Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\begin{cases} x^{2}+x, & x \le 2 \\ 5x-4, & x > 2 \end{cases}$$. Atunci:

$$f$$ este derivabilă în $$2$$ și $$f'(2)=5$$

$$f$$ nu este derivabilă în $$2$$, pentru că ramurile nu se lipesc

$$f$$ este derivabilă în $$2$$ și $$f'(2)=6$$

$$f_s'(2)=4$$ și $$f_d'(2)=5$$, deci $$f$$ nu este derivabilă în $$2$$

Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$, și $$x_0=0$$. Care afirmație este corectă?

$$f_s'(0)=f_d'(0)=+\infty$$, deci $$f$$ are derivată în $$0$$, dar nu este derivabilă acolo

$$f_s'(0)=-\infty$$ și $$f_d'(0)=+\infty$$

$$f$$ este derivabilă în $$0$$, pentru că derivatele laterale sunt egale

Fie $$f:[3,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\sqrt{x-3}$$. În punctul $$x_0=3$$:

se studiază numai derivata la dreapta, care este $$+\infty$$, deci $$f$$ nu este derivabilă în $$3$$

$$f_s'(3)=-\infty$$ și $$f_d'(3)=+\infty$$

$$f$$ este derivabilă în $$3$$, cu $$f'(3)=0$$

$$f$$ nu este continuă în $$3$$

Ce sunt derivatele laterale?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivate laterale și teorema de decizie

Sunt limitele raportului $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ luate separat pe fiecare parte a punctului: cu $x < x_{0}$ obții $f_{s}^{'} (x_{0})$ , cu $x > x_{0}$ obții $f_{d}^{'} (x_{0})$ . Funcția este derivabilă în $x_{0}$ exact atunci când amândouă există, sunt finite și coincid; valoarea comună devine $f^{'} (x_{0})$ . La $f (x) = ∣ x ∣$ în $0$ ele ies $- 1$ și $1$ , deci derivabilitatea cade.

Raportul de diferențe se poate studia separat pe fiecare parte a punctului, exact cum ai făcut la limitele laterale. Derivata la stânga este $f_{s}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} x < x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}},$ iar derivata la dreapta, $f_{d}^{'} (x_{0})$ , se scrie la fel, cu $x > x_{0}$ . În ambele rapoarte apare aceeași valoare $f (x_{0})$ , oricâte ramuri ar avea funcția.

Teorema de decizie: $f$ este derivabilă în $x_{0}$ dacă și numai dacă $f_{s}^{'} (x_{0})$ și $f_{d}^{'} (x_{0})$ există, sunt finite și sunt egale; atunci $f^{'} (x_{0})$ este valoarea lor comună. Cele trei condiții se verifică — și se punctează — separat: la $3 x$ în $0$ derivatele laterale sunt egale, dar amândouă valorează $+ \infty$ , deci funcția nu e derivabilă acolo.

La funcțiile pe ramuri procedura are patru pași: citești $f (x_{0})$ de pe ramura a cărei condiție o verifică $x_{0}$ , calculezi $f_{s}^{'} (x_{0})$ pe ramura din stânga, $f_{d}^{'} (x_{0})$ pe cea din dreapta, apoi compari. Etalonul este $f (x) = ∣ x ∣$ în $0$ , cu $f_{s}^{'} (0) = - 1$ și $f_{d}^{'} (0) = 1$ : graficul are un colț.

La un capăt închis al domeniului există o singură derivată laterală, cea dinspre interior — de aceea $x$ este derivabilă pe $(0, + \infty)$ , dar nu în $0$ .

De reținut

$f_{s}^{'} (x_{0})$ se ia cu $x < x_{0}$ , iar $f_{d}^{'} (x_{0})$ cu $x > x_{0}$
derivabilă înseamnă laterale existente, finite și egale
la un capăt închis există o singură derivată laterală

Greșeala tipică

Se declară funcția derivabilă doar pentru că derivatele laterale coincid. Mai lipsește condiția ca ele să fie finite, cum arată $3 x$ în origine.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {x^{2} + x, 5 x - 4, x \leq 2 x > 2$ . Atunci:
- a) $f$ nu este derivabilă în $2$ , pentru că ramurile nu se lipesc
- b) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{'} (2) = 5$
- c) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{'} (2) = 6$
- d) $f_{s}^{'} (2) = 4$ și $f_{d}^{'} (2) = 5$ , deci $f$ nu este derivabilă în $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{'} (2) = 5$

