Creștere și descreștere procentuală repetată

„Reducere de $20\%$, iar la casă încă $30\%$ din prețul afișat!" Aproape oricine citește un asemenea afiș face pe loc socoteala în gând: $20+30=50$, deci jumătate de preț. Este o socoteală greșită, și nu cu puțin: reducerea reală este de $44\%$, nu de $50\%$. O jachetă de $250$ de lei nu ajunge la $125$ de lei, ci la $140$. Diferența de $15$ lei nu vine dintr-o șmecherie a magazinului, ci din faptul că procentele nu se adună atunci când se aplică unul după altul.

Motivul e simplu, odată ce îl vezi: al doilea procent nu se calculează din prețul inițial, ci din prețul deja redus. Iar dacă procentele nu se adună, ce fac? Se înmulțesc — mai exact, se înmulțesc factorii asociați lor. Iar înmulțirea repetată cu același factor este exact mecanismul progresiei geometrice, pe care tocmai l-ai studiat. În această lecție înveți să traduci orice creștere sau scădere procentuală într-un factor, să compui mai multe astfel de transformări și să răspunzi la întrebări de tipul „după câți pași prețul coboară sub un anumit prag?".

Ce vei învăța

• Vei ști să traduci orice modificare procentuală într-un factor de înmulțire: $+p\%$ înseamnă $\times \left(1+\frac{p}{100}\right)$, iar $-p\%$ înseamnă $\times \left(1-\frac{p}{100}\right)$.
• Vei ști să explici și să calculezi de ce două reduceri succesive nu se adună și să determini reducerea totală echivalentă.
• Vei ști de ce o creștere cu $p\%$ urmată de o scădere cu același $p\%$ nu readuce valoarea inițială.
• Vei ști să scrii un proces de creștere sau scădere procentuală repetată ca progresie geometrică și să folosești formula termenului general.
• Vei ști să afli după câți pași o valoare trece de un prag dat și ce reducere anulează exact o creștere dată.

Hai să descoperim împreună

1. Orice procent este un factor

Prima deprindere, cea care simplifică tot restul: nu lucra cu procentul, ci cu factorul care îi corespunde.

A crește o valoare cu $p\%$ înseamnă a păstra întregul și a adăuga $\frac{p}{100}$ din el, adică a înmulți cu $1+\frac{p}{100}$. A scădea $p\%$ înseamnă a păstra $\left(100-p\right)\%$, adică a înmulți cu $1-\frac{p}{100}$.

Un exemplu simplu: un preț de $300$ de lei crescut cu $20\%$ devine $300\cdot 1,2=360$ de lei; un preț de $500$ de lei redus cu $30\%$ devine $500\cdot 0,7=350$ de lei. Nu mai calculăm separat „cât este $30\%$ din $500$" și apoi scădem: o singură înmulțire face toată treaba, iar când transformările se repetă avantajul devine decisiv.

2. De ce reducerile nu se adună

Acum putem lămuri afișul din deschidere. Prețul de $250$ de lei se reduce cu $20\%$, apoi rezultatul se reduce cu $30\%$:

$$250\stackrel{\times 0,8}{\to }200\stackrel{\times 0,7}{\to }140.$$

Factorul total este $0,8\cdot 0,7=0,56$, adică prețul final reprezintă $56\%$ din cel inițial. Reducerea totală este așadar $100\%-56\%=44\%$, nu $50\%$.

Unde „se pierd" cele $6$ procente? A doua reducere se aplică nu prețului de $250$ de lei, ci celui de $200$: $30\%$ din $200$ înseamnă $60$ de lei, în timp ce $30\%$ din $250$ ar fi însemnat $75$. Diferența de $15$ lei este exact ce lipsește ca să ajungem la $125$.

Regula generală: transformările procentuale succesive se compun înmulțind factorii, nu adunând procentele. Pentru factorii $f_1,f_2,\dots ,f_k$, factorul total este $f_1{f}_2\cdots f_k$, iar procentul echivalent se citește din el: dacă produsul este $0,56$, avem o scădere de $44\%$; dacă ar fi $1,21$, ar fi o creștere de $21\%$.

