Domeniul de derivabilitate al funcției $$f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$$ este:

$$(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$$

$$(-\infty,-3]\cup[3,+\infty)$$

Care e regula de derivare a compunerii?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivarea funcțiilor compuse

Se derivează funcția din exterior, lăsând expresia dinăuntru neatinsă, apoi se înmulțește cu derivata acesteia: $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ . Derivata exteriorului se calculează în $g (x)$ , nu în $x$ . Astfel $(sin 3 x)^{'} = 3 cos 3 x$ , iar $(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}$ . Factorul din urmă este pasul care se uită cel mai des.

Volumul depinde de temperatură, temperatura depinde de timp: volumul este funcție compusă de timp, iar vitezele se înmulțesc. Aceasta este, în cuvinte, regula lecției: $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .$ Derivezi funcția din exterior, lași neatinsă expresia din interior și înmulțești cu derivata interiorului. Atenție unde se calculează derivata exteriorului: în $g (x)$ , nu în $x$ .

Procedura are trei pași: numești interiorul $u (x)$ și calculezi $u^{'} (x)$ ; derivezi exteriorul păstrând $u$ neschimbat; înmulțești cu $u^{'}$ . Pasul al treilea este cel uitat — de aceea $(sin 3 x)^{'} = 3 cos 3 x$ , nu $cos 3 x$ .

Tabelul derivatelor compuse nu conține nimic nou, e cel uzual înmulțit cu $u^{'}$ : $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}; (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}; (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}; (e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}; (sin u)^{'} = u^{'} cos u .$ Domeniul se citește pe funcția din exterior: $u$ și $ln u$ sunt derivabile doar unde $u > 0$ , iar $tg u$ doar unde $cos u \neq = 0$ . De aceea $x^{2} - 4$ este definită și în $\pm 2$ , dar nu este derivabilă acolo.

La compuneri repetate numeri straturile înainte de a începe: câte straturi, atâția factori în produsul final.

De reținut

$(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ , $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$
domeniul se citește după funcția din exterior

Greșeala tipică

Se derivează doar funcția din exterior și se uită factorul $u^{'}$ . Cu interiorul $3 x$ , rezultatul corect al lui $sin 3 x$ este $3 cos 3 x$ , nu $cos 3 x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = sin (5 x)$ , este:
- a) $cos (5 x)$
- b) $5 sin (5 x)$
- c) $- 5 cos (5 x)$
- d) $5 cos (5 x)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5 cos (5 x)$

Interiorul este $u (x) = 5 x$ , cu $u^{'} (x) = 5$ , iar $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ , deci $f^{'} (x) = 5 cos (5 x)$ . Varianta $cos (5 x)$ este exact greșeala numărul unu de la funcțiile compuse: factorul $u^{'}$ lipsește. Semnul minus apare la derivata cosinusului, nu a sinusului.
Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = e^{3 x^{2}}$ , este:
- a) $e^{3 x^{2}}$
- b) $6 x e^{6 x}$
- c) $6 x e^{3 x^{2}}$
- d) $e^{6 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6 x e^{3 x^{2}}$

Cu $u (x) = 3 x^{2}$ și $u^{'} (x) = 6 x$ , formula $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$ dă $f^{'} (x) = 6 x e^{3 x^{2}}$ . Exponentul rămâne neschimbat: variantele cu $e^{6 x}$ derivează exponentul în interiorul funcției, ceea ce regula nu permite.
Domeniul de derivabilitate al funcției $f (x) = x^{2} - 9$ este:
- a) $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$
- b) $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$
- c) $R$
- d) $(- 3, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$

Expresia are sens pentru $x^{2} - 9 \geq 0$ , dar radicalul este derivabil numai unde interiorul este strict pozitiv. În $\pm 3$ funcția este definită, însă raportul de diferențe tinde la infinit, deci acolo graficul are semitangentă verticală. A doua variantă este domeniul de definiție, nu cel de derivabilitate.

Întrebări conexe

Cât este derivata lui ln de x pătrat plus 1?

Aplici formula $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ cu $u = x^{2} + 1$ , deci rezultatul este $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ . Numitorul nu se anulează niciodată, așa că funcția este derivabilă pe toată dreapta reală. Numărătorul $2 x$ este chiar derivata expresiei dinăuntru.

Câți factori are derivata la trei straturi de compunere?

Trei, câte unul pentru fiecare strat. Numeri straturile înainte de a începe calculul, iar numărul lor îți spune câte derivate se înmulțesc la final. La $sin (x^{2} + 1)$ ies factorii de la sinus, de la radical și de la polinom.

Unde este derivabilă funcția radical din x pătrat minus 4?

Pe mulțimea în care expresia de sub radical este strict pozitivă, adică în afara intervalului $[- 2, 2]$ . În punctele $- 2$ și $2$ funcția este definită, dar nu derivabilă, fiindcă numitorul $2 x^{2} - 4$ se anulează acolo.

În ce punct se calculează derivata funcției din exterior?

În valoarea funcției dinăuntru, adică în $g (x)$ , nu în $x$ . Detaliul acesta se pierde ușor, dar el este chiar miezul formulei. La $cos (2 x)$ , derivata cosinusului se ia în $2 x$ , de unde rezultatul $- 2 sin 2 x$ .

Cât este derivata lui e la puterea 3x?

Este $3 e^{3 x}$ . Exponențiala rămâne neschimbată la derivare, iar factorul $3$ vine de la derivata exponentului. Fără el ai obține $e^{3 x}$ , un răspuns care ratează tocmai regula compunerii.

Care este pasul uitat cel mai des la derivarea compunerii?

Înmulțirea cu derivata expresiei dinăuntru. Cine sare peste el scrie $cos 3 x$ în loc de $3 cos 3 x$ . Verificarea rapidă: dacă interiorul are un coeficient, el trebuie să se regăsească în rezultat.

Oamenii mai întreabă și: derivarea funcțiilor compuse · derivate compuse · regula lanțului · derivata lui sin de 2x · formula cu u prim