Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $$3$$; la ordinul $$4$$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare

la ordinul $$4$$, „Sarrus prelungit” cu primele trei coloane scrise la dreapta dă valoarea corectă

transformarea $$C_i \leftarrow C_i + \alpha C_j$$, cu $$i \ne j$$, schimbă semnul determinantului

transformarea $$L_2 \leftarrow 3L_2$$ nu schimbă determinantul

Cum fac zerouri într-un determinant mare?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinanți de ordin 4 prin transformări

Alegi o linie sau o coloană care are deja un element comod, de preferință $1$ , și aduni la celelalte linii multipli potriviți ai ei, până rămâne un singur element nenul pe acea coloană. Transformarea nu schimbă valoarea. Apoi dezvolți după coloana curățată și rămâne un singur determinant de ordinul $3$ , rezolvat cu Sarrus. Fără zerouri, dezvoltarea directă ar cere patru determinanți de ordinul $3$ .

La ordinul $4$ , dezvoltarea directă după o linie fără zerouri costă patru determinanți de ordin $3$ . Metoda corectă este alta: întâi transformi, apoi dezvolți.

Regula pe care se sprijină totul: $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , cu $i \neq = j$ , nu schimbă determinantul. Celelalte două transformări costă și se notează pe margine chiar în momentul aplicării: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ schimbă semnul, iar $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ (cu $α \neq = 0$ ) înmulțește determinantul cu $α$ . Aceleași reguli valorează pe coloane, cu $C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ , $C_{i} \leftarrow α C_{i}$ , $C_{i} \leftarrow C_{i} + α C_{j}$ .

Strategia pivotului, în patru pași: cauți un element egal cu $1$ sau $- 1$ ; faci zerouri pe toată coloana lui, folosind linia lui; dezvolți după acea coloană, unde rămâne un singur termen; calculezi minorul de ordin $3$ cu regula lui Sarrus. Un pivot diferit de $\pm 1$ umple calculul de numitori.

Dacă nu există niciun $1$ , îl fabrici: scazi două linii (sau două coloane) cu valori apropiate. Alteori factorul comun scos dintr-o linie produce chiar pivotul căutat.

Trucul coloanei constante: când toate liniile au aceeași sumă $s$ , transformarea $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ face prima coloană constantă; scoți $s$ factor comun și rămâi cu coloana de $1$ .

Avertismentul care valorează puncte: regula lui Sarrus nu se extinde la ordinul $4$ . Pe determinantul cu $2$ pe diagonală și $1$ alături, „Sarrus prelungit" ar da $15$ , în timp ce valoarea corectă este $5$ . La ordinul $4$ ai voie doar cu dezvoltarea după o linie sau o coloană și cu transformările elementare.

De reținut

$L_{i} \to L_{i} + k L_{j}$ nu schimbă valoarea — instrumentul de bază
Se face zero peste tot pe o coloană, în afară de o poziție
Sarrus NU se aplică la ordinul $4$

Greșeala tipică

Se schimbă două linii între ele ca să aducă pivotul sus și se uită schimbarea de semn. Determinantul iese atunci cu semn opus, deși toate calculele următoare sunt corecte.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $12132301 - 1 120 0132$ ?
- a) $21$
- b) $- 57$
- c) $- 21$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 21$

Pivotul este $a_{11} = 1$ . Cu $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ , $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ și $L_{4} \leftarrow L_{4} - 3 L_{1}$ — trei transformări care nu schimbă valoarea — liniile devin $(0, - 1, 3, 1)$ , $(0, - 2, 3, 3)$ și $(0, - 5, 3, 2)$ . Dezvoltând după prima coloană rămâne $- 1 - 2 - 5 333132$ ; cu regula lui Sarrus, produsele care se adună însumează $- 57$ , iar cele care se scad, $- 36$ , deci valoarea este $- 57 + 36 = - 21$ .
Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?
- a) regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $3$ ; la ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare
- b) la ordinul $4$ , „Sarrus prelungit” cu primele trei coloane scrise la dreapta dă valoarea corectă
- c) transformarea $C_{i} \leftarrow C_{i} + α C_{j}$ , cu $i \neq = j$ , schimbă semnul determinantului
- d) transformarea $L_{2} \leftarrow 3 L_{2}$ nu schimbă determinantul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $3$ ; la ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare

Argumentul de numărare: la ordinul $4$ determinantul are $4! = 24$ de termeni, iar orice schemă de diagonale produce cel mult $8$ . Pe determinantul cu $2$ pe diagonală și $1$ alături, rețeta greșită dă $15$ , în timp ce valoarea corectă este $5$ . Varianta c) este falsă (transformarea nu schimbă nimic), iar d) este falsă: determinantul se triplează.
Se știe că $A \in M_{4} (R)$ are $det A = - 24$ . Ce determinant are matricea obținută aplicând, în ordine, $L_{2} \leftrightarrow L_{4}$ , apoi $C_{3} \leftarrow C_{3} + 5 C_{1}$ , apoi $L_{1} \leftarrow 2 L_{1}$ ?
- a) $- 24$
- b) $- 48$
- c) $24$
- d) $48$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $48$

Schimbarea a două linii schimbă semnul: $24$ . Transformarea $C_{3} \leftarrow C_{3} + 5 C_{1}$ , fiind de tipul $C_{i} \leftarrow C_{i} + α C_{j}$ cu $i \neq = j$ , nu schimbă nimic: tot $24$ . Înmulțirea unei linii cu $2$ dublează: $48$ . Varianta b) uită minusul adus de schimbarea de linii.

Întrebări conexe

Câte dezvoltări cere un determinant de ordinul 4 fără zerouri?

Patru determinanți de ordinul $3$ , fiecare cu șase produse, adică $24$ de produse de câte patru factori — exact numărul de termeni din definiție. De aceea se investește întâi în crearea zerourilor și abia apoi se dezvoltă.

Cum aleg pivotul într-un determinant de ordinul 4?

Cauți un element egal cu $1$ sau cu $- 1$ , ca să nu apară fracții la scăderi. Dacă nu există niciunul, îl fabrici scăzând două linii apropiate ca valori, transformare care lasă determinantul neschimbat.

Cum folosesc o linie cu trei zerouri?

Dezvolți direct după ea: trei termeni se anulează, iar din patru determinanți de ordinul $3$ rămâne unul singur. O astfel de linie valorează mai mult decât orice combinație de transformări făcute după aceea.

Cât face determinantul unei matrice de ordinul 4 cu două linii egale?

Face zero, fără niciun calcul. Scăzând o linie din cealaltă apare o linie de zerouri, iar dezvoltarea după ea se anulează. Verificarea aceasta merită făcută înainte de a începe transformările.

Cum verific un determinant de ordinul 4 calculat prin transformări?

Îl reiei pornind de la altă coloană-pivot; valoarea trebuie să iasă aceeași. Un control suplimentar: dacă suma tuturor coloanelor dă aceeași valoare pe fiecare linie, acea valoare trebuie să apară ca factor în rezultat.

Ce ordin au determinanții care apar după prima dezvoltare?

Ordinul $3$ , fiindcă dezvoltarea șterge o linie și o coloană. Ei se calculează cu Sarrus sau, dacă mai au zerouri, printr-o a doua dezvoltare care coboară la ordinul $2$ .

Oamenii mai întreabă și: cum se calculează un determinant de ordin 4 · determinant 4x4 prin transformări · cum creez zerouri într-un determinant · metoda pivotului la determinanți