3. Creștere apoi scădere cu același procent

Iată o situație care surprinde pe toată lumea. Un preț crește cu $20\%$, apoi scade cu $20\%$. Revine la valoarea inițială?

$$f=1,2\cdot 0,8=0,96,$$

deci prețul final reprezintă $96\%$ din cel inițial: s-a pierdut $4\%$. Explicația e aceeași ca mai sus: creșterea de $20\%$ se calculează din prețul mic, iar scăderea de $20\%$ din prețul mare — deci scăderea „mușcă" mai mult decât a adăugat creșterea.

Două observații importante:

Ordinea nu contează. Fiindcă înmulțirea numerelor reale este comutativă, $1,2\cdot 0,8=0,8\cdot 1,2$: dacă întâi scazi și apoi crești cu același procent, ajungi tot la $96\%$. Rezultatul e același, oricum ai aranja transformările.

Fenomenul este general. Notând $x=\frac{p}{100}$, factorul total al unei creșteri cu $p\%$ urmate de o scădere cu $p\%$ este

$$(1+x)(1-x)=1-x^2<1\text{pentru orice }x\ne 0,$$

deci valoarea finală este întotdeauna mai mică decât cea inițială. Cu cât procentul e mai mare, cu atât pierderea e mai vizibilă: la $50\%$ în sus și apoi $50\%$ în jos rămâi cu $75\%$ din valoarea de la care ai plecat.

4. Același procent, de mai multe ori: apare progresia geometrică

Când același procent se aplică la fiecare pas, valorile succesive se obțin înmulțind mereu cu același factor $q$ — adică formează o progresie geometrică.

Un laptop de $4000$ de lei își pierde în fiecare an $10\%$ din valoarea de la începutul anului. Factorul anual este $q=0,9$, iar valorile la sfârșitul anilor sunt

$$3600;3240;2916;2624,4\text{lei}.$$

Rapoartele sunt toate egale cu $0,9$, deci avem într-adevăr o progresie geometrică. Cu formula termenului general din Termenul general al unei progresii geometrice, valoarea după $n$ ani este

$$V_n=V_0\cdot q^n=4000\cdot 0,9^n,$$

unde $V_0$ este valoarea inițială. Fii atent la indexare, ca și la celelalte probleme practice: dacă numerotezi $b_1=3600$ (valoarea după primul an), atunci valoarea după $n$ ani este $b_n=3600\cdot 0,9^{n-1}$ — același rezultat, altă convenție. Scrie de la început ce reprezintă primul termen.

5. Procentul echivalent al mai multor pași

Din factorul total citim direct procentul total, ceea ce e foarte util când vrei să compari oferte sau să înțelegi ce s-a întâmplat pe mai mulți ani.

• Două creșteri succesive de $10\%$: factorul este $1,1^2=1,21$, deci o creștere totală de $21\%$ (nu de $20\%$).
• Doi ani la rând cu prețuri în creștere cu $8\%$: factorul este $1,08^2=1,1664$, deci o creștere totală de $16,64\%$.
• Trei reduceri succesive de $50\%$: factorul este $0,5^3=0,125$, deci o reducere totală de $87,5\%$ — rămâne o optime din preț.

Observă un tipar util: la creșteri repetate, procentul total este mereu mai mare decât suma procentelor, iar la scăderi repetate este mereu mai mic în valoare absolută decât suma lor. Reține și modul de citire: dacă factorul total este $f$, atunci modificarea procentuală totală este $(f-1)\cdot 100\%$; valoare pozitivă înseamnă creștere, negativă înseamnă scădere. Pentru $f=0,56$ obținem $-44\%$, iar pentru $f=1,21$ obținem $+21\%$.

6. Ce reducere anulează o creștere

Un magazin urcă prețul cu $25\%$, apoi vrea să revină exact la prețul de dinainte. Cu ce procent trebuie să reducă?

Factorul creșterii este $1,25=\frac{5}{4}$. Ca produsul să fie $1$, factorul reducerii trebuie să fie $\frac{4}{5}=0,8$, adică o reducere de $20\%$ — nu de $25\%$. Într-adevăr, un preț de $200$ de lei devine $250$ după creștere și revine la $200$ după reducerea de $20\%$.

