Coordonatele mijlocului unui segment

Doi prieteni locuiesc în capete opuse ale orașului și vor să se întâlnească „la jumătatea drumului". Deschid harta, se uită la cele două puncte și încearcă să ghicească din ochi unde ar veni mijlocul. E o operațiune surprinzător de nesigură: ochiul se lasă păcălit de clădiri, de curbura străzilor, de propria dorință de a merge mai puțin. Dacă însă amândoi își citesc coordonatele, mijlocul nu mai e o chestiune de estimare, ci de aritmetică — două împărțiri la doi și gata.

Aceasta este una dintre cele mai simple formule din toată matematica de liceu și, tocmai de aceea, una dintre cele mai des folosite. Mijlocul unui segment apare în centrul unui paralelogram, în capătul unei mediane, în punctul de simetrie al unei figuri, în media a două măsurători. După ce ai învățat în lecția precedentă cum se calculează distanța dintre două puncte, formula mijlocului îți completează trusa de bază a geometriei analitice: cu ele două poți descrie numeric aproape orice figură desenată în reperul cartezian.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi coordonatele mijlocului unui segment, ca medie aritmetică a coordonatelor capetelor.
• Vei ști să justifici formula, folosind proiecțiile capetelor pe axe, nu doar să o aplici.
• Vei ști să rezolvi problema inversă: să afli un capăt al segmentului când cunoști mijlocul și celălalt capăt.
• Vei ști să determini simetricul unui punct față de un alt punct sau față de origine.
• Vei ști să folosești proprietatea diagonalelor pentru a găsi al patrulea vârf al unui paralelogram și centrul acestuia.
• Vei ști să calculezi lungimea unei mediane într-un triunghi cu vârfuri date prin coordonate.

Hai să descoperim împreună

1. Pe o axă, mijlocul este media aritmetică

Începem cu situația cea mai simplă, pe o singură axă. Dacă pe axa numerelor avem punctele de abscise $2$ și $8$, unde se află mijlocul segmentului dintre ele? La $5$ — și oricine îl găsește instinctiv, pentru că $5$ este exact la $3$ unități de fiecare capăt. Numărul $5$ nu e ales din intuiție, ci este media aritmetică:

$$\frac{2+8}{2}=5.$$

Funcționează și cu numere negative: mijlocul dintre $-7$ și $3$ este $\frac{-7+3}{2}=-2$. Verifică: de la $-7$ la $-2$ sunt $5$ unități, de la $-2$ la $3$ tot $5$ ✓.

Ideea că mijlocul = media e cheia întregii lecții. Ne rămâne să vedem cum se transferă ea din unidimensional în plan.

2. În plan: fiecare coordonată își vede de treaba ei

Desenăm în reper punctele $A(2,3)$ și $B(8,7)$ și îl marcăm din ochi pe mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$. Dacă îl proiectăm pe $M$ pe axa $Ox$, unde cade? Exact la jumătatea drumului dintre proiecțiile lui $A$ și $B$, adică între $2$ și $8$: la $5$. Iar pe $Oy$, între $3$ și $7$: la $5$.

Aceasta e observația centrală: cele două coordonate se calculează independent una de alta, fiecare cu propria medie. Segmentul „se împarte la jumătate" simultan pe orizontală și pe verticală.

3. Formula mijlocului și justificarea ei

Teoremă (coordonatele mijlocului). Dacă $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ sunt două puncte, atunci mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$ are coordonatele:

$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2},y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.$$

Pe scurt: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Justificare. Proiectăm punctele $A$, $M$, $B$ pe axa $Ox$ și obținem punctele $A^{\prime }(x_A,0)$, $M^{\prime }(x_M,0)$, $B^{\prime }(x_B,0)$. Dreptele $A{A}^{\prime }$, $M{M}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ sunt toate perpendiculare pe $Ox$, deci sunt paralele între ele. Ele taie două secante: dreapta $AB$ și axa $Ox$. Din teorema lui Thales, un fascicul de paralele determină pe două secante segmente proporționale; cum pe secanta $AB$ avem $AM=MB$ (adică raportul este $1$), rezultă că și pe axa $Ox$ avem $A^{\prime }{M}^{\prime }=M^{\prime }{B}^{\prime }$. Așadar $M^{\prime }$ este mijlocul segmentului $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ de pe axă, iar pe o axă mijlocul are abscisa egală cu media aritmetică a capetelor:

$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}.$$

Proiectând analog pe axa $Oy$ obținem $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$. (Dacă segmentul este vertical, proiecțiile pe $Ox$ coincid și egalitatea e banal adevărată; la fel pentru segmentul orizontal proiectat pe $Oy$.) $■$

4. Un control care nu dă greș: distanțele

Formula se poate verifica și cu unealta din lecția precedentă. Luăm $A(1,2)$, $B(7,10)$ și mijlocul dat de formulă, $M(4,6)$. Calculăm:

$$MA=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=5,MB=\sqrt{(7-4{)}^2+(10-6{)}^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

$$AB=\sqrt{(7-1{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Deci $MA=MB=5$ și $MA+MB=10=AB$. Prima egalitate spune că $M$ e la fel de depărtat de capete; a doua, că $M$ se află pe segment, nu undeva alături (dacă ar fi în afara dreptei $AB$, suma ar fi strict mai mare decât $AB$ — inegalitatea triunghiului). Împreună, cele două condiții caracterizează exact mijlocul.

Reține de aici un rezultat util: $MA=MB=\frac{AB}{2}$.

5. Problema inversă: capătul necunoscut

Multe probleme dau mijlocul și un capăt și cer celălalt capăt. Nu e nevoie de nicio formulă nouă — se pleacă tot de la $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ și se izolează necunoscuta:

$$x_B=2x_M-x_A,y_B=2y_M-y_A.$$

În cuvinte: dublezi coordonatele mijlocului și scazi coordonatele capătului cunoscut. De exemplu, dacă $A(-2,3)$ și mijlocul este $M(1,5)$, atunci $x_B=2\cdot 1-(-2)=4$ și $y_B=2\cdot 5-3=7$, deci $B(4,7)$. Verificare rapidă: $\frac{-2+4}{2}=1$ ✓ și $\frac{3+7}{2}=5$ ✓.

O greșeală de evitat: mulți elevi scad direct coordonatele ($1-(-2)=3$) și răspund $B(3,2)$ — fals. Mijlocul e la jumătatea drumului, deci trebuie să faci încă un pas de aceeași mărime dincolo de el, nu să te oprești la diferență.

6. Simetricul unui punct față de un punct

Formula inversă are un nume geometric: punctul $B$ obținut mai sus este simetricul lui $A$ față de $M$. Prin definiție, simetricul lui $A$ față de un punct $P$ este acel punct $A^{\prime }$ pentru care $P$ este mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$. Deci:

$$A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A).$$

Cazul cel mai des întâlnit este simetria față de origine: cu $P(0,0)$ formula devine $A^{\prime }(-x_A,-y_A)$ — se schimbă semnele ambelor coordonate. Este exact regula pe care ai văzut-o la simetriile din reper: punctul simetric față de origine sare în cadranul „diagonal opus".

7. Mijlocul și paralelogramul

Din gimnaziu știi o proprietate esențială: într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc, adică au același mijloc. Tradusă în coordonate, ea devine un instrument foarte puternic. Dacă $ABCD$ este paralelogram (vârfurile luate în ordine, deci diagonalele sunt $[AC]$ și $[BD]$), atunci:

$$\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{x_B+x_D}{2}\text{și}\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{y_B+y_D}{2},$$

de unde, simplificând numitorii, obținem relația de reținut:

$$x_A+x_C=x_B+x_D,y_A+y_C=y_B+y_D.$$

Cu ea poți: (a) să afli al patrulea vârf când cunoști trei, (b) să verifici dacă patru puncte date formează un paralelogram, (c) să găsești centrul paralelogramului (mijlocul comun al diagonalelor), care este și centrul lui de simetrie. Cum dreptunghiul, rombul și pătratul sunt paralelograme particulare, proprietatea funcționează și pentru ele — o vom folosi din plin în lecția despre figuri în reperul cartezian.

8. Mediana unui triunghi

Ultima aplicație combină cele două formule pe care le stăpânești acum. Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Cu coordonate, calculul se face în doi pași mecanici:

1. afli mijlocul laturii opuse (formula mijlocului);
2. calculezi distanța de la vârf la acest mijloc (formula distanței).

