Despre funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{4}$$, este adevărat că:

este convexă pe $$\mathbb{R}$$, deși $$f''(0) = 0$$

nu este convexă pe $$\mathbb{R}$$, pentru că $$f''(0) = 0$$

este concavă pe $$(-\infty, 0]$$

este convexă numai pe $$[0, +\infty)$$

Fie $$f$$ de două ori derivabilă pe un interval $$I$$, cu $$f''(x) > 0$$ pentru orice $$x \in I$$. Atunci:

$$f'$$ este crescătoare pe $$I$$, dar despre monotonia lui $$f$$ nu se poate spune nimic

$$f$$ este crescătoare pe $$I$$

$$f$$ are un punct de minim în interiorul lui $$I$$

$$f'$$ este descrescătoare pe $$I$$

Cum arăt convexitatea cu derivata a doua?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Convexitatea și derivata a doua

Calculezi $f^{''}$ și îi studiezi semnul pe fiecare interval din domeniu: unde $f^{''} \geq 0$ funcția este convexă, unde $f^{''} \leq 0$ este concavă. Puntea e simplă: din semnul lui $f^{''}$ afli dacă $f^{'}$ urcă sau coboară, adică în ce fel se rotește tangenta de-a lungul curbei. La $f (x) = x^{3}$ obții $f^{''} (x) = 6 x$ , deci concavă pe $(- \infty, 0]$ și convexă pe $[0, + \infty)$ .

Criteriul care înlocuiește inegalitatea cu coarda printr-un simplu studiu de semn: dacă $f$ este de două ori derivabilă pe intervalul $I$ , atunci $f$ este convexă pe $I$ exact când $f^{''} (x) \geq 0$ pe $I$ și concavă exact când $f^{''} (x) \leq 0$ .

Puntea e ușor de ținut minte. Semnul lui $f^{''}$ dă monotonia lui $f^{'}$ , adică felul în care se rotește tangenta: dacă panta tangentei crește de-a lungul curbei, graficul se scobește în sus și „ține apa" ( $\cup$ ); dacă panta scade, graficul se bombează și „varsă apa" ( $\cap$ ).

Rețeta are patru pași: domeniul și verificarea că $f$ e de două ori derivabilă; calculul lui $f^{'}$ , apoi al lui $f^{''}$ , cu simplificare între ei; ecuația $f^{''} (x) = 0$ , plus punctele în care $f^{''}$ nu există sau funcția nu e definită; tabelul de semn al lui $f^{''}$ , din care se citesc intervalele.

Inegalitățile din criteriu sunt nestricte, și nu din prudență: $f (x) = x^{4}$ are $f^{''} (0) = 0$ și rămâne convexă pe tot $R$ . Ce contează este ca $f^{''}$ să nu-și schimbe semnul, nu să nu se anuleze.

Două confuzii de evitat: monotonia se citește din $f^{'}$ , curbura din $f^{''}$ — sunt informații independente, care se combină în patru feluri; iar concluzia se scrie pe câte un interval, niciodată pe o reuniune. La calculul semnului, separă factorii care nu schimbă niciodată semnul: exponențiale, pătrate, numitori la putere pară.

De reținut

$f^{''} \geq 0$ pe un interval dă funcție convexă acolo
$f^{''} \leq 0$ pe un interval dă funcție concavă acolo
monotonia se citește din $f^{'}$ , curbura din $f^{''}$

Greșeala tipică

Se citește curbura din semnul derivatei întâi. Aceasta dă doar monotonia; despre felul în care se îndoaie graficul vorbește numai derivata a doua.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ , este convexă pe:
- a) $(- \infty, - 1]$
- b) $R$
- c) $[- 1, + \infty)$
- d) $[- 2, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[- 1, + \infty)$