Generalizare utilă: pentru a anula o creștere de $p\%$ este nevoie de o reducere de $\frac{p}{100+p}\cdot 100\%$, mereu mai mică decât $p\%$. La $+25\%$ îi corespunde $-20\%$; la $+100\%$ (dublare) îi corespunde $-50\%$ (înjumătățire), ceea ce se vede și cu ochiul liber.

7. Când trece valoarea de un prag

Întrebarea practică tipică sună așa: „după câți pași prețul coboară sub o anumită valoare?". Programa cere explicit acest tip de analiză, iar la clasa a IX-a răspunsul se obține prin calcul pas cu pas sau prin încercări pe formula termenului general.

Un telefon de $1600$ de lei se reduce la jumătate la fiecare val de solduri. După câte valuri prețul scade sub $250$ de lei?

Prețurile succesive sunt $800$, $400$, $200$. După primele două valuri prețul este încă $400>250$; după al treilea val ajunge la $200<250$. Răspuns: după trei valuri.

Laptopul de $4000$ de lei care pierde $10\%$ pe an — după câți ani coboară sub $3000$?

Valorile sunt $3600$, $3240$, $2916$. Primele două depășesc pragul, a treia nu: răspunsul este după $3$ ani. Observă cum se formulează concluzia — cu numărul de pași, nu cu valoarea; și observă că scăderea încetinește în valori absolute (pierdem $400$, apoi $360$, apoi $324$ de lei), fiindcă procentul se aplică de fiecare dată unei valori mai mici.

8. Cum recunoști tiparul într-un enunț

Două formulări care se confundă ușor, dar duc la modele complet diferite:

• „Prețul crește cu $50$ de lei în fiecare an" — adaos constant, deci progresie aritmetică; acest tip de situație, împreună cu dobânda simplă, e tratat în Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile.
• „Prețul crește cu $5\%$ față de anul precedent" — factor constant, deci progresie geometrică.

Cuvintele care trădează modelul geometric: „față de anul precedent", „din valoarea de la începutul anului", „se dublează", „se reduce la jumătate". Când același mecanism se aplică unor sume de bani care se acumulează în timp, ajungi la dobânda compusă și la modelele de dinamică a populației, subiectul lecției Dobânda compusă și dinamica populației.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două reduceri succesive

O jachetă costă $250$ de lei. Se aplică o reducere de $20\%$, iar apoi, la casă, încă una de $30\%$ din prețul redus. Cât plătește clientul și care este reducerea totală, exprimată procentual?

Rezolvare. Factorii sunt $0,8$ și $0,7$, deci prețul final este

$$250\cdot 0,8\cdot 0,7=200\cdot 0,7=140\text{ lei}.$$

Factorul total este $0,8\cdot 0,7=0,56$, adică prețul final reprezintă $56\%$ din cel inițial; reducerea totală este de $100\%-56\%=44\%$. Nu de $50\%$: al doilea procent se aplică prețului deja redus.

Exemplul 2 — Creștere și scădere cu același procent

Un preț de $500$ de lei crește cu $20\%$, apoi scade cu $20\%$. Cât este prețul final? Dar dacă operațiile se fac în ordine inversă?

Rezolvare. Factorul total este $1,2\cdot 0,8=0,96$, deci prețul final este $500\cdot 0,96=480$ de lei: cu $4\%$ mai mic decât cel inițial.

În ordine inversă: $500\cdot 0,8=400$, apoi $400\cdot 1,2=480$ de lei — același rezultat, fiindcă înmulțirea este comutativă. Explicația generală: $(1+x)(1-x)=1-x^2<1$.

Exemplul 3 — Creștere repetată cu același procent

Un salariu de $4000$ de lei crește cu $5\%$ în fiecare an. Cât va fi după $1$, $2$ și $3$ ani?

Rezolvare. Factorul anual este $1,05$, deci valorile formează o progresie geometrică:

$$4000\cdot 1,05=4200;4200\cdot 1,05=4410;4410\cdot 1,05=4630,5\text{ lei}.$$

Direct cu formula: $4000\cdot 1,05^3=4630,5$ lei. Creșterea totală pe trei ani este de $15,7625\%$, mai mult decât $3\cdot 5\%=15\%$ — diferența vine tocmai din faptul că procentele nu se adună.