De exemplu, în triunghiul $A(-2,1)$, $B(6,5)$, $C(0,-3)$, mijlocul laturii $[BC]$ este $M\left(\frac{6+0}{2},\frac{5-3}{2}\right)=M(3,1)$, iar mediana din $A$ măsoară $AM=\sqrt{(3+2{)}^2+(1-1{)}^2}=5$. Nicio construcție, niciun raportor — doar două formule aplicate în ordine.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a formulei

Determinați coordonatele mijlocului $M$ al segmentului cu capetele $A(2,3)$ și $B(8,7)$.

Rezolvare. Facem media pe fiecare coordonată separat:

$$x_M=\frac{2+8}{2}=5,y_M=\frac{3+7}{2}=5.$$

Deci $M(5,5)$. Control din ochi pe desen: punctul $(5,5)$ chiar cade între $A$ și $B$, la jumătate. $■$

Exemplul 2 — Coordonate negative și rezultat fracționar

Determinați mijlocul segmentului $[AB]$, unde $A(-3,5)$ și $B(4,-2)$.

Rezolvare.

$$x_M=\frac{-3+4}{2}=\frac{1}{2},y_M=\frac{5+(-2)}{2}=\frac{3}{2}.$$

Deci $M\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$. Coordonatele nu trebuie să fie întregi: mijlocul are coordonate întregi doar când sumele $x_A+x_B$ și $y_A+y_B$ sunt numere pare. Răspunsul se lasă sub formă de fracții, nu se rotunjește. $■$

Exemplul 3 — Verificarea cu distanțe

Se dau $A(1,2)$ și $B(7,10)$. Aflați mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$ și verificați că $MA=MB=\frac{AB}{2}$.

Rezolvare. Din formulă, $M\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+10}{2}\right)=M(4,6)$. Calculăm cele trei lungimi:

$$MA=\sqrt{3^2+4^2}=5,MB=\sqrt{3^2+4^2}=5,AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

Într-adevăr, $MA=MB=5=\frac{10}{2}$ ✓. Observă și de ce iese așa: de la $A$ la $M$ te deplasezi cu $3$ pe orizontală și cu $4$ pe verticală, exact jumătate din deplasarea de la $A$ la $B$ ($6$ și $8$). $■$

Exemplul 4 — Capătul necunoscut

Punctul $M(1,5)$ este mijlocul segmentului $[AB]$, iar $A(-2,3)$. Determinați coordonatele lui $B$.

Rezolvare. Din $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ scoatem $x_B$:

$$x_B=2x_M-x_A=2\cdot 1-(-2)=2+2=4,y_B=2y_M-y_A=2\cdot 5-3=7.$$

Deci $B(4,7)$. Verificare obligatorie: mijlocul lui $[AB]$ este $\left(\frac{-2+4}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(1,5)=M$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Al patrulea vârf al unui paralelogram

Se dau punctele $A(1,1)$, $B(2,4)$ și $C(7,5)$. Determinați coordonatele punctului $D$ astfel încât $ABCD$ să fie paralelogram.

Rezolvare. Vârfurile fiind luate în ordinea $A$, $B$, $C$, $D$, diagonalele sunt $[AC]$ și $[BD]$, iar ele trebuie să aibă același mijloc. Calculăm întâi mijlocul diagonalei cunoscute:

$$M_{AC}=\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(4,3).$$

Punctul $D$ trebuie să fie astfel încât mijlocul lui $[BD]$ să fie tot $(4,3)$, deci $D$ este simetricul lui $B$ față de acest punct:

$$x_D=2\cdot 4-2=6,y_D=2\cdot 3-4=2.$$

Așadar $D(6,2)$. Verificare cu laturile opuse (folosind formula distanței): $AB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ și $CD=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$; $BC=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ și $DA=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ ✓ — laturile opuse sunt congruente, cum se cuvine într-un paralelogram. Centrul paralelogramului este $(4,3)$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat: lungimea unei mediane

Se consideră triunghiul cu vârfurile $A(-2,1)$, $B(6,5)$ și $C(0,-3)$. Calculați lungimea medianei duse din vârful $A$.

Rezolvare. Mediana din $A$ unește vârful $A$ cu mijlocul $M$ al laturii opuse, $[BC]$.

