Care dintre următoarele structuri nu este corp?

$$(\mathbb{Z}_{13}, +, \cdot)$$

Ce mulțimi de numere sunt corpuri?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Corpul: definiție și exemple

Sunt corpuri $Q$ , $R$ și $C$ , la care se adaugă clasele de resturi $Z_{p}$ atunci când $p$ este număr prim. Nu sunt corpuri $Z$ , unde doar $1$ și $- 1$ au invers, matricele pătratice, unde apar elemente neinversabile, și $Z_{n}$ cu $n$ compus. Cerința este ca fiecare element nenul să aibă invers, alături de $1 \neq = 0$ .

Lecția aparține suplimentului pentru Bacalaureat M1, pe programa sesiunilor 2027–2029. Corpul este un inel $(K, +, \cdot)$ cu $1 \neq = 0$ în care orice element nenul este inversabil; se notează $K^{*} = K ∖ {0}$ . Condiția $1 \neq = 0$ exclude inelul cu un singur element. Toate corpurile din acest curs sunt comutative. Formulare echivalentă: $(K, +, \cdot)$ e corp exact când $(K, +)$ și $(K^{*}, \cdot)$ sunt grupuri comutative, iar înmulțirea e distributivă — altfel spus, un inel comutativ nenul e corp exact când $U (K) = K^{*}$ .

Corpuri: $Q$ , $R$ , $C$ și $Z_{p}$ cu $p$ prim. Nu sunt corpuri: $Z$ (doar $\pm 1$ sunt inversabile), $M_{2} (R)$ și $Z_{n}$ cu $n$ compus. Un corp nu are divizori ai lui zero: din $x y = 0$ și $x \neq = 0$ , înmulțind cu $x^{- 1}$ , rezultă $y = 0$ ; deci orice corp este inel integru, dar reciproca e falsă. De aici regula de simplificare cu orice factor nenul și faptul că ecuația $a x = b$ cu $a \neq = 0$ are soluția unică $x = a^{- 1} b$ . Teorema centrală: $(Z_{n}, +, \cdot)$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim — într-un sens prin injectivitatea înmulțirii cu o clasă nenulă pe o mulțime finită, în celălalt prin divizorii lui zero produși de o descompunere $n = d d^{'}$ . Cel mai mic corp este $Z_{2}$ . Un alt exemplu: $K = {a + b 2 ∣ a, b \in Q}$ , unde inversul se obține amplificând cu expresia conjugată.

De reținut

corp = inel cu $1 \neq = 0$ în care orice element nenul are invers
clasele de resturi modulo $n$ dau corp exact pentru $n$ prim
orice corp este inel integru, dar reciproca este falsă

Greșeala tipică

Se confundă inelul integru cu corpul. Lipsa divizorilor lui zero nu aduce și existența inverselor: $Z$ nu are divizori ai lui zero, dar $2$ rămâne fără invers acolo.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele structuri nu este corp?
- a) $(Q, +, \cdot)$
- b) $(Z_{13}, +, \cdot)$
- c) $(Z, +, \cdot)$
- d) $(C, +, \cdot)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(Z, +, \cdot)$

Inelul $Z$ este integru, dar nu este corp: singurele elemente inversabile sunt $- 1$ și $1$ , deci $3$ nu are invers întreg, iar ecuația $3 x = 5$ nu are soluție. $Q$ și $C$ sunt corpuri clasice, iar $Z_{13}$ este corp pentru că $13$ este număr prim.
În corpul $(Z_{13}, +, \cdot)$ , inversa clasei $\hat{5}$ este:
- a) $\hat{3}$
- b) $\hat{5}$
- c) $11$
- d) $\hat{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\hat{8}$

Căutăm clasa $\hat{b}$ cu $\hat{5} \cdot \hat{b} = \hat{1}$ : din $5 \cdot 8 = 40 = 3 \cdot 13 + 1$ rezultă $\hat{5}^{- 1} = \hat{8}$ . Existența era garantată de teoremă, pentru că $13$ e prim, deci toate cele $12$ clase nenule sunt inversabile. Varianta $\hat{5}$ ar cere ca elementul să fie propriul invers, ceea ce se întâmplă doar la $\hat{1}$ și la $12$ .
În corpul $K = {a + b 2 ∣ a, b \in Q}$ , inversul elementului $5 + 32$ este:
- a) $\frac{5 - 3 2}{7}$
- b) $\frac{5 - 3 2}{43}$
- c) $5 - 32$
- d) $\frac{5 + 3 2}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{5 - 3 2}{7}$

Amplificăm cu expresia conjugată: $\frac{1}{5 + 3 2} = \frac{5 - 3 2}{( 5 + 3 2 ) ( 5 - 3 2 )} = \frac{5 - 3 2}{25 - 18} = \frac{5 - 3 2}{7}$ . Rezultatul are tot forma $a + b 2$ cu $a, b$ raționali, deci aparține lui $K$ . Varianta $43$ adună în loc să scadă la numitor, iar varianta $5 - 32$ uită împărțirea.

Întrebări conexe

De ce nu este corp mulțimea numerelor întregi?

Pentru că doar $1$ și $- 1$ au invers întreg; deja $2$ nu are, fiindcă $\frac{1}{2}$ nu este număr întreg. Structura rămâne inel, și chiar inel integru, ceea ce arată că lipsa divizorilor lui zero nu aduce cu sine existența inverselor.

Ce înseamnă notația $K^{*}$ la un corp?

Este mulțimea elementelor nenule, adică $K$ din care se scoate $0$ . Definiția corpului se poate rescrie folosind-o: $(K, +)$ și $(K^{*}, \cdot)$ sunt grupuri comutative, legate prin distributivitate. Cu alte cuvinte, egalitatea $U (K) = K^{*}$ este semnul că un inel comutativ nenul a devenit corp.

De ce se cere condiția 1 diferit de 0 în definiția corpului?

Fără ea, ar fi socotită corp și structura formată dintr-un singur element: acolo toate axiomele se verifică banal, iar acel element ar juca deodată rolul zeroului și pe al unității. Condiția înlătură acest caz și se folosește explicit în demonstrația teoremei despre clasele de resturi, unde se cere $n \geq 2$ .

Câte elemente poate avea un corp finit?

O putere a unui număr prim: $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $7$ , $8$ , $9$ și așa mai departe. Clasele de resturi modulo $n$ dau corp numai pentru $n$ prim, iar celelalte cazuri se construiesc altfel. Nu există, de pildă, niciun corp cu șase elemente.

Ce formulare echivalentă are definiția corpului cu două grupuri?

Structura $(K, +, \cdot)$ este corp exact atunci când adunarea face din $K$ un grup comutativ, înmulțirea face același lucru din $K^{*}$ , iar cele două se leagă prin distributivitate. Formularea e utilă la exerciții, fiindcă transformă totul în două verificări de grup deja exersate.

Ce corp se obține din numerele de forma $a + b 2$ ?

Mulțimea ${a + b 2 ∣ a, b \in Q}$ este corp. Inversul se scoate amplificând cu conjugatul: $\frac{1}{a + b 2} = \frac{a - b 2}{a ^{2} - 2 b ^{2}}$ , iar numitorul nu se anulează pentru $a$ și $b$ raționali nu amândoi nuli, fiindcă $2$ nu este rațional.

Oamenii mai întreabă și: ce este un corp · diferența dintre inel și corp · când e Z n corp · corpuri de numere · cel mai mic corp