Exemplul 4 — Scădere repetată

O mașină cumpărată cu $24000$ de lei își pierde în fiecare an $25\%$ din valoarea de la începutul anului. Cât valorează după $3$ ani?

Rezolvare. Factorul anual este $1-0,25=0,75=\frac{3}{4}$, deci valorile sunt

$$24000\cdot \frac{3}{4}=18000;18000\cdot \frac{3}{4}=13500;13500\cdot \frac{3}{4}=10125\text{ lei}.$$

Cu formula: $V_3=24000\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=24000\cdot \frac{27}{64}=10125$ lei. Observă că, deși procentul e același, pierderea anuală scade în lei: $6000$, apoi $4500$, apoi $3375$.

Exemplul 5 — Prețul inițial, dat prețul final

După o reducere de $20\%$, un produs costă $480$ de lei. Care era prețul inițial?

Rezolvare. Dacă $P$ este prețul inițial, atunci $P\cdot 0,8=480$, de unde

$$P=\frac{480}{0,8}=600\text{ lei}.$$

Verificare: $20\%$ din $600$ este $120$, iar $600-120=480$. ✓ Greșeala clasică aici este să calculezi $20\%$ din $480$ și să aduni: ai obține $576$, ceea ce e fals, fiindcă procentul se raportează la prețul inițial, nu la cel redus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Prețul unui produs este $4000$ de lei și scade în fiecare an cu $10\%$ față de prețul din anul precedent. Notăm cu $P_n$ prețul după $n$ ani.

a) Calculați $P_1$ și $P_2$. b) Arătați că șirul $(P_n{)}_{n\ge 1}$ este o progresie geometrică și precizați rația. c) Determinați după câți ani prețul scade, pentru prima dată, sub $3000$ de lei.

Rezolvare. a) Factorul anual este $1-0,1=0,9$, deci $P_1=4000\cdot 0,9=3600$ de lei și $P_2=3600\cdot 0,9=3240$ de lei.

b) Din enunț, fiecare preț se obține din precedentul prin înmulțire cu $0,9$: $P_{n+1}=P_n\cdot 0,9$. Cum $P_1=3600\ne 0$ și $0,9\ne 0$, șirul este progresie geometrică cu rația $q=0,9$, iar $P_n=4000\cdot 0,9^n$.

c) Calculăm succesiv: $P_1=3600$, $P_2=3240$, $P_3=2916$. Primele două valori depășesc $3000$ de lei, iar a treia este sub prag, deci prețul coboară sub $3000$ de lei după $3$ ani.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Începe fiecare exercițiu prin a scrie factorul (sau factorii) corespunzători procentelor din enunț — restul devine o simplă înmulțire.

1. Un preț de $300$ de lei crește cu $20\%$. Cât devine?

2. Un preț de $500$ de lei scade cu $30\%$. Cât devine?

3. Scrie factorul de înmulțire corespunzător fiecărei modificări: $+15\%$, $-40\%$, $+100\%$, $-5\%$.

4. O jachetă de $250$ de lei se reduce cu $20\%$, apoi cu încă $30\%$ din prețul redus. Cât costă în final?

5. Un preț de $200$ de lei crește cu $10\%$, apoi din nou cu $10\%$. Cât devine?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două reduceri succesive, una de $20\%$ și una de $30\%$, sunt echivalente cu o singură reducere de $50\%$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un preț crește cu $20\%$ și apoi scade cu $20\%$, revine la valoarea inițială."

8. Un telefon de $1600$ de lei se reduce la jumătate la fiecare val de solduri. După câte valuri prețul scade sub $250$ de lei?

9. O mașină cumpărată cu $24000$ de lei pierde în fiecare an $25\%$ din valoarea de la începutul anului. Calculează valoarea după $1$, $2$ și $3$ ani.

10. Un laptop de $4000$ de lei pierde în fiecare an $10\%$ din valoarea de la începutul anului. Calculează valoarea după $1$, $2$ și $3$ ani.

11. Prețul unui produs a crescut cu $25\%$. Cu ce procent trebuie redus noul preț pentru a reveni exact la prețul inițial?

