Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\begin{cases} x+3, & x < 2 \\ x^{2}, & x \ge 2 \end{cases}$$. Atunci:

$$f$$ nu este continuă în $$2$$, deci nu este derivabilă în $$2$$

$$f$$ este continuă în $$2$$, dar nu este derivabilă în $$2$$

$$f$$ este derivabilă în $$2$$, cu $$f'(2)=4$$

$$f$$ nu este continuă în $$2$$, dar este derivabilă în $$2$$

Care dintre următoarele afirmații este FALSĂ?

orice funcție continuă într-un punct este derivabilă în acel punct

orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct

dacă $$f$$ nu este continuă în $$x_0$$, atunci $$f$$ nu este derivabilă în $$x_0$$

funcția $$f(x)=\lvert x \rvert$$ este continuă în $$0$$, dar nu este derivabilă în $$0$$

De ce derivabilitatea cere continuitatea?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivabilitate și continuitate

Fiindcă diferența $f (x) - f (x_{0})$ se scrie ca raportul de diferențe înmulțit cu $x - x_{0}$ : primul factor tinde la numărul finit $f^{'} (x_{0})$ , al doilea la zero, deci produsul se stinge. Rezultă $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ , adică tocmai continuitatea. Sensul invers nu funcționează: modulul este continuu în origine, fără să fie derivabil acolo.

Între cele două proprietăți locale ale unei funcții există o legătură, dar ea merge într-un singur sens.

Teoremă. Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ , atunci $f$ este continuă în $x_{0}$ . Demonstrația încape în trei rânduri: pentru $x \neq = x_{0}$ scriem $f (x) - f (x_{0}) = \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} \cdot (x - x_{0});$ trecând la limită, primul factor tinde la $f^{'} (x_{0})$ , număr finit, iar al doilea la $0$ , deci $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ . Finitudinea a fost folosită: cu o derivată infinită am avea nedeterminarea $0 \cdot \infty$ .

Forma de lucru este contrapoziția: dacă $f$ nu este continuă în $x_{0}$ , atunci nu este derivabilă în $x_{0}$ . La orice funcție pe ramuri se verifică deci întâi continuitatea; dacă ea cade, discuția s-a încheiat. Mecanismul e limpede: într-un punct de discontinuitate numitorul raportului tinde la zero, iar numărătorul, nu — raportul explodează.

Reciproca este falsă: $f (x) = ∣ x ∣$ este continuă în $0$ , dar are derivatele laterale $- 1$ și $1$ . Derivabilitatea este strict mai tare decât continuitatea.

De aici tiparul de la Bacalaureat M1: la o funcție pe ramuri cu parametri se scriu două ecuații — una din continuitate, cealaltă din egalitatea derivatelor laterale —, exact în această ordine.

De reținut

din derivabilă în $x_{0}$ rezultă continuă în $x_{0}$
reciproca este falsă: $∣ x ∣$ e continuă, dar nederivabilă în $0$
la o funcție dată pe ramuri, continuitatea se cercetează prima

Greșeala tipică

Se calculează direct derivatele laterale la o funcție care are salt în punctul de racord. Acolo derivabilitatea este exclusă din start, deci se verifică mai întâi continuitatea.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {x + 3, x^{2}, x < 2 x \geq 2$ . Atunci:
- a) $f$ nu este continuă în $2$ , deci nu este derivabilă în $2$
- b) $f$ este continuă în $2$ , dar nu este derivabilă în $2$
- c) $f$ este derivabilă în $2$ , cu $f^{'} (2) = 4$
- d) $f$ nu este continuă în $2$ , dar este derivabilă în $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ nu este continuă în $2$ , deci nu este derivabilă în $2$

