Cum aflu mijlocul unui segment în plan?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Coordonatele mijlocului unui segment

Faci media aritmetică pe fiecare coordonată: $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ și $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ . Pentru $A (1, 4)$ și $B (7, 2)$ mijlocul este $M (4, 3)$ . Dacă știi mijlocul și un capăt, celălalt se află dublând mijlocul și scăzând capătul cunoscut. Aceeași regulă dă simetricul unui punct față de altul, iar la un paralelogram cele două diagonale au același mijloc.

Mijlocul $M$ al segmentului $[A B]$ , cu $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , are coordonatele $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}, y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2},$ adică media aritmetică a coordonatelor, calculată independent pe fiecare axă. Formula se justifică prin proiecțiile lui $A$ , $M$ , $B$ pe axe și teorema lui Thales. Mijlocul verifică $M A = M B = \frac{A B}{2}$ și $M A + M B = A B$ — a doua relație garantează că $M$ se află pe segment, nu doar la aceeași distanță de capete.

Problema inversă: dacă știi mijlocul $M$ și capătul $A$ , celălalt capăt este $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}, y_{B} = 2 y_{M} - y_{A}$ — dublezi mijlocul și scazi capătul cunoscut; nu te oprești la simpla diferență $x_{M} - x_{A}$ .

Aceeași formulă dă simetricul unui punct $A$ față de un punct $P$ : $A^{'} (2 x_{P} - x_{A}, 2 y_{P} - y_{A})$ ; față de origine, formula devine $A^{'} (- x_{A}, - y_{A})$ .

Într-un paralelogram $A B C D$ , diagonalele $[A C]$ și $[B D]$ au același mijloc, deci $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D}$ și $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D}$ — de aici se află al patrulea vârf sau centrul figurii. Mediana unui triunghi se calculează în doi pași: mijlocul laturii opuse, apoi distanța de la vârf la acel mijloc.

De reținut

$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
capătul lipsă: $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$
într-un paralelogram, diagonalele au același mijloc

Greșeala tipică

Se scrie $\frac{x _{B} - x _{A}}{2}$ , adică formula distanței amestecată cu cea a mijlocului. Diferența împărțită la doi dă jumătate din deplasare, nu poziția punctului căutat.

Exerciții din această mini-lecție

Mijlocul segmentului cu capetele $A (- 5, 3)$ și $B (9, - 7)$ este:
- a) $(7, - 5)$
- b) $(2, - 2)$
- c) $(- 2, 2)$
- d) $(4, - 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2, - 2)$

$x_{M} = \frac{- 5 + 9}{2} = 2$ și $y_{M} = \frac{3 - 7}{2} = - 2$ , deci $M (2, - 2)$ . Varianta a) confundă formula mijlocului cu cea a distanței: folosește diferența $\frac{x _{B} - x _{A}}{2} = \frac{9 - ( - 5 )}{2} = 7$ în loc de sumă. Varianta c) are semnele ambelor coordonate schimbate. Varianta d) a împărțit corect doar abscisa, dar a calculat greșit ordonata.
Punctul $M (3, - 1)$ este mijlocul segmentului $[A B]$ , iar $A (- 2, 4)$ . Atunci punctul $B$ este:
- a) $(5, - 5)$
- b) $(1, 3)$
- c) $(8, - 6)$
- d) $(8, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(8, - 6)$

Din $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ obținem $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A} = 2 \cdot 3 - (- 2) = 8$ , iar $y_{B} = 2 y_{M} - y_{A} = 2 \cdot (- 1) - 4 = - 6$ , deci $B (8, - 6)$ . Varianta a) este greșeala tipică: se calculează doar diferența $M - A = (3 - (- 2), - 1 - 4) = (5, - 5)$ și se oprește acolo, fără să mai facă „încă un pas" egal dincolo de mijloc. Varianta b) nu corespunde niciunui calcul valid al formulei. Varianta d) are eroare de semn la ordonată.
În paralelogramul $A B C D$ se cunosc $A (1, 2)$ , $B (5, 3)$ , $C (7, 8)$ . Vârful $D$ este:
- a) $(- 1, - 3)$
- b) $(3, 7)$
- c) $(11, 9)$
- d) $(1, 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(3, 7)$

În paralelogramul $A B C D$ , diagonalele sunt $[A C]$ și $[B D]$ , iar ele au același mijloc: $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \Rightarrow 1 + 7 = 5 + x_{D} \Rightarrow x_{D} = 3$ ; analog $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} \Rightarrow 2 + 8 = 3 + y_{D} \Rightarrow y_{D} = 7$ , deci $D (3, 7)$ . Varianta a) apare din identificarea greșită a diagonalelor, ca și cum $[A B]$ și $[C D]$ ar fi diagonale (de fapt sunt laturi), calculând $D = A + B - C$ . Variantele c) și d) provin din alte combinații greșite ale coordonatelor.

Întrebări conexe

Cum aflu centrul unui paralelogram din coordonatele vârfurilor?

Calculezi mijlocul uneia dintre diagonale, fiindcă amândouă trec prin același punct. Cu $A (1, 2)$ și $C (7, 8)$ centrul este $(4, 5)$ , iar același rezultat trebuie să iasă și din cealaltă diagonală. Coincidența lor confirmă că figura este paralelogram.

Ce coordonate are mijlocul unui segment cu un capăt în origine?

Fiecare coordonată se înjumătățește: mijlocul lui $[O A]$ , cu $A (6, - 4)$ , este $(3, - 2)$ . Formula generală se simplifică, fiindcă la origine amândouă coordonatele sunt nule. Rezultatul rămâne pe segmentul dintre cele două puncte.

Cum verific dacă un punct este chiar mijlocul unui segment?

Compari coordonatele lui cu mediile capetelor. Nu este de ajuns ca punctul să fie la aceeași distanță de amândouă: pe mediatoarea segmentului există o infinitate de astfel de puncte. Doar egalitatea coordonatelor cu mediile îl fixează pe segment.

Ce se întâmplă dacă segmentul este paralel cu o axă?

Una dintre coordonate rămâne aceeași la ambele capete, deci și la mijloc. La un segment orizontal se face media doar pe abscise, iar ordonata se copiază. Formula generală dă exact același lucru, fără nicio excepție.

Ce legătură are mijlocul cu linia mijlocie a unui triunghi?

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi, iar coordonatele ei se află cu aceeași formulă, aplicată de două ori. Ea iese paralelă cu a treia latură și jumătate din ea, ceea ce se poate verifica direct prin calculul distanțelor.

De ce mijlocul nu depinde de ordinea capetelor?

Fiindcă adunarea este comutativă, iar în formulă coordonatele capetelor se adună. Segmentul $[A B]$ și segmentul $[B A]$ sunt același obiect, deci ar fi ciudat ca mijlocul să iasă altundeva. Formula distanței are aceeași proprietate, dintr-un motiv asemănător.

Oamenii mai întreabă și: formula mijlocului unui segment · coordonatele mijlocului · cum aflu simetricul unui punct față de altul · al patrulea vârf al paralelogramului · centrul unui segment