12. (Problemă aplicată.) Un abonament costă $60$ de lei pe lună și se scumpește cu $5\%$ la începutul fiecărui an. Cât va costa după $2$ ani?

13. Un salariu de $4000$ de lei crește cu $5\%$ în fiecare an. Cât va fi după $3$ ani?

14. Cu ce procent crește o valoare supusă la două creșteri succesive de câte $10\%$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Prețul unui produs este $4000$ de lei și scade cu $10\%$ în fiecare an față de anul precedent. a) Calculați prețul după $2$ ani. b) Determinați după câți ani prețul scade, pentru prima dată, sub $3000$ de lei.

16. Doi ani la rând, prețurile dintr-un magazin au crescut cu câte $8\%$. Cu ce procent au crescut prețurile în total față de acum doi ani?

17. După o reducere de $20\%$, un produs costă $480$ de lei. Care era prețul inițial?

18. (Provocare.) Un magazin mărește prețurile cu $25\%$, iar peste o lună anunță „$-20\%$ la tot". a) Arată că, de fapt, clientul plătește exact prețul dinaintea scumpirii. b) Arată că, dacă magazinul ar mări prețul cu $p\%$ și apoi l-ar reduce cu același $p\%$, clientul ar plăti întotdeauna mai puțin decât prețul inițial.

Răspunsuri și explicații

1. Factorul este $1,2$, deci prețul devine $300\cdot 1,2=360$ de lei.

2. Factorul este $0,7$, deci prețul devine $500\cdot 0,7=350$ de lei.

3. $+15\%\to 1,15$; $-40\%\to 0,6$; $+100\%\to 2$; $-5\%\to 0,95$.

4. $250\cdot 0,8\cdot 0,7=140$ de lei. Factorul total $0,56$ arată o reducere de $44\%$.

5. $200\cdot 1,1\cdot 1,1=200\cdot 1,21=242$ de lei (creștere totală de $21\%$, nu de $20\%$).

6. Fals. Factorul total este $0,8\cdot 0,7=0,56$, deci reducerea este de $44\%$. Procentele nu se adună, fiindcă al doilea se calculează din prețul deja redus, care e mai mic decât cel inițial.

7. Fals. Factorul total este $1,2\cdot 0,8=0,96$: prețul final reprezintă $96\%$ din cel inițial, deci s-a pierdut $4\%$. În general, $(1+x)(1-x)=1-x^2<1$.

8. Prețurile succesive sunt $800$, $400$, $200$ de lei. După al treilea val prețul ($200$ de lei) coboară sub $250$; după al doilea era încă $400$. Răspuns: după $3$ valuri.

9. Factorul este $0,75$: $24000\to 18000\to 13500\to 10125$ lei. Pierderile anuale în lei scad: $6000$, $4500$, $3375$.

10. Factorul este $0,9$: $4000\to 3600\to 3240\to 2916$ lei.

11. Factorul creșterii este $1,25=\frac{5}{4}$, deci factorul reducerii trebuie să fie $\frac{4}{5}=0,8$, adică o reducere de $20\%$ (nu de $25\%$).

12. $60\cdot 1,05^2=60\cdot 1,1025=66,15$ lei pe lună.

13. $4000\cdot 1,05^3=4630,5$ lei. Pas cu pas: $4200$, $4410$, $4630,5$.

14. Factorul total este $1,1^2=1,21$, deci creșterea totală este de $21\%$ — cu un procent mai mult decât suma $10\%+10\%$, pentru că a doua creștere se aplică valorii deja mărite.

15. a) Factorul anual este $0,9$, deci după $2$ ani prețul este $4000\cdot 0,9^2=3240$ de lei. b) $P_1=3600$, $P_2=3240$, $P_3=2916<3000$: prețul coboară sub $3000$ de lei după $3$ ani.