Pasul 1 — mijlocul laturii $[BC]$:

$$M\left(\frac{6+0}{2},\frac{5+(-3)}{2}\right)=M(3,1).$$

Pasul 2 — distanța de la $A$ la $M$:

$$AM=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{25+0}=5.$$

Mediana din $A$ are lungimea $5$. (Rezultatul e „rotund" pentru că $A$ și $M$ au aceeași ordonată: mediana este, în acest caz, un segment orizontal.) $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată explicit suma coordonatelor înainte de a împărți la doi, iar la problemele inverse verifică răspunsul recalculând mijlocul — durează zece secunde și îți salvează exercițiul.

1. Determină mijlocul segmentului cu capetele $A(2,4)$ și $B(6,10)$.

2. Determină mijlocul segmentului cu capetele $A(-3,2)$ și $B(5,-6)$.

3. Determină mijlocul segmentului cu capetele $A(-7,-1)$ și $B(3,9)$.

4. Fie $O(0,0)$ și $B(-6,8)$. Află mijlocul $M$ al segmentului $[OB]$, apoi calculează $OM$ și $OB$ și verifică relația $OM=\frac{OB}{2}$.

5. Determină mijlocul segmentului cu capetele $A(-1,4)$ și $B(4,7)$. Lasă rezultatul sub formă de fracții.

6. Determină mijlocul segmentului cu capetele $A(-5,3)$ și $B(11,-7)$.

7. Punctul $M(5,3)$ este mijlocul segmentului $[AB]$, iar $A(2,-1)$. Află coordonatele lui $B$.

8. Determină simetricul punctului $A(3,-2)$ față de punctul $P(1,1)$.

9. Punctul $M$, mijlocul segmentului $[AB]$, coincide cu originea, iar $A(-4,7)$. Află coordonatele lui $B$. Ce observi despre semnele coordonatelor?

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un segment are capetele cu coordonate întregi, atunci și mijlocul lui are coordonate întregi."

11. Fie $A(-3,1)$ și $B(5,7)$. Află mijlocul $M$, apoi verifică prin calcul că $MA=MB$ și că $MA+MB=AB$.

12. Se dau punctele $A(-1,2)$, $B(3,1)$ și $C(6,5)$. Determină al patrulea vârf $D$ al paralelogramului $ABCD$ și coordonatele centrului său.

13. (Problemă aplicată.) Pe harta unui parc, intrarea principală este în punctul $A(2,3)$, iar chioșcul de înghețată în $B(10,9)$; o unitate reprezintă $50$ de metri. Doi prieteni pleacă simultan din cele două locuri și se întâlnesc exact la jumătatea distanței. În ce punct se întâlnesc și câți metri parcurge fiecare, în linie dreaptă?

14. În triunghiul cu vârfurile $A(-2,1)$, $B(6,5)$, $C(0,-3)$, calculează lungimea medianei duse din $C$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră punctele $A(2,-3)$ și $B(6,5)$. a) Determinați coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[AB]$. b) Determinați coordonatele punctului $C$, simetricul lui $A$ față de $B$.

16. Dreptunghiul $ABCD$ are vârfurile $A(-2,1)$, $B(6,1)$, $C(6,7)$, $D(-2,7)$. Arată, calculând mijloacele ambelor diagonale, că acestea au același mijloc și precizează centrul dreptunghiului.

17. (Raționament.) Folosind formula distanței, demonstrează că punctul $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ verifică $MA=MB$. De ce această egalitate singură nu este suficientă pentru a garanta că $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$?

18. (Provocare.) Punctele $A(1,2)$, $B(5,4)$ și $C(3,8)$ sunt mijloacele laturilor unui triunghi $PQR$: $A$ este mijlocul lui $[PQ]$, $B$ mijlocul lui $[QR]$, iar $C$ mijlocul lui $[RP]$. Determină coordonatele vârfurilor $P$, $Q$, $R$.

Răspunsuri și explicații

1. $M\left(\frac{2+6}{2},\frac{4+10}{2}\right)=M(4,7)$.

2. $M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{2-6}{2}\right)=M(1,-2)$.

3. $M\left(\frac{-7+3}{2},\frac{-1+9}{2}\right)=M(-2,4)$.

4. $M\left(\frac{0-6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=M(-3,4)$. Apoi $OM=\sqrt{9+16}=5$ și $OB=\sqrt{36+64}=10$, deci $OM=\frac{OB}{2}$ ✓.

5. $M\left(\frac{-1+4}{2},\frac{4+7}{2}\right)=M\left(\frac{3}{2},\frac{11}{2}\right)$, adică $M(1,5;5,5)$.

