Despre o funcție $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ se știe că $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=-\infty$$. Care afirmație este corectă?

$$g$$ are derivată în $$0$$, dar nu este derivabilă în $$0$$

$$g$$ este derivabilă în $$0$$, cu $$g'(0)=-\infty$$

$$g$$ nu are derivată în $$0$$

tangenta la grafic în punctul $$\big(0, g(0)\big)$$ are panta $$-\infty$$

Cum se definește derivata într-un punct?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Definiția derivatei într-un punct

Derivata în $x_{0}$ este limita raportului $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ atunci când $x$ se apropie de $x_{0}$ . Numărul obținut arată panta tangentei în punctul de pe grafic și ritmul cu care se schimbă mărimea. Pentru $f (x) = x^{2}$ și $x_{0} = 3$ raportul se simplifică la $x + 3$ , deci $f^{'} (3) = 6$ . Dacă limita iese finită, funcția este derivabilă acolo; dacă iese infinită, are doar derivată.

Derivata s-a născut din două întrebări care păreau fără legătură: care este panta tangentei la o curbă într-un punct și care este viteza unui mobil într-o clipă. Amândouă cer același lucru — limita unui raport în care și numărătorul, și numitorul tind la zero.

Fixează pe graficul lui $f$ punctul $M_{0} (x_{0}, f (x_{0}))$ și mai ia un punct $M (x, f (x))$ , cu $x \neq = x_{0}$ . Panta secantei $M_{0} M$ este raportul de diferențe $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ ; pentru $f (x) = x^{2}$ și $x_{0} = 1$ , secanta dusă până la abscisa $2$ are panta $3$ . Când $M$ alunecă spre $M_{0}$ , secantele se rotesc, iar poziția lor limită este tangenta.

Definiție. $f$ are derivată în $x_{0}$ dacă există limita $f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} \in \overline{R};$ $f$ este derivabilă în $x_{0}$ dacă, în plus, această limită este finită. Distincția nu e pedanterie: $3 x$ are $f^{'} (0) = + \infty$ , deci are derivată, dar nu este derivabilă în $0$ .

Calculul din definiție are trei pași: scrii $f (x_{0})$ , prelucrezi algebric raportul până dispare nedeterminarea $\frac{0}{0}$ (factorizare, numitor comun, amplificare cu conjugata), treci la limită. Numărul obținut are două citiri: panta tangentei în $(x_{0}, f (x_{0}))$ și rata instantanee de variație — viteză, debit, cost marginal.

De reținut

$f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$
limită finită înseamnă derivabilă, limită infinită înseamnă doar cu derivată
$f^{'} (x_{0})$ este panta tangentei în $(x_{0}, f (x_{0}))$

Greșeala tipică

Se înlocuiește direct $x$ cu $x_{0}$ în raport și se obține $\frac{0}{0}$ , care nu este un rezultat. Nedeterminarea se ridică prin prelucrare algebrică, abia apoi se trece la limită.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + x$ . Valoarea limitei $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$ este:
- a) $3$
- b) $4$
- c) $5$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5$

Întâi valoarea: $f (2) = 4 + 2 = 6$ . Raportul devine $\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 3$ , deci limita este $5$ . Varianta $6$ este chiar $f (2)$ , nu derivata; varianta $4$ apare dacă pierzi termenul $x$ și derivezi doar $x^{2}$ .
Despre o funcție $g : R \to R$ se știe că $x \to 0 lim \frac{g ( x ) - g ( 0 )}{x - 0} = - \infty$ . Care afirmație este corectă?
- a) $g$ are derivată în $0$ , dar nu este derivabilă în $0$
- b) $g$ este derivabilă în $0$ , cu $g^{'} (0) = - \infty$
- c) $g$ nu are derivată în $0$
- d) tangenta la grafic în punctul $(0, g (0))$ are panta $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $g$ are derivată în $0$ , dar nu este derivabilă în $0$

Limita există în $\overline{R}$ , deci $g$ are derivată în $0$ ; nefiind finită, $g$ nu este derivabilă acolo. Tangenta este verticală, iar o dreaptă verticală nu are pantă — nu se spune că panta ar fi infinită.
Fie $f : [- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + 1$ . Calculată din definiție, valoarea $f^{'} (3)$ este:
- a) $\frac{1}{8}$
- b) $2$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $\frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{4}$

$f (3) = 4 = 2$ . Amplificând cu conjugata, $\frac{x + 1 - 2}{x - 3} = \frac{( x + 1 ) - 4}{( x - 3 ) ( x + 1 + 2 )} = \frac{1}{x + 1 + 2} ⟶ \frac{1}{4}$ . Varianta $\frac{1}{2}$ apare dacă uiți termenul $+ 2$ de la numitor, iar varianta $2$ confundă $f (3)$ cu $f^{'} (3)$ .

Întrebări conexe

Ce este panta secantei prin două puncte ale graficului?

Este raportul dintre creșterea ordonatelor și creșterea absciselor, adică $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ . Pe parabola $y = x^{2}$ , secanta dusă din punctul de abscisă $1$ până la cel de abscisă $2$ are panta $\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ . Când al doilea punct coboară spre primul, secantele se apropie de tangentă.

Cât este derivata unei funcții de gradul întâi?

Este chiar panta ei, aceeași în orice punct. Pentru $f (x) = 5 x - 2$ raportul de diferențe se simplifică la constanta $5$ , deci $f^{'} (x_{0}) = 5$ oriunde. Graficul fiind o dreaptă, tangenta la el coincide cu dreapta însăși.

De ce radicalul de ordinul al treilea nu este derivabil în zero?

Raportul devine $\frac{3 x}{x} = \frac{1}{3 x ^{2}}$ , care crește nemărginit când $x$ se apropie de $0$ . Limita există, dar este $+ \infty$ , adică nu e un număr. Funcția are deci derivată în origine, fără să fie derivabilă; graficul primește acolo tangentă verticală.

Ce prelucrări se fac în raportul de diferențe?

Cele care fac să dispară factorul care se anulează: descompunere în factori, aducere la un numitor comun, amplificare cu conjugata la radicali. Toate au același scop — să scapi de nedeterminarea $\frac{0}{0}$ înainte de trecerea la limită. Abia după simplificare înlocuiești $x$ cu $x_{0}$ .

Ce înseamnă rata instantanee de variație?

Este cât se schimbă o mărime pe unitatea de variabilă, măsurat chiar în clipa aceea, nu pe un interval. Dacă $x (t)$ dă poziția, $x^{'} (t)$ este viteza din acel moment; dacă $C (q)$ dă costul, $C^{'} (q)$ arată cam cât costă bucata următoare. Aceeași limită, citită în două limbaje.

Ce se cere ca limita din definiție să fie finită?

Se cere ca raportul să se stabilizeze în jurul unui număr real, nu să crească nemărginit. Condiția separă cele două noțiuni: cu limită infinită funcția are derivată, cu limită reală este și derivabilă. Numai al doilea caz permite scrierea tangentei sub forma cu pantă.

Oamenii mai întreabă și: definiția derivatei · derivata unei funcții într-un punct · raportul de diferențe · cum se calculează f prim de x zero · ce înseamnă derivabilă într-un punct