16. Factorul total este $1,08^2=1,1664$, deci creșterea totală este de $16,64\%$ (nu $16\%$).

17. Dacă $P$ este prețul inițial, $P\cdot 0,8=480$, deci $P=600$ de lei. Verificare: $600-20\%\cdot 600=600-120=480$. ✓

18. a) Factorul total este $1,25\cdot 0,8=\frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5}=1$, deci prețul final este exact cel dinaintea scumpirii — reducerea de $20\%$ anulează fix creșterea de $25\%$. b) Notând $x=\frac{p}{100}>0$, factorul total este $(1+x)(1-x)=1-x^2$. Cum $x^2>0$, avem $1-x^2<1$, deci prețul final este strict mai mic decât cel inițial, oricare ar fi $p$. Cele două situații nu se contrazic: la punctul a) procentele sunt diferite ($25$ și $20$), iar la punctul b) sunt egale.

De reținut

• Orice modificare procentuală se traduce într-un factor: $+p\%$ înseamnă înmulțire cu $1+\frac{p}{100}$, iar $-p\%$ înseamnă înmulțire cu $1-\frac{p}{100}$.
• Modificările succesive se compun înmulțind factorii, nu adunând procentele: $-20\%$ urmat de $-30\%$ dă factorul $0,56$, adică o reducere totală de $44\%$.
• O creștere cu $p\%$ urmată de o scădere cu același $p\%$ nu readuce valoarea inițială: factorul este $(1+x)(1-x)=1-x^2<1$, deci se pierde întotdeauna ceva.
• Când același procent se aplică repetat, valorile formează o progresie geometrică cu rația egală cu factorul, iar valoarea după $n$ pași este $V_n=V_0\cdot q^n$.
• Din factorul total $f$ se citește modificarea totală: $(f-1)\cdot 100\%$ — pozitivă înseamnă creștere, negativă înseamnă scădere.

Greșeli frecvente

• Adunarea procentelor succesive. $-20\%$ și $-30\%$ nu fac $-50\%$, ci $-44\%$; $+10\%$ de două ori nu fac $+20\%$, ci $+21\%$. Înmulțește factorii și abia apoi citește procentul total.
• Credința că o creștere se anulează cu aceeași reducere. După $+25\%$ trebuie $-20\%$ pentru revenire, iar după $+100\%$ trebuie $-50\%$. Reducerea care anulează o creștere este mereu mai mică decât creșterea.
• Raportarea procentului la valoarea greșită. Dacă după o reducere de $20\%$ prețul este $480$ de lei, prețul inițial se află împărțind ($480:0,8=600$), nu adăugând $20\%$ la $480$.
• Confuzia cu creșterea aritmetică. „Crește cu $50$ de lei pe an" înseamnă rație $50$ (progresie aritmetică); „crește cu $5\%$ pe an" înseamnă factor $1,05$ (progresie geometrică). Citește dacă adaosul e în lei sau în procente.
• Exponentul greșit în formulă. Dacă $V_0$ este valoarea inițială, după $n$ pași avem $V_0\cdot q^n$; dacă notezi cu $b_1$ valoarea după primul pas, atunci după $n$ pași ai $b_1\cdot q^{n-1}$. Stabilește convenția de la început.

Aplică acasă

1. Detectivul de solduri. Găsește într-un magazin (fizic sau online) un produs cu două reduceri succesive afișate. Calculează prețul final înmulțind factorii, apoi calculează reducerea totală procentuală și compar-o cu suma procentelor afișate. Cu cât diferă?

2. Valoarea lucrurilor tale. Alege trei obiecte din casă și presupune pentru fiecare o pierdere anuală de valoare de $10\%$, $20\%$ și, respectiv, $30\%$. Fă un tabel cu valorile pe primii patru ani și găsește, pentru fiecare, primul an în care valoarea coboară sub jumătate din prețul inițial. Ce observi despre viteza de scădere?

3. Experimentul „dus-întors". Ia o sumă la alegere și aplică-i, pe rând, o creștere de $10\%$ urmată de o scădere de $10\%$; apoi $30\%$ în sus și $30\%$ în jos; apoi $50\%$ și $50\%$. Notează de fiecare dată cât la sută din suma inițială îți rămâne și verifică formula $1-x^2$ pentru toate cele trei cazuri.

