Într-o problemă apar atât $$V = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} Q(t)\,dt$$, cât și $$\mathcal{V} = \pi\displaystyle\int_a^b f^{2}(x)\,dx$$. Ce reprezintă fiecare?

$$V$$ = volum de lichid acumulat în timp, $$\mathcal{V}$$ = volumul unui corp de rotație

amândouă volume de corpuri de rotație

amândouă volume de lichid, scrise diferit

$$V$$ = volumul unui corp, $$\mathcal{V}$$ = volum de lichid

Se cere volumul de lichid scurs între minutele $$2$$ și $$5$$. În rezolvare, constanta de integrare:

nu apare, pentru că se simplifică în diferență

se determină din valoarea inițială

se ia egală cu zero prin convenție

Cum aflu volumul scurs dintr-un debit?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Debit, volum de lichid și energie

Se integrează debitul pe intervalul de timp: $V = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q (t) d t$ . Integrala definită dă direct cantitatea adunată între cele două momente, fără constantă, fiindcă aceasta s-ar simplifica în diferență. Aceeași schemă merge la energie, unde se integrează puterea. Unitățile de timp nu se amestecă, iar rezultatul se scrie cu unitatea lui de măsură.

Debitul $Q$ este cantitatea de lichid care trece printr-o secțiune în unitatea de timp, iar volumul scurs pe intervalul $[t_{1}, t_{2}]$ este $V = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q (t) d t$ . Notația se păstrează distinctă: $V$ este un volum de lichid, acumulat în timp, în timp ce $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ este volumul unui corp de rotație — nici formula, nici unitatea de intrare, nici simbolul nu coincid. Modelarea urmează cele patru etape: variabila și intervalul, funcția cu unitățile ei, integrala, răspunsul cu unitate și control. Integrala definită dă direct cantitatea acumulată între două momente, fără constantă de integrare: aceasta se simplifică în diferența $F (t_{2}) - F (t_{1})$ și apare doar dacă se cere funcția $V (t)$ însăși. Debitul mediu este $\frac{V}{t _{2} - t _{1}}$ , adică valoarea medie a lui $Q$ , iar prin teorema de medie el este efectiv atins într-un moment al intervalului. Energia consumată de un aparat cu puterea instantanee $P (t)$ este $E = \int_{t_{1}}^{t_{2}} P (t) d t$ ; cu puterea în kilowați și timpul în ore rezultatul iese direct în kilowatt-ore, unde $1$ kWh $= 3, 6 \cdot 1 0^{6}$ jouli, iar conversia se face numai când problema o cere. Unitățile de timp nu se amestecă, iar la ecuațiile de tipul „după cât timp” soluția din afara intervalului se respinge în scris.

De reținut

$V = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q (t) d t$
$E = \int_{t_{1}}^{t_{2}} P (t) d t$
debitul mediu: $\frac{V}{t _{2} - t _{1}}$

Greșeala tipică

Se scrie constanta de integrare și la o cantitate adunată între două momente. Acolo ea se reduce în diferență; constanta apare numai când se cere funcția care dă cantitatea la fiecare moment.

Exerciții din această mini-lecție

Debitul unei conducte este $Q (t) = 9 - t^{2}$ (în metri cubi pe minut), pentru $t \in [0, 3]$ minute. Volumul de lichid scurs în acest interval este:
- a) $18$ m $^{3}$
- b) $27$ m $^{3}$
- c) $9$ m $^{3}$
- d) $6$ m $^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18$ m $^{3}$

$V = \int_{0}^{3} (9 - t^{2}) d t = (9 t - \frac{t ^{3}}{3})_{0}^{3} = 27 - 9 = 18$ m $^{3}$ . Varianta $27$ ignoră termenul $- t^{2}$ , iar $9$ confundă volumul cu debitul de la momentul inițial. Control: debitul scade de la $9$ la $0$ în $3$ minute, deci volumul este între $0$ și $27$ .
Într-o problemă apar atât $V = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q (t) d t$ , cât și $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ . Ce reprezintă fiecare?
- a) amândouă volume de corpuri de rotație
- b) amândouă volume de lichid, scrise diferit
- c) $V$ = volumul unui corp, $V$ = volum de lichid
- d) $V$ = volum de lichid acumulat în timp, $V$ = volumul unui corp de rotație
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $V$ = volum de lichid acumulat în timp, $V$ = volumul unui corp de rotație

Cele două noțiuni păstrează deliberat notații diferite: $V$ acumulează un debit în timp și are ca variabilă timpul, iar $V$ măsoară un corp geometric și are ca variabilă o coordonată spațială. Nu au aceeași formulă, aceeași unitate de intrare și nici același simbol; confundarea lor este greșeala tipică a lecției.
Se cere volumul de lichid scurs între minutele $2$ și $5$ . În rezolvare, constanta de integrare:
- a) se adaugă la rezultat
- b) se determină din valoarea inițială
- c) nu apare, pentru că se simplifică în diferență
- d) se ia egală cu zero prin convenție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu apare, pentru că se simplifică în diferență

La integrala definită se calculează $F (t_{2}) - F (t_{1})$ , iar orice constantă adăugată lui $F$ se scade pe ea însăși: nu apare și nu trebuie determinată. Constanta intervine doar dacă se cere funcția $V (t)$ , ca la primitive, unde se fixează din condiția inițială. Aceasta este puntea „integrala definită nu are nevoie de constantă”.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că debitul este derivata volumului?

Că volumul strâns până la un moment dat are drept viteză de creștere chiar debitul. De aici vine și drumul invers: adunând debitul pe un interval de timp, cu integrala, se află cantitatea scursă în acel interval.

Ce se schimbă dacă se cere funcția care dă volumul la momentul t?

Atunci apare constanta, fiindcă se caută o primitivă, nu un număr. Ea se determină din cantitatea existentă la momentul de pornire. Cerința se recunoaște ușor: se cere o funcție de timp, nu cantitatea adunată între două momente date.

Ce se întâmplă când rata devine negativă pe o parte a intervalului?

Acolo mărimea scade, iar integrala taie din ce se adunase înainte. Rezultatul final este bilanțul, nu cantitatea mișcată în total; dacă se cere cât s-a mișcat în ambele sensuri, se integrează separat pe bucăți.

Ce se face cu soluția din afara intervalului de timp?

Se respinge, în scris, cu o propoziție care spune de ce. La întrebările despre momentul în care se adună o cantitate dată, ecuația poate avea două soluții, dintre care una cade în afara intervalului cercetat sau iese negativă.

Ce mărimi din fizică se obțin integrând o rată?

Toate cele care se adună în timp sau de-a lungul unui drum: viteza din accelerație, poziția din viteză, volumul din debit, energia din putere, lucrul mecanic din forță. Regula comună este că se integrează rata de variație a mărimii căutate.

Oamenii mai întreabă și: volumul dintr-un debit variabil · debitul mediu · energia consumată de un aparat · integrala unei rate · kilowatt-oră în jouli