6. $M\left(\frac{-5+11}{2},\frac{3-7}{2}\right)=M(3,-2)$.

7. $x_B=2\cdot 5-2=8$, $y_B=2\cdot 3-(-1)=7$, deci $B(8,7)$. Verificare: $\left(\frac{2+8}{2},\frac{-1+7}{2}\right)=(5,3)=M$ ✓.

8. $A^{\prime }(2\cdot 1-3,2\cdot 1-(-2))=A^{\prime }(-1,4)$. Verificare: mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$ este $\left(\frac{3-1}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(1,1)=P$ ✓.

9. $x_B=2\cdot 0-(-4)=4$ și $y_B=2\cdot 0-7=-7$, deci $B(4,-7)$. Coordonatele lui $B$ sunt opusele coordonatelor lui $A$ — regula simetriei față de origine: $A(x,y)\to A^{\prime }(-x,-y)$.

10. Fals. Contraexemplu: pentru $A(1,2)$ și $B(4,7)$ mijlocul este $\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$, cu ambele coordonate fracționare. Mijlocul are coordonate întregi doar dacă sumele $x_A+x_B$ și $y_A+y_B$ sunt pare, adică dacă abscisele au aceeași paritate și, separat, ordonatele au aceeași paritate.

11. $M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{1+7}{2}\right)=M(1,4)$. Apoi $MA=\sqrt{16+9}=5$, $MB=\sqrt{16+9}=5$, deci $MA=MB$ ✓; iar $AB=\sqrt{64+36}=10$, deci $MA+MB=10=AB$ ✓ — egalitatea confirmă și că $M$ se află pe segment.

12. Mijlocul diagonalei $[AC]$ este $\left(\frac{-1+6}{2},\frac{2+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{7}{2}\right)$. Din condiția ca $[BD]$ să aibă același mijloc: $x_D=2\cdot \frac{5}{2}-3=2$ și $y_D=2\cdot \frac{7}{2}-1=6$, deci $D(2,6)$. Se putea folosi direct relația $x_A+x_C=x_B+x_D$: $-1+6=3+x_D\Rightarrow x_D=2$; analog $2+5=1+y_D\Rightarrow y_D=6$. Centrul paralelogramului este $\left(\frac{5}{2},\frac{7}{2}\right)$.

13. Punctul de întâlnire este mijlocul: $M\left(\frac{2+10}{2},\frac{3+9}{2}\right)=M(6,6)$. Distanța totală: $AB=\sqrt{64+36}=10$ unități, adică $500$ de metri; fiecare parcurge jumătate, deci $5$ unități $=250$ de metri. (Se putea calcula și direct: $AM=\sqrt{16+9}=5$.)

14. Mediana din $C$ merge la mijlocul laturii $[AB]$: $M\left(\frac{-2+6}{2},\frac{1+5}{2}\right)=M(2,3)$. Atunci $CM=\sqrt{(2-0{)}^2+(3+3{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

15. a) $M\left(\frac{2+6}{2},\frac{-3+5}{2}\right)=M(4,1)$. b) Simetricul lui $A$ față de $B$ înseamnă că $B$ este mijlocul lui $[AC]$, deci $x_C=2\cdot 6-2=10$ și $y_C=2\cdot 5-(-3)=13$: $C(10,13)$. Verificare: mijlocul lui $[AC]$ este $\left(\frac{2+10}{2},\frac{-3+13}{2}\right)=(6,5)=B$ ✓.

16. Mijlocul lui $[AC]$: $\left(\frac{-2+6}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(2,4)$. Mijlocul lui $[BD]$: $\left(\frac{6-2}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(2,4)$. Cele două mijloace coincid, deci diagonalele se înjumătățesc, iar centrul dreptunghiului este $(2,4)$.

17. Calculăm diferențele pentru $MA$: $x_A-x_M=x_A-\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{x_A-x_B}{2}$ și, analog, $y_A-y_M=\frac{y_A-y_B}{2}$. Pentru $MB$ obținem $x_B-x_M=\frac{x_B-x_A}{2}$ și $y_B-y_M=\frac{y_B-y_A}{2}$ — adică exact numerele opuse. Cum la ridicarea la pătrat semnul dispare, sumele de sub radical sunt identice, deci $MA=MB$. Egalitatea nu e însă suficientă: toate punctele mediatoarei segmentului $[AB]$ sunt egal depărtate de capete (ai văzut asemenea puncte în lecția despre distanțe), iar mijlocul este singurul dintre ele situat pe segment. Condiția suplimentară necesară este $MA+MB=AB$.

