Se știe că $$A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ are $$\det A = 7$$. Fie $$B$$ matricea obținută din $$A$$ schimbând între ele cele două linii. Care afirmație este adevărată?

$$\det B = -7$$ și $$\det({}^{t}A) = 7$$

$$\det B = 7$$ și $$\det({}^{t}A) = -7$$

$$\det B = -7$$ și $$\det({}^{t}A) = -7$$

$$\det B = 7$$ și $$\det({}^{t}A) = 7$$

Cum se calculează un determinant de ordinul 2?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinantul de ordinul al doilea

Scazi produsul de pe diagonala secundară din cel de pe diagonala principală: pentru $A = (a c b d)$ iese $det A = a d - b c$ . Astfel $3254 = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 2$ . Rezultatul este un număr, nu o matrice, și poate fi negativ sau nul. Valoarea $0$ arată că matricea nu are inversă, iar liniile ei sunt proporționale.

Pentru $A = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}) \in M_{2} (C)$ , determinantul lui $A$ este numărul $det A = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Este o definiție, nu o teoremă dedusă din altceva.

Trei precizări care nu se negociază: determinantul se definește numai pentru matrice pătratice; el este un număr, nu o matrice; și din valoarea lui nu poți reconstitui matricea, pentru că o infinitate de matrice au același determinant.

Notația este $det A$ în text, în teoreme și în lanțuri de calcul. Tabloul între bare verticale duble se folosește doar când chiar afișezi numerele, la momentul calculului. Bara simplă în jurul literei se citește „modul" și nu se folosește niciodată pentru determinant — mai ales că determinantul poate fi negativ.

Numărul acesta decide singur soarta unei probleme. Un sistem de două ecuații cu două necunoscute are soluție unică exact atunci când determinantul matricei coeficienților este nenul; iar o matrice pătratică are inversă exact atunci când $det A \neq = 0$ .

Trei comportări se verifică pe loc, într-un rând de calcul: transpusa are același determinant, $det (^{t} A) = det A$ ; schimbând între ele cele două linii, determinantul își schimbă semnul; iar dacă liniile sunt proporționale, determinantul este $0$ .

Tipul de exercițiu cel mai frecvent la Bacalaureat M1 pune un parametru în matrice: calculezi determinantul, obții o ecuație obișnuită, o rezolvi și verifici soluțiile prin înlocuire.

De reținut

$det (a c b d) = a d - b c$
Determinantul este un număr; există doar la matrice pătratice
$det A = 0 ⟺$ liniile sunt proporționale $⟺ A$ nu are inversă

Greșeala tipică

Se adună cele două produse în loc să se scadă, sau se scade în ordine greșită. Din produsul diagonalei principale se scade cel al diagonalei secundare, iar inversarea schimbă semnul rezultatului.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $- 4 6 3 - 5$ ?
- a) $38$
- b) $- 38$
- c) $18$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

$(- 4) \cdot (- 5) - 3 \cdot 6 = 20 - 18 = 2$ . Varianta a) apare când se adună cele două produse în loc să se scadă, iar varianta c) când se înmulțește pe linii, $(- 4) \cdot 3 - 6 \cdot (- 5)$ , în loc de pe diagonale.
Pentru ce valori reale ale lui $m$ avem $m + 1 2 3 m = 0$ ?
- a) $m \in {- 2, 3}$
- b) $m \in {- 3, 2}$
- c) $m \in {- 6, 1}$
- d) $m \in {2, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m \in {- 3, 2}$

$det = m (m + 1) - 3 \cdot 2 = m^{2} + m - 6 = (m + 3) (m - 2)$ , deci $m = - 3$ sau $m = 2$ . Verificare pentru $m = - 3$ : $- 2 2 3 - 3 = 6 - 6 = 0$ ; pentru $m = 2$ : $3232 = 6 - 6 = 0$ . Varianta a) inversează semnele rădăcinilor.
Se știe că $A \in M_{2} (R)$ are $det A = 7$ . Fie $B$ matricea obținută din $A$ schimbând între ele cele două linii. Care afirmație este adevărată?
- a) $det B = - 7$ și $det (^{t} A) = 7$
- b) $det B = 7$ și $det (^{t} A) = - 7$
- c) $det B = - 7$ și $det (^{t} A) = - 7$
- d) $det B = 7$ și $det (^{t} A) = 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $det B = - 7$ și $det (^{t} A) = 7$

Schimbarea celor două linii face ca produsul de pe diagonala principală și cel de pe diagonala secundară să își schimbe rolurile, deci determinantul își schimbă semnul: $det B = - det A = - 7$ . Transpunerea, în schimb, lasă neschimbat produsul de pe diagonala principală și doar reordonează factorii celuilalt, deci $det (^{t} A) = det A = 7$ .

Întrebări conexe

Ce arată geometric determinantul de ordinul 2?

Valoarea lui absolută este aria paralelogramului construit pe cele două linii privite ca vectori în plan. Semnul spune cum sunt așezați cei doi vectori unul față de altul, iar aria nulă înseamnă că stau pe aceeași direcție.

Cât face determinantul unei matrice cu liniile a b și b a?

Face $a^{2} - b^{2}$ , adică $(a - b) (a + b)$ : produsul diagonalei principale este $a \cdot a$ , iar al celei secundare $b \cdot b$ . Determinantul se anulează pentru $a = b$ și pentru $a = - b$ , singurele situații în care cele două linii devin proporționale.

Cum calculez un determinant cu elemente literale?

Aplici aceeași diferență de produse și abia apoi reduci termenii. Pentru $(x 3 2 x)$ iese $x^{2} - 6$ , iar dacă enunțul cere anularea, rezolvi ecuația obținută și găsești $x = \pm 6$ .

Cum se schimbă determinantul dacă înmulțesc o linie cu 3?

Se triplează, fiindcă factorul comun al unei linii iese în fața determinantului. Dacă însă înmulțești toată matricea de ordinul $2$ cu $3$ , determinantul se înmulțește cu $9$ , adică factorul apare o dată pentru fiecare linie.

Cum verific rapid că am calculat corect un determinant de ordinul 2?

Refaci produsele în ordine inversă și compari, apoi controlezi semnul: scăderea merge întotdeauna dinspre diagonala principală. Un al doilea control util este cazul particular al liniilor egale, care trebuie să dea zero.

Cum aflu parametrul pentru care un determinant de ordinul 2 se anulează?

Scrii determinantul ca expresie în acel parametru și rezolvi ecuația obținută prin anularea ei. Pentru $(m 4 1 m)$ condiția devine $m^{2} - 4 = 0$ , deci valorile critice sunt $m = 2$ și $m = - 2$ . Pentru orice altă valoare a lui $m$ matricea rămâne inversabilă.

Oamenii mai întreabă și: determinant 2x2 · determinantul unei matrice de ordinul doi · ad minus bc · cum calculez determinantul unei matrice de două linii