Care dintre următoarele afirmații este ADEVĂRATĂ?

dacă $$f$$ este de două ori derivabilă pe $$\mathbb{R}$$, atunci $$f'$$ este continuă pe $$\mathbb{R}$$

orice funcție derivabilă pe $$\mathbb{R}$$ este de două ori derivabilă pe $$\mathbb{R}$$

dacă $$f''(x_0)=0$$, atunci $$f'(x_0)=0$$

$$f''$$ înseamnă pătratul derivatei întâi

Ce arată derivata a doua a unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivata de ordinul al doilea

Arată cât de repede se schimbă ritmul, nu mărimea însăși. Dacă derivata întâi joacă rolul vitezei, a doua joacă rolul accelerației. Se obține derivând încă o dată, $f^{''} = (f^{'})^{'}$ , după ce ai simplificat rezultatul primei derivări. Semnul ei aduce informație despre curbură; a-l confunda cu semnul funcției este o greșeală obișnuită, fiindcă o cantitate poate urca în vreme ce ritmul ei coboară.

Dacă derivata întâi este viteza, derivata a doua este accelerația: ea nu spune cât de repede se schimbă mărimea, ci cât de repede se schimbă ritmul cu care se schimbă mărimea.

Definiție. $f$ este de două ori derivabilă în $x_{0}$ dacă funcția $f^{'}$ este derivabilă în $x_{0}$ ; atunci $f^{''} (x_{0}) = (f^{'})^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( x _{0} )}{x - x _{0}} .$ Notația este $f^{''}$ , iar programa clasei a XI-a se oprește la acest ordin. Ca să existe $f^{''} (x_{0})$ , derivata $f^{'}$ trebuie să existe pe o întreagă vecinătate a lui $x_{0}$ , nu doar în punct.

Calculul are doi pași: derivezi, simplifici, derivezi din nou. Pentru $f (x) = x^{2} e^{x}$ , forma factorizată $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ duce direct la $f^{''} (x) = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2)$ .

Derivabilă nu înseamnă de două ori derivabilă: $f (x) = x ∣ x ∣$ are $f^{'} (x) = 2 ∣ x ∣$ , funcție care nu e derivabilă în $0$ — nederivabilitatea nu dispare, se mută cu un ordin mai sus.

Un tipar de examen: relațiile de forma $f^{''} - 2 f^{'} + f = 0$ se verifică prin calcul direct, scoțând factorul comun exponențial. Iar semnul lui $f^{''}$ nu se confundă cu semnul lui $f$ : o mărime poate crește în timp ce ritmul ei scade.

De reținut

$f^{''} = (f^{'})^{'}$ , calculată după simplificarea lui $f^{'}$
prima derivată joacă rolul vitezei, a doua pe cel al accelerației
derivabilă nu înseamnă de două ori derivabilă

Greșeala tipică

Se derivează a doua oară expresia nesimplificată a primei derivate. Aducerea ei la formă factorizată scurtează calculul și scade riscul unei greșeli de semn.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 5 x$ , derivata de ordinul al doilea este:
- a) $4 x^{3} - 6 x^{2} + 5$
- b) $12 x^{2} - 12 x$
- c) $12 x^{2} - 12 x + 5$
- d) $12 x^{3} - 12 x^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12 x^{2} - 12 x$

Derivăm de două ori, termen cu termen: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ , apoi $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x$ . Termenul $5 x$ dă $5$ la prima derivare și dispare la a doua. Prima variantă este chiar $f^{'}$ , nu $f^{''}$ .
Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = e^{4 x}$ , avem $f^{''} (x) =$
- a) $e^{4 x}$
- b) $4 e^{4 x}$
- c) $16 e^{4 x}$
- d) $8 e^{4 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $16 e^{4 x}$

Fiecare derivare adaugă un factor $4$ , venit din derivata interiorului: $f^{'} (x) = 4 e^{4 x}$ și $f^{''} (x) = 16 e^{4 x}$ . Varianta $8 e^{4 x}$ apare dacă aduni cei doi factori în loc să îi înmulțești.
Care dintre următoarele afirmații este ADEVĂRATĂ?
- a) orice funcție derivabilă pe $R$ este de două ori derivabilă pe $R$
- b) dacă $f^{''} (x_{0}) = 0$ , atunci $f^{'} (x_{0}) = 0$
- c) $f^{''}$ înseamnă pătratul derivatei întâi
- d) dacă $f$ este de două ori derivabilă pe $R$ , atunci $f^{'}$ este continuă pe $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) dacă $f$ este de două ori derivabilă pe $R$ , atunci $f^{'}$ este continuă pe $R$

Din ipoteză, $f^{'}$ este derivabilă pe $R$ , iar orice funcție derivabilă este continuă. Prima variantă cade la $f (x) = x ∣ x ∣$ ; a doua, la $f (x) = x^{3} + x$ , unde $f^{''} (0) = 0$ , dar $f^{'} (0) = 1$ ; a treia confundă $f^{''}$ cu $(f^{'})^{2}$ .

Întrebări conexe

Cât este derivata a doua a lui x pătrat, înmulțit cu e la x?

Prima derivare dă $e^{x} (x^{2} + 2 x)$ , sub formă factorizată. Derivând încă o dată acest produs obții $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2)$ . Simplificarea de la primul pas scurtează mult calculul de la al doilea.

De ce se simplifică derivata întâi înainte de a doua derivare?

Fiindcă altfel duci mai departe o expresie umflată, iar șansa de greșeală crește. Aducerea la formă factorizată sau la un singur raport scurtează calculul și, în plus, ușurează studiul semnului care urmează.

Ce derivată a doua are funcția x înmulțit cu modul de x?

Prima derivată iese $2 ∣ x ∣$ , funcție continuă, dar nederivabilă în origine. Prin urmare $f^{''} (0)$ nu există, deși $f$ este derivabilă peste tot. Nederivabilitatea nu dispare, ci urcă un ordin mai sus.

Până la ce ordin merg derivatele în programa de liceu?

Programa se oprește la ordinul al doilea, notat $f^{''}$ . Ordinele superioare există în matematică, dar nu se cer la examen. Tot ce ai nevoie pentru studiul variației — monotonie și curbură — se citește din primele două derivate.

Poate o mărime să crească în timp ce ritmul ei scade?

Da, iar situația este foarte obișnuită: $f^{'} > 0$ împreună cu $f^{''} < 0$ . Un depozit care se umple tot mai încet urcă în continuare, doar că viteza de umplere scade. Cele două semne poartă informații independente.

Ce trebuie să existe în jurul punctului ca să existe derivata a doua?

Derivata întâi trebuie să existe pe o vecinătate întreagă a punctului, nu doar în el. Altfel raportul din definiția lui $f^{''}$ nici nu se poate scrie. Condiția se verifică înainte de a începe al doilea calcul.

Oamenii mai întreabă și: derivata a doua · derivata de ordinul al doilea · f secund · accelerația ca derivată · cum calculez derivata a doua