Pentru a arăta că $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt{n}}=0$$, argumentul corect este:

șirul $$\left(\cos(3n)\right)$$ este mărginit, iar $$\dfrac{1}{\sqrt{n}}\to0$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\cos(3n)=0$$

$$\cos(3n)$$ are limita cuprinsă între $$-1$$ și $$1$$

limita produsului este produsul limitelor

Se știe că $$\lim\limits_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert=4$$. Rezultă că:

nu rezultă că șirul $$(a_n)$$ are limită

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=4$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-4$$

șirul $$(a_n)$$ este nemărginit

Ce spune criteriul majorării?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Criteriul majorării

Dacă $∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq b_{n}$ pentru orice rang, iar $b_{n}$ tinde la zero, atunci și $a_{n}$ tinde la $ℓ$ . Ideea este că distanța dintre termen și limită este strânsă de sus de un șir care se stinge, deci nu are unde să rămână. Modulul este obligatoriu: fără el, o majorare simplă nu ar controla și abaterile negative.

Când o bucată a expresiei nu are limită — $sin n$ , $cos n$ , $(- 1)^{n}$ , o sumă imprevizibilă — operațiile cu șiruri convergente se blochează. Criteriul majorării schimbă întrebarea: nu urmărim termenul, ci distanța până la valoarea bănuită.

Teoremă. Dacă $∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq b_{n}$ de la un rang încolo și $b_{n} \to 0$ , atunci $n \to \infty lim a_{n} = ℓ$ . Criteriul confirmă o limită ghicită, nu o produce: dacă ai ghicit greșit, expresia majorantă nu tinde la zero.

Consecința 1: $a_{n} \to 0 ⟺ ∣ a_{n} ∣ \to 0$ — valabilă numai pentru limita zero ( $a_{n} = (- 1)^{n}$ are $∣ a_{n} ∣ \to 1$ , dar nu are limită). Consecința 2, cea mai folosită: șir mărginit înmulțit cu șir nul dă șir nul. Consecințele 3 și 4 (comparație): dacă $a_{n} \geq b_{n}$ și $b_{n} \to + \infty$ , atunci $a_{n} \to + \infty$ ; simetric pentru $- \infty$ . Inegalitatea în sens invers nu spune nimic.

Rețeta în trei pași: ghicești $ℓ$ din partea dominantă, aduci $a_{n} - ℓ$ la o singură fracție, majorezi grosolan — înlocuiești ce e mărginit cu marginea lui, micșorezi numitorul, folosești $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ . Nu cauți majorantul optim, ci unul simplu care tinde la zero.

De reținut

$∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq b_{n}$ și $b_{n} \to 0 \Rightarrow a_{n} \to ℓ$
Modulul este obligatoriu în inegalitate
Un factor mărginit înmulțit cu un șir care se stinge dă tot zero

Greșeala tipică

Se scrie majorarea fără modul, de tipul $a_{n} \leq b_{n}$ , și se conchide că limita este zero. Fără modul, termenii pot rămâne oricât de departe pe partea negativă, deci concluzia nu se susține.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $n \to \infty lim \frac{3 n + sin n}{n + 5}$ este:
- a) $0$
- b) $3$
- c) $4$
- d) limita nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Bănuim $ℓ = 3$ din partea dominantă $\frac{3 n}{n}$ și formăm diferența: $a_{n} - 3 = \frac{3 n + sin n - 3 n - 15}{n + 5} = \frac{sin n - 15}{n + 5}$ . Din $∣ sin n ∣ \leq 1$ avem $∣ sin n - 15 ∣ \leq 16$ , iar $n + 5 > n$ , deci $∣ a_{n} - 3 ∣ \leq \frac{16}{n} \to 0$ . Criteriul majorării dă limita $3$ . Control numeric: pentru $n = 1 0^{4}$ valoarea este $2, 9985$ .
Pentru a arăta că $n \to \infty lim \frac{cos ( 3 n )}{n} = 0$ , argumentul corect este:
- a) șirul $(cos (3 n))$ este mărginit, iar $\frac{1}{n} \to 0$
- b) $n \to \infty lim cos (3 n) = 0$
- c) $cos (3 n)$ are limita cuprinsă între $- 1$ și $1$
- d) limita produsului este produsul limitelor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) șirul $(cos (3 n))$ este mărginit, iar $\frac{1}{n} \to 0$

Este Consecința 2: mărginit ori nul dă nul. Șirul $(cos (3 n))$ nu are limită, deci b) și d) sunt greșite — regula produsului cere ca ambele limite să existe. Formularea din c) este și ea greșită: un șir mărginit poate să nu aibă limită, deci nu se spune „are limita cuprinsă între…”, ci „este mărginit”.
Se știe că $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = 4$ . Rezultă că:
- a) $n \to \infty lim a_{n} = 4$
- b) $n \to \infty lim a_{n} = - 4$
- c) nu rezultă că șirul $(a_{n})$ are limită
- d) șirul $(a_{n})$ este nemărginit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu rezultă că șirul $(a_{n})$ are limită

Echivalența „ $a_{n} \to 0 ⟺ ∣ a_{n} ∣ \to 0$ ” funcționează numai pentru limita zero. Contraexemplu: $a_{n} = 4 \cdot (- 1)^{n}$ are $∣ a_{n} ∣ = 4$ pentru orice $n$ , deci modulul converge la $4$ , dar șirul însuși nu are limită (subșirurile de rang par și impar dau $4$ și $- 4$ ).

Întrebări conexe

Ce limită are șirul cu termenul general sinus de n supra n?

Tinde la zero. Numărătorul rămâne mereu între $- 1$ și $1$ , deci modulul întregii fracții nu depășește $\frac{1}{n}$ , care se stinge. Nu are importanță că valorile sinusului sar dezordonat.

Ce majorant aleg pentru un șir care conține funcții trigonometrice?

Înlocuiești sinusul sau cosinusul cu $1$ , fiindcă modulul lor nu trece niciodată de această valoare. Rămâne o expresie fără oscilații, mult mai ușor de studiat, iar limita ei zero încheie demonstrația.

Cum arăt cu criteriul că un șir tinde la zero?

Majorezi modulul termenului general cu o expresie mai simplă, despre care se știe deja că se stinge, cum sunt $\frac{1}{n}$ sau $q^{n}$ cu rație subunitară. Restul urmează imediat din enunțul criteriului.

Ce diferență este între majorare și încadrarea între două șiruri?

Majorarea folosește o singură margine, dar aplicată modulului, deci controlează abaterea în ambele sensuri. Încadrarea cere două margini distincte, câte una de fiecare parte, și se folosește când nu se poate scrie comod un modul.

Se poate folosi criteriul dacă limita nu este zero?

Da, dar șirul care majorează trebuie să tindă la zero, nu șirul studiat. Se scrie diferența față de limita bănuită și se majorează ea, ceea ce revine tot la un șir nul.

De ce este de ajuns o majorare, fără o minorare?

Fiindcă modulul este oricum nenegativ, deci marginea de jos există din start. Rămâne de strâns doar de sus, iar când marginea superioară coboară la zero, valoarea prinsă între ele nu mai are altă cale.

Oamenii mai întreabă și: criteriul majorării · modulul diferenței mai mic decât un șir nul · cum arăt că un șir tinde la zero · criteriul majorării la limite de șiruri