18. Notăm $P(x_1,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$, $R(x_3,y_3)$. Din ipoteze: $x_1+x_2=2$, $x_2+x_3=10$, $x_3+x_1=6$ (am dublat abscisele lui $A$, $B$, respectiv $C$). Adunând cele trei relații: $2(x_1+x_2+x_3)=18$, deci $x_1+x_2+x_3=9$. Scăzând pe rând câte o relație: $x_1=9-10=-1$, $x_2=9-6=3$, $x_3=9-2=7$. Identic pentru ordonate: $y_1+y_2=4$, $y_2+y_3=8$, $y_3+y_1=16$, cu suma $y_1+y_2+y_3=14$, de unde $y_1=6$, $y_2=-2$, $y_3=10$. Așadar $P(-1,6)$, $Q(3,-2)$, $R(7,10)$. Verificare: mijlocul lui $[PQ]$ este $(1,2)=A$ ✓, mijlocul lui $[QR]$ este $(5,4)=B$ ✓, mijlocul lui $[RP]$ este $(3,8)=C$ ✓.

De reținut

• Formula mijlocului: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ — media aritmetică se face pe fiecare coordonată separat.
• Problema inversă: dacă știi mijlocul $M$ și capătul $A$, celălalt capăt este $B(2x_M-x_A,2y_M-y_A)$ — dublezi mijlocul și scazi capătul cunoscut.
• Simetricul lui $A$ față de $P$ se obține cu aceeași formulă: $A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A)$; față de origine, simetricul este $A^{\prime }(-x_A,-y_A)$.
• Mijlocul verifică $MA=MB=\frac{AB}{2}$ și $MA+MB=AB$; a doua relație e cea care garantează că punctul se află pe segment.
• Într-un paralelogram $ABCD$, diagonalele au același mijloc: $x_A+x_C=x_B+x_D$ și $y_A+y_C=y_B+y_D$ — de aici afli al patrulea vârf sau centrul figurii.

Greșeli frecvente

• Scăderea în loc de adunare. Se scrie $\frac{x_B-x_A}{2}$ în loc de $\frac{x_A+x_B}{2}$. Acea diferență este jumătate din deplasare, nu poziția mijlocului — se confundă formula mijlocului cu cea a distanței.
• Împărțirea unei singure coordonate. Se calculează media absciselor și se copiază ordonata unuia dintre capete. Ambele coordonate se mediază, independent una de alta.
• La problema inversă, oprirea la diferență. Din $A(-2,3)$ și $M(1,5)$ se răspunde $B(3,2)$. Corect este $B(2x_M-x_A,2y_M-y_A)=B(4,7)$: de la mijloc mai faci încă un pas egal cu primul.
• Rotunjirea rezultatelor fracționare. $M\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$ nu se scrie „$M(2,4)$" sau „$M(3,5)$". Mijlocul poate avea coordonate care nu sunt întregi și așa se lasă.
• Diagonale greșit identificate în paralelogram. În $ABCD$, diagonalele sunt $[AC]$ și $[BD]$, nu $[AB]$ și $[CD]$ (acelea sunt laturi). Ordinea literelor spune tot; desenează figura înainte de a scrie relația.

Aplică acasă

1. Punctul de întâlnire corect. Alege pe o hartă digitală casa ta și casa unui prieten. Citește coordonatele aproximative ale ambelor (multe aplicații le afișează la apăsare lungă), calculează mijlocul cu formula și caută ce se află în acel loc: un parc, o stație, un magazin? Compară-l cu locul unde v-ați întâlni „din obișnuință" — de obicei nu e la jumătate.

2. Centrul mesei. Măsoară blatul unei mese dreptunghiulare punând un colț ca origine și cele două laturi ca axe (unitatea: $1$ cm). Notează coordonatele celor patru colțuri, calculează mijloacele ambelor diagonale și verifică prin măsurare că se suprapun. Ai demonstrat experimental proprietatea diagonalelor dreptunghiului.

3. Simetria din cameră. Alege un obiect din cameră drept „centru de simetrie" (o lampă, un colț de covor) și un al doilea obiect. Așază-te astfel încât să estimezi coordonatele ambelor față de un colț al camerei, calculează simetricul celui de-al doilea obiect față de primul și mergi fizic în acel loc. Ce se află acolo? Repetă pentru trei obiecte diferite și observă cum figura formată se „răstoarnă" în oglindă.