$f (2) = 6$ , iar a doua ramură dă tot $10 - 4 = 6$ : ramurile se lipesc. Apoi $f_{s}^{'} (2) = lim \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = lim (x + 3) = 5$ și $f_{d}^{'} (2) = lim \frac{5 x - 10}{x - 2} = 5$ . Ambele finite și egale, deci $f^{'} (2) = 5$ . Valoarea $6$ este $f (2)$ , nu derivata.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x$ , și $x_{0} = 0$ . Care afirmație este corectă?
- a) $f_{s}^{'} (0) = - \infty$ și $f_{d}^{'} (0) = + \infty$
- b) $f$ este derivabilă în $0$ , pentru că derivatele laterale sunt egale
- c) $f_{s}^{'} (0)$ nu există
- d) $f_{s}^{'} (0) = f_{d}^{'} (0) = + \infty$ , deci $f$ are derivată în $0$ , dar nu este derivabilă acolo
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f_{s}^{'} (0) = f_{d}^{'} (0) = + \infty$ , deci $f$ are derivată în $0$ , dar nu este derivabilă acolo

Raportul este $\frac{3 x}{x} = \frac{1}{3 x ^{2}}$ , cu numitor strict pozitiv care tinde la $0$ : el tinde la $+ \infty$ din ambele părți. Egalitatea derivatelor laterale nu ajunge — mai trebuie ca ele să fie finite.
Fie $f : [3, + \infty) \to R$ , $f (x) = x - 3$ . În punctul $x_{0} = 3$ :
- a) se studiază numai derivata la dreapta, care este $+ \infty$ , deci $f$ nu este derivabilă în $3$
- b) $f_{s}^{'} (3) = - \infty$ și $f_{d}^{'} (3) = + \infty$
- c) $f$ este derivabilă în $3$ , cu $f^{'} (3) = 0$
- d) $f$ nu este continuă în $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) se studiază numai derivata la dreapta, care este $+ \infty$ , deci $f$ nu este derivabilă în $3$

La stânga lui $3$ domeniul nu are puncte, deci $f_{s}^{'} (3)$ nici nu se poate formula. Rămâne $f_{d}^{'} (3) = x \to 3 x > 3 lim \frac{x - 3}{x - 3} = lim \frac{1}{x - 3} = + \infty$ : funcția are derivată la dreapta, infinită, deci nu este derivabilă în $3$ (deși este continuă acolo).

Întrebări conexe

Cum se scriu derivatele laterale sub semnul limitei?

Sub limită se adaugă condiția care restrânge partea: $x < x_{0}$ pentru cea din stânga, $x > x_{0}$ pentru cea din dreapta. Prescurtat se folosesc $f_{s}^{'} (x_{0})$ și $f_{d}^{'} (x_{0})$ , notații acceptate în lucrări atunci când spațiul nu permite forma completă.

Ce cere teorema de decizie de la derivatele laterale?

Trei lucruri deodată: să existe, să fie numere finite și să fie egale între ele. Fiecare condiție se verifică separat, fiindcă baremul le punctează separat. Dacă una singură cade, funcția nu este derivabilă în punctul acela.

Pot fi derivatele laterale egale fără ca funcția să fie derivabilă?

Da, atunci când amândouă sunt infinite. La $3 x$ în $0$ ele valorează $+ \infty$ , deci coincid, dar condiția de finitudine nu este îndeplinită. Graficul primește tangentă verticală, iar funcția are derivată fără să fie derivabilă.

Ce valoare a funcției apare în ambele rapoarte laterale?

Aceeași, $f (x_{0})$ , citită de pe ramura a cărei condiție o îndeplinește punctul. Oricâte bucăți ar avea funcția, numărul rămâne același pe amândouă părțile. Confuzia de aici este sursa celor mai multe greșeli de calcul.

Ce este un punct unghiular?

Punctul în care amândouă derivatele laterale există și sunt finite, dar au valori diferite. Graficul capătă acolo un colț, cu două semitangente de pante deosebite, cum se vede la modulul lui $x$ în origine, unde pantele sunt $- 1$ și $1$ .

Cum calculez derivata la dreapta pentru o funcție dată pe ramuri?

Iei expresia valabilă la dreapta punctului, scrii raportul cu $f (x_{0})$ neschimbat și treci la limită prin valori mai mari. Nu înlocuiești $f (x_{0})$ cu valoarea ramurii din dreapta, dacă punctul aparține celeilalte ramuri.

Oamenii mai întreabă și: derivata la stânga · derivata la dreapta · derivate laterale într-un punct · când este o funcție derivabilă · f prim s și f prim d