avem $\frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x - 5} = x + 5$ , deci limita în $5$ există și este $10$ . Valoarea impusă prin enunț este $8$ , iar $10 \neq = 8$ : a treia cerință a definiției cade. Varianta c) e falsă — domeniul este $R$ , funcția fiind definită și în $5$ .
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) Dacă $l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ , atunci $f$ este continuă în $x_{0}$
- b) Continuitatea se afirmă despre o funcție, nu despre o funcție și un punct
- c) Dacă $x_{0}$ este punct izolat al domeniului, $f$ este continuă în $x_{0}$ prin convenție
- d) O funcție continuă în $x_{0}$ poate avea $x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Dacă $x_{0}$ este punct izolat al domeniului, $f$ este continuă în $x_{0}$ prin convenție

Într-un punct izolat limita nici nu se definește, iar funcția nu are cum să „sară”, neavând vecini cu care să se compare. a) e incompletă: lanțul cere și egalitatea cu $f (x_{0})$ . b) e falsă — aceeași funcție poate fi continuă în $2$ și discontinuă în $5$ . d) e falsă: limita trebuie să fie finită, egală cu un număr real.

Întrebări conexe

Care sunt cei trei pași de verificare a continuității?

Iei valoarea funcției din ramura care conține punctul, calculezi cele două limite laterale, apoi compari cele trei numere. Dacă toate coincid, funcția este continuă; dacă nu, ai găsit un punct de discontinuitate. Ordinea aceasta se respectă și la funcțiile date printr-o singură formulă.

Ce lanț de egalități se scrie la continuitatea în punct?

Se scrie $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ , cu valoarea funcției așezată la mijloc. Forma aceasta arată dintr-o privire care dintre cele trei numere iese din rând. Într-un capăt închis al domeniului rămâne numai jumătatea dinspre interior.

De ce se cere ca limita să fie finită la continuitate?

Pentru că $f (x_{0})$ este un număr real, iar egalitatea dintre el și limită nu are sens dacă limita e infinită. Chiar dacă ambele laterale ies $+ \infty$ și coincid între ele, punctul rămâne unul de discontinuitate.

Este continuă funcția modul în zero?

Da. Ambele laterale valorează $0$ , la fel ca $f (0)$ , deci lanțul se închide. Funcția are acolo un colț, dar colțul strică derivabilitatea, nu continuitatea: graficul se desenează fără să ridici creionul.

Cum infirm continuitatea cu un singur șir?

Găsești un șir $x_{n}$ din domeniu care tinde la $x_{0}$ și pentru care $f (x_{n})$ nu se apropie de $f (x_{0})$ . Un asemenea exemplu, calculat complet, este de ajuns. Ca să demonstrezi continuitatea, dimpotrivă, ai nevoie de toate șirurile posibile.

Ce se verifică într-un capăt închis al domeniului?

Numai continuitatea laterală dinspre interiorul intervalului, fiindcă din partea cealaltă nu există puncte. La $x$ în $0$ compari doar limita prin valori pozitive cu $f (0) = 0$ . Cerința se scrie explicit, altfel concluzia pare nejustificată.

Oamenii mai întreabă și: continuitatea într-un punct · ce înseamnă funcție continuă · cum verific continuitatea · condiții de continuitate · funcție continuă în x zero