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 12 x$ , iar $f^{''} (x) = 12 x + 12 = 12 (x + 1)$ , cu zeroul $- 1$ : semnul este negativ înainte și pozitiv după. Deci $f$ este concavă pe $(- \infty, - 1]$ și convexă pe $[- 1, + \infty)$ . Valoarea $- 2$ este zeroul derivatei întâi, deci ține de monotonie, nu de curbură — exact confuzia pe care o pândește acest tip de exercițiu.
Despre funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4}$ , este adevărat că:
- a) nu este convexă pe $R$ , pentru că $f^{''} (0) = 0$
- b) este convexă pe $R$ , deși $f^{''} (0) = 0$
- c) este concavă pe $(- \infty, 0]$
- d) este convexă numai pe $[0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) este convexă pe $R$ , deși $f^{''} (0) = 0$

$f^{''} (x) = 12 x^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, cu anulare doar în origine. Criteriul se scrie cu inegalitate nestrictă tocmai pentru acest caz: un zerou izolat al lui $f^{''}$ nu strică nimic, pentru că semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Verificarea directă din definiție confirmă convexitatea pe tot $R$ .
Fie $f$ de două ori derivabilă pe un interval $I$ , cu $f^{''} (x) > 0$ pentru orice $x \in I$ . Atunci:
- a) $f$ este crescătoare pe $I$
- b) $f$ are un punct de minim în interiorul lui $I$
- c) $f^{'}$ este descrescătoare pe $I$
- d) $f^{'}$ este crescătoare pe $I$ , dar despre monotonia lui $f$ nu se poate spune nimic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f^{'}$ este crescătoare pe $I$ , dar despre monotonia lui $f$ nu se poate spune nimic

Semnul derivatei a doua este semnul derivatei lui $f^{'}$ , deci dă monotonia pantei, nu a funcției. Un contraexemplu limpede: $f (x) = x^{2}$ are $f^{''} = 2 > 0$ peste tot, dar funcția scade pe $(- \infty, 0]$ . Monotonia se citește din $f^{'}$ , curbura din $f^{''}$ , iar cele două se combină în patru feluri: crește convex, crește concav, scade convex, scade concav.

Întrebări conexe

Ce legătură are semnul derivatei a doua cu monotonia derivatei întâi?

Este exact aceeași informație: $f^{''} > 0$ înseamnă că $f^{'}$ crește, deci panta tangentei se mărește de-a lungul curbei, iar graficul se scobește în sus. Când panta scade, curba se bombează, adică devine concavă.

Ce convexitate are funcția x la a patra în jurul lui zero?

Rămâne convexă. Derivata a doua este $12 x^{2}$ , nenegativă peste tot, iar în origine se anulează fără să își schimbe semnul. De aceea criteriul este scris cu inegalități nestricte, nu din prudență.

Care sunt cei patru pași ai studiului convexității?

Scrii domeniul și verifici că funcția este de două ori derivabilă, calculezi $f^{'}$ și apoi $f^{''}$ cu simplificare între ele, rezolvi ecuația $f^{''} (x) = 0$ adăugând punctele problematice, apoi faci tabelul de semn.

Ce factori nu schimbă semnul derivatei a doua?

Exponențialele, pătratele și numitorii ridicați la putere pară. Ei se pot separa din calcul, fiindcă rămân mereu pozitivi, iar semnul îl dă doar restul expresiei. Trucul scurtează mult tabelele de semn.

Ce curbură are funcția e la puterea x pe toată dreapta reală?

Este convexă peste tot, fiindcă derivata ei a doua este tot $e^{x}$ , care rămâne strict pozitivă. Graficul stă deasupra fiecărei tangente, ceea ce dă imediat inegalitatea dintre exponențială și dreapta $y = x + 1$ .

Se poate ca o funcție să crească și să fie concavă?

Da, iar combinația este chiar imaginea creșterii care încetinește: $f^{'} > 0$ împreună cu $f^{''} < 0$ . Logaritmul se comportă exact așa pe tot domeniul lui. Monotonia și curbura nu depind una de alta, așa că ies patru combinații posibile.

Oamenii mai întreabă și: convexitate cu derivata a doua · criteriul de convexitate · semnul derivatei a doua · cum aflu intervalele de convexitate · convexitate