Ce metodă indică integrala $$\displaystyle\int \dfrac{x}{x^{2}+9}\,dx$$, pe $$\mathbb{R}$$?

schimbarea de variabilă $$u = x^{2}+9$$

rândul din tabel care dă $$\operatorname{arctg}$$

descompunerea în fracții simple

Pe $$(2, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{x^{2}}{2} - 3x + \mathcal{C}$$

$$\ln\lvert x-2 \rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^{2}}{2} - 3x + \ln\lvert x-2 \rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{5x^{2}}{2} + 6x}{\dfrac{x^{2}}{2} - 2x} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^{2}+9}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac13\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac19\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3} + \mathcal{C}$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac12\ln\left(x^{2}+9\right) + \mathcal{C}$$

Ce metodă de integrare aleg?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Alegerea metodei de integrare

Parcurgi în ordine un șir scurt de întrebări și te oprești la primul răspuns afirmativ: se poate rescrie algebric integrandul? apare deja în tabel? se vede derivata expresiei dinăuntru? înmulțește doi factori de feluri diferite? este cât a două polinoame? cere o recurență? Derivata interiorului cheamă substituția, iar produsul de tipuri diferite cheamă părțile. Pentru $\int \frac{x d x}{x ^{2} + 9}$ te oprești la a treia întrebare.

Înainte de orice metodă vine pasul zero: rescrierea algebrică a integrandului — desfacerea parantezelor, împărțirea când gradul numărătorului îl depășește pe cel al numitorului, simplificarea unei fracții sau o formulă trigonometrică. Pasul zero nu este o metodă de integrare, dar scutește de drumuri inutile: $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ se simplifică la $x - 3$ și integrala se încheie într-un rând.

Arborele de decizie pune întrebările într-o ordine fixă și te oprești la primul „da”: este integrandul în tabel? se vede derivata dinăuntru (tiparele $\frac{u ^{'}}{u}$ și $u^{n} u^{'}$ )? este un produs de tipuri diferite? este o funcție rațională? este trigonometric, cu radicali sau exponențial? cere o relație de recurență?

Semnalul schimbării de variabilă este prezența derivatei interiorului, iar semnalul integrării prin părți este produsul de tipuri diferite; alegerea factorilor se face cu regula descreșterii — derivezi ce se simplifică (polinom, $ln$ , $arctg$ ), integrezi ce nu se complică ( $e^{x}$ , $sin$ , $cos$ , puteri).

Numărătorul decide, nu numitorul: $\int \frac{d x}{x ^{2} + 9}$ este un rând din tabel și dă $arctg$ , iar $\int \frac{x d x}{x ^{2} + 9}$ este o substituție și dă logaritm. Două rezolvări corecte pot da forme diferite, care diferă printr-o constantă; singura verificare validă este derivarea rezultatului.

De reținut

pas zero: rescrierea algebrică
derivata interiorului $\Rightarrow$ substituție
produs de tipuri diferite $\Rightarrow$ părți
verificarea validă: derivarea rezultatului

Greșeala tipică

Se aplică fracțiile simple direct, fără să se privească numărătorul. Dacă acesta este derivata numitorului, integrala iese dintr-un rând prin substituție, iar descompunerea nu face decât să lungească drumul.

Exerciții din această mini-lecție

Ce metodă indică integrala $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x$ , pe $R$ ?
- a) rândul din tabel care dă $arctg$
- b) integrarea prin părți
- c) schimbarea de variabilă $u = x^{2} + 9$
- d) descompunerea în fracții simple
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) schimbarea de variabilă $u = x^{2} + 9$

La numărător stă, până la factorul $2$ , derivata numitorului: $(x^{2} + 9)^{'} = 2 x$ . Este tiparul $\frac{u ^{'}}{u}$ , deci substituția $u = x^{2} + 9$ duce la $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$ . Rândul cu $arctg$ se aplică atunci când numărătorul este constant.
Pe $(2, + \infty)$ , $\int \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$
- b) $ln ∣ x - 2 ∣ + C$
- c) $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + ln ∣ x - 2 ∣ + C$
- d) $\frac{\frac{x ^{3}}{3} - \frac{5 x ^{2}}{2} + 6 x}{\frac{x ^{2}}{2} - 2 x} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$

Pasul zero: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ , deci integrandul se simplifică la $x - 3$ pe $(2, + \infty)$ , iar primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$ . Varianta d) presupune, greșit, că integrala unui cât ar fi câtul integralelor; variantele b) și c) pornesc la fracții simple fără a fi observat simplificarea.
Pe $R$ , $\int \frac{1}{x ^{2} + 9} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{9} arctg \frac{x}{3} + C$
- b) $arctg \frac{x}{3} + C$
- c) $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
- d) $\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3} + C$

Este rândul $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ , cu $a = 3$ . Varianta c) este rezultatul integralei surori $\int \frac{x d x}{x ^{2} + 9}$ — confuzia clasică; variantele b) și a) greșesc factorul din față, care se verifică imediat prin derivare.

Întrebări conexe

Ce este pasul zero înaintea oricărei metode de integrare?

Rescrierea algebrică a integrandului: desfaci parantezele, împarți când numărătorul are gradul cel puțin cât numitorul, simplifici fracția sau aplici o formulă trigonometrică. Nu este o metodă de integrare, ci pregătirea care scutește de drumuri lungi; uneori după ea calculul se încheie într-un rând.

De ce decide numărătorul, nu numitorul, la o fracție?

Pentru că numitorul singur nu spune ce metodă merge. Cu numitorul $x^{2} + 9$ și numărătorul $1$ ești pe un rând din tabel și obții arctangentă; cu numărătorul $x$ ai jumătate din derivata numitorului, deci substituție, iar rezultatul conține un logaritm.

Cât este integrala din x pătrat minus 5x plus 6, supra x minus 2?

Numărătorul se descompune, deci fracția se simplifică la $x - 3$ , iar integrala devine $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$ . Este exemplul limpede de pas zero: fără simplificare ai fi pornit spre fracții simple, deși nu era nevoie de nicio descompunere.

Ce ordine au întrebările din arborele de decizie?

Fixă, de la simplu spre complicat: rescriere, tabel, derivata interiorului, produs de tipuri diferite, funcție rațională, apoi cazurile cu radicali, exponențiale sau recurență. Ordinea contează, fiindcă prima potrivire dă drumul cel mai scurt, iar sărirea peste ea lungește degeaba calculul.

Ce metodă cere integrala din x supra x pătrat plus 9?

Substituția, fiindcă $x$ este jumătate din derivata numitorului: iese $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$ , fără bare de modul, numitorul fiind pozitiv. Cu numărătorul $1$ în locul lui $x$ , aceeași expresie ar fi dat o arctangentă, deci un rezultat de alt tip.

Oamenii mai întreabă și: cum aleg metoda de integrare · ce metodă folosesc la o integrală · arbore de decizie la integrale · părți sau substituție · cum recunosc metoda potrivită