$f (2) = 4$ , iar limita la stânga este $x \to 2 x < 2 lim (x + 3) = 5 \neq = 4$ : funcția nu este continuă în $2$ . Prin contrapoziția teoremei, ea nu poate fi derivabilă acolo, deci calculul derivatelor laterale nici nu mai este necesar.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {x^{2} + a x + b, 8 x - 11, x \leq 3 x > 3$ , este derivabilă în $x_{0} = 3$ pentru:
- a) $a = 2$ , $b = 2$
- b) $a = 8$ , $b = - 20$
- c) $a = 2$ , $b = - 2$
- d) $a = 6$ , $b = - 14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = 2$ , $b = - 2$

Continuitate: $9 + 3 a + b = 24 - 11 = 13$ , adică $3 a + b = 4$ . Derivabilitate: numărătorul din stânga devine $(x - 3) (x + 3 + a)$ , deci $f_{s}^{'} (3) = 6 + a$ , iar $f_{d}^{'} (3) = 8$ ; din $6 + a = 8$ rezultă $a = 2$ , apoi $b = - 2$ . Variantele $a = 8$ și $a = 6$ respectă doar continuitatea, iar prima nici pe aceasta.
Care dintre următoarele afirmații este FALSĂ?
- a) orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct
- b) orice funcție continuă într-un punct este derivabilă în acel punct
- c) dacă $f$ nu este continuă în $x_{0}$ , atunci $f$ nu este derivabilă în $x_{0}$
- d) funcția $f (x) = ∣ x ∣$ este continuă în $0$ , dar nu este derivabilă în $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) orice funcție continuă într-un punct este derivabilă în acel punct

Este exact reciproca teoremei, iar ea este falsă: contraexemplul este chiar funcția din ultima variantă. Celelalte trei afirmații sunt teorema, contrapoziția ei și contraexemplul standard.

Întrebări conexe

Ce demonstrație arată că derivabilitatea atrage continuitatea?

Se pornește de la identitatea $f (x) - f (x_{0}) = \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} \cdot (x - x_{0})$ , valabilă pentru $x \neq = x_{0}$ . Trecând la limită, produsul dintre un număr finit și zero dă zero. Demonstrația încape în trei rânduri.

Câte ecuații scriu la o funcție pe ramuri cu doi parametri?

Două: prima vine din continuitate, a doua din faptul că derivatele laterale trebuie să coincidă, exact în această ordine. Sistemul format din ele determină ambii parametri. Dacă prima ecuație nu are soluție, a doua nici nu se mai scrie.

De ce funcția modul este contraexemplul standard al reciprocei?

Pentru că este continuă peste tot, dar în origine derivatele laterale ies $- 1$ și $1$ . Arată așadar că din continuitate nu se poate deduce derivabilitatea. Graficul explică vizual: se desenează dintr-o trăsătură, însă are un colț.

Ce rol are finitudinea derivatei în demonstrație?

Este esențială: produsul dintre limita raportului și $x - x_{0}$ trebuie să fie de forma „număr finit ori zero”. Cu o derivată infinită ai obține nedeterminarea $0 \cdot \infty$ , iar concluzia nu ar mai rezulta. De aceea teorema vorbește despre funcții derivabile.

Ce concluzie trag dacă funcția are un salt în punctul studiat?

Că nu este derivabilă acolo, fără să mai calculezi nimic. Este contrapoziția teoremei: lipsa continuității exclude derivabilitatea. Mecanismul se vede și direct: numitorul se apropie de zero, în timp ce numărătorul rămâne departe de el, deci raportul crește nemărginit.

În ce ordine se scriu condiția de continuitate și cea de derivabilitate?

Întâi continuitatea, apoi derivabilitatea. Ordinea nu este o convenție: dacă prima cade, discuția se încheie acolo, iar calculul derivatelor laterale devine inutil. Tiparul acesta apare la aproape orice problemă cu ramuri și parametri.

Oamenii mai întreabă și: derivabilă implică continuă · legătura dintre derivabilitate și continuitate · orice funcție derivabilă este continuă · continuă dar nederivabilă · reciproca este falsă