De ce două reduceri de 20% nu fac 40%?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Creșteri și reduceri repetate

Pentru că procentele nu se adună, ci factorii se înmulțesc. O reducere de $20%$ înseamnă înmulțire cu $0, 8$ , iar două la rând dau $0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 64$ , deci prețul final este $64%$ din cel de la început, adică o reducere totală de $36%$ . La fel, un preț urcat cu $20%$ și coborât apoi tot cu $20%$ ajunge la $0, 96$ din valoare, adică sub nivelul de start.

O creștere cu $p %$ înseamnă înmulțire cu $1 + \frac{p}{100}$ , iar o scădere cu $p %$ înseamnă înmulțire cu $1 - \frac{p}{100}$ . Dacă operația se repetă, valorile formează o progresie geometrică, iar factorul acela este chiar rația $q$ .

De exemplu, $200$ de lei care cresc cu $10%$ de trei ori la rând ajung la $200 \cdot 1, 1^{3} = 200 \cdot 1, 331 = 266, 2$ lei.

Capcana clasică: două reduceri de câte $20%$ nu fac o reducere de $40%$ . Factorii se înmulțesc: $0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 64$ , deci prețul final este $64%$ din cel inițial, adică reducerea totală este de $36%$ .

Nici o creștere de $20%$ urmată de o reducere de $20%$ nu te aduce înapoi de unde ai plecat: $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , adică rămâi cu $4%$ sub valoarea de start. Ordinea nu contează, pentru că înmulțirea este comutativă — rezultatul e la fel de mic în ambele cazuri.

Regula de citire a rației: $q > 1$ înseamnă creștere, $0 < q < 1$ înseamnă scădere, iar $q = 1$ înseamnă că nu se schimbă nimic.

De reținut

creștere cu $p %$ înseamnă înmulțire cu $1 + \frac{p}{100}$
scădere cu $p %$ înseamnă înmulțire cu $1 - \frac{p}{100}$
modificările succesive se compun înmulțind factorii

Greșeala tipică

Procentele succesive sunt adunate, așa că din două reduceri de $20%$ iese una de $40%$ . Corect se înmulțesc factorii, iar rezultatul, $0, 64$ , arată o reducere de $36%$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un produs costă $500$ de lei. Se scumpește cu $20%$ , apoi noul preț se ieftinește cu $20%$ . Cât costă la final?
- a) $480$ lei
- b) $490$ lei
- c) $500$ lei
- d) $520$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $480$ lei

După scumpire: $500 \cdot 1, 2 = 600$ de lei. După ieftinire: $600 \cdot 0, 8 = 480$ de lei. Cele două procente sunt egale, dar se aplică la baze diferite, așa că prețul final este mai mic decât cel de pornire.
Două reduceri succesive de câte $10%$ echivalează cu o singură reducere de:
- a) $18%$
- b) $19%$
- c) $20%$
- d) $21%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $19%$

Factorii se înmulțesc: $0, 9 \cdot 0, 9 = 0, 81$ , deci prețul final este $81%$ din cel inițial, adică s-a redus cu $19%$ . Adunarea procentelor ar fi dat $20%$ — greșit, pentru că a doua reducere se aplică la un preț deja micșorat.
Populația unui oraș scade cu $4%$ în fiecare an. Cu ce număr se înmulțește populația de la un an la altul?
- a) $0, 04$
- b) $0, 4$
- c) $0, 96$
- d) $1, 04$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 96$

O scădere cu $4%$ înseamnă că rămâne $100% - 4% = 96%$ , adică se înmulțește cu $0, 96$ . Numărul $0, 04$ este doar partea pierdută, iar $1, 04$ ar corespunde unei creșteri cu $4%$ .

Întrebări conexe

Cât rămâne dintr-un preț după trei reduceri de câte 10%?

Factorul total este $0, 9^{3} = 0, 729$ , deci rămâne $72, 9%$ din prețul de la început. Reducerea totală este așadar de $27, 1%$ , nu de $30%$ . La un preț de $500$ de lei se ajunge la $364, 5$ lei.

Ce factor corespunde unei creșteri de 7 la sută?

Factorul este $1, 07$ , adică $1 + \frac{7}{100}$ . Unitatea păstrează valoarea de la început, iar zecimalele adaugă sporul. Confuzia cu $0, 07$ este frecventă, dar acel număr dă doar creșterea, nu și suma pe care o ai deja.

Cum trec de la factorul total înapoi la procent?

Scazi $1$ din factor și înmulțești cu $100$ . Un factor de $1, 331$ înseamnă o creștere de $33, 1%$ , iar unul de $0, 64$ înseamnă o scădere de $36%$ , fiindcă $0, 64 - 1 = - 0, 36$ . Semnul rezultatului arată dacă mărimea a urcat sau a coborât.

De ce două creșteri de câte 100% dau în total 300%?

Fiecare creștere dublează valoarea, deci factorul total este $2 \cdot 2 = 4$ . O valoare de patru ori mai mare înseamnă un spor de trei ori valoarea inițială, adică $300%$ . Adunarea procentelor ar fi dat greșit $200%$ .

Ce înseamnă că o mărime se înjumătățește la fiecare pas?

Că factorul este $\frac{1}{2}$ , deci avem o progresie geometrică descrescătoare. După cinci pași rămâne $\frac{1}{32}$ din cantitatea de la început. Modelul descrie dezintegrarea radioactivă și orice proces în care rămâne mereu aceeași fracțiune.

Cum calculez valoarea după cinci ani de creștere cu 3%?

Înmulțești valoarea de start cu $1, 03$ ridicat la puterea a cincea. Pentru $1000$ de lei se obține $1000 \cdot 1, 0 3^{5} \approx 1159$ de lei. Creșterea totală este de aproape $16%$ , mai mult decât cei $15%$ care ar ieși prin simpla adunare a procentelor.

Oamenii mai întreabă și: două reduceri succesive · cum se compun procentele · reducere de 20 la sută de două ori · creștere și scădere cu același procent · factor de creștere procentuală