Pentru părinți și profesori

Lecția predă a doua formulă de bază a geometriei analitice din programa de clasa a IX-a, iar competența vizată este formulată explicit în programă drept „calcularea coordonatelor mijlocului unui segment". Deși formula este simplă, ea susține un volum mare de aplicații: simetrii, centre de figuri, mediane, verificarea paralelogramelor. Elevul ar trebui să înțeleagă că cele două coordonate se tratează independent, fiecare prin media aritmetică a capetelor, și că formula se justifică geometric prin proiecțiile pe axe.

Întrebări bune de control: „De ce se adună coordonatele și nu se scad?" (mijlocul este media, nu deplasarea); „Poate mijlocul să aibă coordonate fracționare?" (da, ori de câte ori suma capetelor e impară); „Cum afli celălalt capăt dacă știi mijlocul?" (dublezi mijlocul și scazi capătul cunoscut); „De ce mijlocul comun al diagonalelor arată că un patrulater e paralelogram?" (proprietatea diagonalelor care se înjumătățesc). Semne că a înțeles: își verifică singur rezultatul recalculând mijlocul, nu confundă formula mijlocului cu cea a distanței și identifică fără ezitare diagonalele într-un patrulater notat $ABCD$.

La teze și la Bacalaureat, formula mijlocului apare foarte des ca punctul a) al unei probleme cu mai multe cerințe, urmat de o cerință de distanță sau de simetrie. Formulările tipice: „determinați coordonatele mijlocului segmentului $[AB]$", „determinați simetricul punctului $A$ față de punctul $B$", „determinați al patrulea vârf al paralelogramului" și „calculați lungimea medianei din vârful $A$". Sunt cerințe punctate integral la un calcul corect, deci merită automatizate.

Întrebări frecvente

Care este formula coordonatelor mijlocului unui segment? Dacă segmentul are capetele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$, mijlocul său este $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$: aduni abscisele și împarți la doi, apoi aduni ordonatele și împarți la doi.

De ce mijlocul se calculează cu media coordonatelor? Pentru că proiecțiile punctelor pe fiecare axă păstrează raportul: dreptele duse din $A$, $M$ și $B$ perpendicular pe axă sunt paralele, iar din teorema lui Thales mijlocul segmentului se proiectează în mijlocul proiecțiilor. Pe o axă, mijlocul a două numere este media lor aritmetică.

Cum aflu celălalt capăt al segmentului dacă știu mijlocul? Folosești formulele $x_B=2x_M-x_A$ și $y_B=2y_M-y_A$: dublezi coordonatele mijlocului și scazi coordonatele capătului cunoscut. Verifică apoi recalculând mijlocul.

Cum determin simetricul unui punct față de alt punct? Simetricul lui $A$ față de $P$ este punctul $A^{\prime }$ pentru care $P$ este mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$, deci $A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A)$. Față de origine, formula devine $A^{\prime }(-x_A,-y_A)$.

Mijlocul unui segment poate avea coordonate fracționare? Da. Dacă suma absciselor sau suma ordonatelor este un număr impar, coordonata respectivă a mijlocului este o fracție cu numitorul $2$, de exemplu $\frac{5}{2}$. Rezultatul se lasă ca fracție sau ca număr zecimal exact, nu se rotunjește.

Cum găsesc al patrulea vârf al unui paralelogram dacă știu trei vârfuri? Folosești faptul că diagonalele au același mijloc. În paralelogramul $ABCD$, relațiile sunt $x_A+x_C=x_B+x_D$ și $y_A+y_C=y_B+y_D$, de unde scoți coordonatele vârfului lipsă.

Cum calculez lungimea unei mediane cu ajutorul coordonatelor? În doi pași: mai întâi afli mijlocul laturii opuse vârfului cu formula mijlocului, apoi calculezi distanța de la vârf la acel mijloc cu formula distanței dintre două puncte.

Care e diferența dintre formula mijlocului și formula distanței? Formula mijlocului adună coordonatele și le împarte la doi, dând un punct. Formula distanței scade coordonatele, le ridică la pătrat și extrage radicalul, dând un număr (o lungime). Confuzia dintre ele este cea mai frecventă greșeală din acest capitol.