Pentru șirul $$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$$, încadrarea corectă este:

$$\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\le a_n\le\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}$$

$$\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\le a_n\le\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$$

$$\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\le a_n\le\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}$$

Se știe că $$b_n\le a_n\le c_n$$ pentru orice $$n\ge1$$, cu $$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=1$$ și $$\lim\limits_{n\to\infty}c_n=3$$. Atunci:

nu se poate spune nimic despre limita lui $$(a_n)$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$$

șirul $$(a_n)$$ este convergent

Cum se folosește criteriul cleștelui?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Criteriul cleștelui

Găsești două șiruri între care se află cel studiat, $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ , și arăți că marginile au aceeași limită. Atunci și șirul din mijloc are acea limită, fiindcă nu poate scăpa din strânsoare. Din $- \frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ rezultă imediat că limita este $0$ . Metoda se folosește când termenul general nu se poate calcula direct, de exemplu la sume cu tot mai mulți termeni sau la expresii cu parte întreagă.

Teoremă. Dacă $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ de la un rang încolo și $b_{n}$ , $c_{n}$ au aceeași limită $ℓ$ , atunci $n \to \infty lim a_{n} = ℓ$ . Demonstrația reduce cleștele la criteriul majorării, prin $∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq ∣ b_{n} - ℓ ∣ + ∣ c_{n} - ℓ ∣$ . Ipoteza esențială este ca cele două fălci să se închidă: din $1 \leq a_{n} \leq 2$ nu rezultă nimic.

La sume cu $n$ termeni — situația tipică — încadrezi un termen oarecare între cel mai mic și cel mai mare termen, apoi aduni cele $n$ inegalități; marginile devin $n$ ori termenul minim, respectiv $n$ ori termenul maxim. Atenție la sens: dacă indicele apare la numitor, termenul cel mai mare corespunde celui mai mic indice. Raționamentul „fiecare termen tinde la zero, deci suma tinde la zero” este greșit: numărul termenilor crește o dată cu $n$ .

Rezultate care ies din clește: $n a \to 1$ pentru orice $a > 0$ ; la $n a_{1}^{n} + \dots + a_{k}^{n}$ rămâne baza cea mai mare; partea întreagă dă un clește gata făcut, $x - 1 < [x] \leq x$ .

Aplicația cerută de programă: discul se prinde între poligonul regulat înscris și cel circumscris, $S_{n} \leq S \leq S_{n}^{'}$ ; ambele margini tind la $π R^{2}$ , deci $S = π R^{2}$ .

De reținut

$b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ și $lim b_{n} = lim c_{n} = ℓ \Rightarrow lim a_{n} = ℓ$
Inegalitățile pot începe de la un rang oarecare
Marginile trebuie să aibă ACEEAȘI limită

Greșeala tipică

Se aplică criteriul cu două margini care au limite diferite și se alege una dintre ele drept răspuns. Concluzia cere ca marginile să se întâlnească; altfel se obține doar un interval în care se află limita.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru șirul $a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}$ , încadrarea corectă este:
- a) $\frac{1}{n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{1}{n ^{2} + 1}$
- b) $\frac{n}{n ^{2} + 1} \leq a_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + n}$
- c) $\frac{n}{n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$
- d) $n \leq a_{n} \leq n^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{n}{n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$

Pentru $1 \leq k \leq n$ avem $n^{2} + 1 \leq n^{2} + k \leq n^{2} + n$ , deci fiecare fracție este cuprinsă între $\frac{1}{n ^{2} + n}$ și $\frac{1}{n ^{2} + 1}$ . Suma având exact $n$ termeni, marginile se înmulțesc cu $n$ — pasul pe care îl uită varianta a). Varianta b) are sensul întors. Ambele margini tind la $1$ , deci $n \to \infty lim a_{n} = 1$ .
Valoarea limitei $n \to \infty lim n 2^{n} + 7^{n} + 4^{n}$ este:
- a) $13$
- b) $7$
- c) $1$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

Baza cea mai mare este $7$ . Minorăm păstrând doar termenul dominant și majorăm înlocuind toți termenii cu cel mai mare: $n 7^{n} \leq a_{n} \leq n 3 \cdot 7^{n}$ , adică $7 \leq a_{n} \leq 7 n 3$ . Cum $n 3 \to 1$ , ambele margini tind la $7$ . Varianta a) ar fi suma bazelor — o greșeală frecventă.
Se știe că $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ pentru orice $n \geq 1$ , cu $n \to \infty lim b_{n} = 1$ și $n \to \infty lim c_{n} = 3$ . Atunci:
- a) $n \to \infty lim a_{n} = 2$
- b) $n \to \infty lim a_{n} = 1$
- c) șirul $(a_{n})$ este convergent
- d) nu se poate spune nimic despre limita lui $(a_{n})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu se poate spune nimic despre limita lui $(a_{n})$

Cleștele funcționează numai când cele două fălci au aceeași limită. Cu $b_{n} = 1$ și $c_{n} = 3$ constante, încadrarea este respectată deopotrivă de șirul constant $2$ , de șirul $1 + \frac{1}{n}$ și de șirul care ia alternativ valorile $1$ și $3$ — primele două converg, la valori diferite, iar al treilea nu are limită.

Întrebări conexe

Ce condiție trebuie să respecte cele două șiruri care încadrează?

Să aibă aceeași limită, iar încadrarea să fie adevărată începând de la un rang oarecare. Dacă marginile au limite diferite, criteriul nu spune nimic; se obține doar o încadrare a limitei, nu valoarea ei.

Cum încadrez un șir cu parte întreagă?

Folosești inegalitatea generală $x - 1 < [x] \leq x$ , valabilă pentru orice număr real. Cele două margini diferă printr-o unitate, care de obicei se stinge după împărțirea la un termen care crește.

Ce limită are șirul format din partea întreagă a lui n ori x, împărțită la n?

Este chiar $x$ . Din încadrarea $n x - 1 < [n x] \leq n x$ iese, după împărțirea la $n$ , o strângere între $x - \frac{1}{n}$ și $x$ . Ambele margini tind la aceeași valoare, deci șirul prins între ele nu poate avea altă limită.

Ce limită are un șir încadrat între 2 minus 1 supra n și 2 plus 1 supra n?

Este $2$ , fără să fie nevoie de vreo informație despre termenul lui general. Cele două margini se apropie amândouă de aceeași valoare, iar șirul strâns între ele este obligat să le urmeze.

De ce se numește criteriul cleștelui?

Fiindcă cele două șiruri se apropie unul de altul ca fălcile unui clește și strâng la mijloc șirul studiat. Când distanța dintre ele se anulează, valoarea prinsă între ele nu mai are unde să se ducă.

Ce fac dacă cele două margini au limite diferite?

Criteriul nu se aplică și trebuie căutată o încadrare mai strânsă. Informația obținută rămâne totuși folositoare: limita, dacă există, se află între cele două valori găsite.

Oamenii mai întreabă și: criteriul cleștelui · încadrarea unui șir între două șiruri · teorema cleștelui la limite · b n mai mic decât a n mai mic decât c n