Pentru părinți și profesori

Lecția atacă una dintre cele mai răspândite confuzii de matematică aplicată — ideea că procentele succesive se adună — și o repară cu un instrument simplu și robust: factorul de înmulțire. De aici, drumul spre progresia geometrică este natural: aplicarea repetată a aceluiași procent înseamnă înmulțire repetată cu același factor, iar întrebările „ce valoare după $n$ pași?" și „când trece de un prag?" se rezolvă cu aparatul din lecțiile precedente. Programa cere explicit contextele practice de tipul prețurilor și al modificărilor procentuale.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie factorul înainte de a calcula ($-30\%$ devine $0,7$); (2) înmulțește factorii în loc să adune procentele; (3) la problemele inverse împarte la factor, în loc să aplice procentul valorii finale; (4) precizează convenția de numerotare înainte de a folosi formula; (5) formulează răspunsul la întrebările cu prag în număr de pași. Întrebări bune de control: „De ce $-20\%$ și $-30\%$ nu fac $-50\%$?", „Ce reducere anulează o creștere de $25\%$?", „Cum se schimbă răspunsul dacă inversăm ordinea celor două modificări?".

La teze și la Bacalaureat, aceste probleme apar ca subiecte cu context: se dă o valoare care se modifică procentual an de an, se cere să se arate că șirul valorilor este progresie geometrică, apoi o valoare la un anumit rang sau momentul depășirii unui prag. Semne că elevul a înțeles: explică fără ezitare de ce creșterea și scăderea cu același procent nu se anulează, calculează corect procentul echivalent al mai multor pași și distinge instantaneu enunțurile cu adaos fix de cele cu procent fix.

Întrebări frecvente

De ce două reduceri succesive nu se adună? Pentru că a doua reducere se aplică prețului deja redus, nu celui inițial. La $-20\%$ urmat de $-30\%$, factorul total este $0,8\cdot 0,7=0,56$, deci reducerea reală este de $44\%$, nu de $50\%$: al doilea procent „mușcă" dintr-o valoare mai mică.

Cum calculez rapid un preț după o reducere? Înmulțești prețul cu factorul corespunzător: pentru $-25\%$ înmulțești cu $0,75$, pentru $-40\%$ cu $0,6$. Este mai rapid și mai sigur decât să calculezi separat cât reprezintă procentul și apoi să scazi.

Dacă un preț crește cu $20\%$ și apoi scade cu $20\%$, revine la valoarea inițială? Nu. Factorul total este $1,2\cdot 0,8=0,96$, deci rămâi cu $96\%$ din valoarea inițială, adică pierzi $4\%$. Fenomenul e general: $(1+x)(1-x)=1-x^2$, care este întotdeauna mai mic decât $1$.

Contează ordinea în care aplic două modificări procentuale? Nu contează, pentru că înmulțirea numerelor reale este comutativă: $1,2\cdot 0,8=0,8\cdot 1,2$. Prețul final este același, indiferent dacă întâi se scumpește și apoi se reduce sau invers.

Ce reducere anulează exact o creștere de $25\%$? O reducere de $20\%$, pentru că factorul $1,25=\frac{5}{4}$ se anulează cu $0,8=\frac{4}{5}$. În general, pentru a anula o creștere de $p\%$ e nevoie de o reducere de $\frac{p}{100+p}\cdot 100\%$, întotdeauna mai mică decât $p\%$.

Cum aflu prețul inițial dacă știu prețul de după reducere? Împarți prețul final la factorul reducerii. De exemplu, dacă după $-20\%$ produsul costă $480$ de lei, prețul inițial este $480:0,8=600$ de lei. A adăuga $20\%$ la $480$ ar fi greșit, fiindcă procentul se raportează la prețul inițial.

De ce o scădere procentuală repetată dă o progresie geometrică? Pentru că la fiecare pas se înmulțește cu același factor: o scădere anuală de $10\%$ înseamnă înmulțire cu $0,9$ în fiecare an. Rapoartele termenilor consecutivi sunt toate egale cu $0,9$, adică exact definiția progresiei geometrice, iar valoarea după $n$ ani este $V_0\cdot 0,9^n$.

Cum știu dacă o problemă cere model aritmetic sau geometric? Te uiți la ce este constant: dacă la fiecare pas se adaugă aceeași sumă (în lei, kilograme, kilometri), modelul este aritmetic; dacă se adaugă sau se scade același procent din valoarea precedentă, modelul este geometric, cu rația egală cu factorul procentual.