Care afirmație despre $$f(x)=\sqrt{x}$$ este ADEVĂRATĂ?

$$f$$ este derivabilă pe $$[0,+\infty)$$, cu $$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$f$$ nu este continuă în $$0$$

$$f$$ este derivabilă în $$0$$, cu $$f'(0)=0$$

Care este tabelul derivatelor?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale

Formulele de bază sunt $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ , $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ , $(tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ și $(ctg x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}$ . Fiecare rând vine la pachet cu mulțimea pe care formula se aplică, iar tocmai partea aceasta se punctează separat. De pildă $x$ este continuă pe $[0, + \infty)$ , dar derivabilă doar pe $(0, + \infty)$ .

Fiecare rând al tabelului canonic conține trei informații: funcția, mulțimea pe care ea este derivabilă și derivata. A doua se pierde cel mai des și se punctează separat.

Puterile ocupă trei rânduri distincte, pentru că domeniile diferă: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ pe $R$ (din descompunerea lui $x^{n} - x_{0}^{n}$ ), $(x^{- n})^{'} = - n x^{- n - 1}$ pe $R^{*}$ și $(x^{r})^{'} = r x^{r - 1}$ pe $(0, + \infty)$ pentru $r$ real. Radicalii sunt cazul $r = \frac{1}{n}$ : $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ și $(n x)^{'} = \frac{1}{n n x ^{n - 1}}$ , tot pe $(0, + \infty)$ .

Logaritmul și exponențiala: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ și $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}$ pe $(0, + \infty)$ ; $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ pe $R$ , de unde $(e^{x})^{'} = e^{x}$ — singura funcție uzuală care este propria ei derivată.

Trigonometricele, toate din limita fundamentală $u \to 0 lim \frac{sin u}{u} = 1$ și numai cu argumentul în radiani: $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ , $(tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , $(ctg x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}$ .

Tabelul nu se învață rând cu rând, ci pe grupe, urmărind unealta comună: puterile și radicalii se sprijină pe algebră și pe limita $\frac{( 1 + t ) ^{r} - 1}{t} \to r$ , logaritmul și exponențiala pe limitele cu $ln$ , iar cele patru funcții trigonometrice pe limita sinusului. În fiecare grupă e de ajuns să reții o formulă și drumul spre ea.

Cele două capcane permanente: $x$ este continuă pe $[0, + \infty)$ , dar derivabilă doar pe $(0, + \infty)$ ; iar $x^{n}$ și $a^{x}$ sunt funcții diferite — la prima variabila stă la bază, la a doua la exponent, deci $(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ , niciodată $x \cdot 2^{x - 1}$ .

De reținut

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ și $(cos x)^{'} = - sin x$
$(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ , niciodată $x \cdot 2^{x - 1}$

Greșeala tipică

Se derivează $a^{x}$ ca și cum variabila ar sta la bază, scriind $x \cdot a^{x - 1}$ . La exponențială variabila stă la exponent, deci rezultatul corect este $a^{x} ln a$ .

Exerciții din această mini-lecție

Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3^{x}$ , este:
- a) $x \cdot 3^{x - 1}$
- b) $3^{x}$
- c) $3^{x} ln 3$
- d) $\frac{3 ^{x}}{ln 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3^{x} ln 3$

Se aplică rândul $a^{x}$ al tabelului: $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ , deci $f^{'} (x) = 3^{x} ln 3$ pe $R$ . Varianta $x \cdot 3^{x - 1}$ vine din confuzia cu puterea $x^{n}$ (acolo variabila e la bază), iar $3^{x}$ ar fi corect numai pentru baza $e$ .
Care afirmație despre $f (x) = x$ este ADEVĂRATĂ?
- a) $f$ este derivabilă pe $[0, + \infty)$ , cu $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
- b) $f$ nu este continuă în $0$
- c) $f$ este derivabilă în $0$ , cu $f^{'} (0) = 0$
- d) $f$ este continuă pe $[0, + \infty)$ , dar derivabilă doar pe $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ este continuă pe $[0, + \infty)$ , dar derivabilă doar pe $(0, + \infty)$

În $0$ raportul de diferențe este $\frac{x}{x} = \frac{1}{x} \to + \infty$ : limita există în $\overline{R}$ , dar nu este finită, deci funcția nu e derivabilă acolo, deși e continuă. Formula $\frac{1}{2 x}$ este corectă, însă numai pe $(0, + \infty)$ .
Valoarea derivatei funcției $f (x) = tg x$ în punctul $x_{0} = \frac{π}{3}$ este:
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $4$
- c) $2$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

$(tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , iar $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , deci $cos^{2} \frac{π}{3} = \frac{1}{4}$ și derivata valorează $4$ . Punctul aparține domeniului de derivabilitate al tangentei. Valoarea $3$ este $tg \frac{π}{3}$ , adică funcția, nu derivata ei.

Întrebări conexe

Cât este derivata lui radical din x?

Este $\frac{1}{2 x}$ , valabilă pe $(0, + \infty)$ . Formula iese din regula puterii cu exponent real, luând $r = \frac{1}{2}$ . În $0$ expresia nu are sens, ceea ce se potrivește cu faptul că funcția nu e derivabilă acolo.

Ce derivată are logaritmul în baza a?

Este $\frac{1}{x ln a}$ , pe mulțimea numerelor strict pozitive. Pentru baza $e$ numitorul se simplifică, fiindcă $ln e = 1$ , și rămâne $\frac{1}{x}$ . Factorul $ln a$ apare tot din formula de schimbare a bazei.

Pe ce mulțime este derivabilă puterea cu exponent real?

Pe $(0, + \infty)$ , spre deosebire de puterea cu exponent natural, derivabilă pe toată dreapta. Motivul este chiar domeniul: $x^{r}$ cu $r$ neîntreg se definește numai pentru baze strict pozitive. Formula rămâne $(x^{r})^{'} = r x^{r - 1}$ .

Care funcție uzuală este propria ei derivată?

Exponențiala în baza $e$ : din $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ și $ln e = 1$ rezultă $(e^{x})^{'} = e^{x}$ . Este singura funcție uzuală cu această proprietate și unul dintre motivele pentru care baza $e$ apare peste tot în analiză.

Cât este derivata cotangentei?

Este $- \frac{1}{sin ^{2} x}$ , pe mulțimea punctelor în care sinusul nu se anulează. Semnul minus o deosebește de derivata tangentei, care iese $\frac{1}{cos ^{2} x}$ . Perechea se ține minte împreună cu cea formată din sinus și cosinus.

De ce fiecare rând al tabelului conține și o mulțime?

Pentru că formula derivatei nu are sens peste tot: radicalul pierde derivabilitatea în capătul domeniului, iar tangenta o pierde acolo unde nu este definită. Mulțimea este a doua informație a rândului și se cere explicit în barem.

Oamenii mai întreabă și: tabelul derivatelor · derivatele funcțiilor elementare · derivata lui x la n · derivata lui e la x · derivata sinusului