Care dintre afirmațiile despre regula lui Sarrus este adevărată?

se aplică exclusiv la ordinul $$3$$; la ordinul $$4$$ un desen cu diagonale ar da doar $$8$$ produse din cele $$24$$ necesare

se aplică la orice ordin, copiind sub tablou primele $$n-1$$ linii

la ordinul $$4$$ produce toate cele $$24$$ de produse cerute de definiție

dă alte șase produse decât regula triunghiului

Cum se aplică regula lui Sarrus?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinantul de ordin 3: Sarrus și triunghiul

Rescrii primele două linii sub tablou. Se adună apoi produsele luate pe direcția diagonalei principale și se scad cele luate pe direcția celeilalte diagonale, câte trei de fiecare parte. Pentru $210131012$ produsele care cresc dau $12 + 0 + 0$ , cele care scad dau $0 + 2 + 2$ , deci valoarea este $12 - 4 = 8$ . Procedeul funcționează exclusiv la ordinul $3$ și dă cei șase termeni ai definiției.

Determinantul de ordin $3$ este o sumă de șase produse de câte trei factori, trei cu plus și trei cu minus; fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și câte unul din fiecare coloană. Numărul $6$ nu e ales la întâmplare: el este $3! = card S_{3}$ , iar repartiția semnelor vine din faptul că $S_{3}$ are exact trei permutări pare și trei impare.

Regula lui Sarrus așază aceste produse pe desen: scrii tabloul, copiezi sub el primele două linii, aduni cele trei produse de pe diagonalele care coboară spre dreapta și scazi cele trei de pe diagonalele care coboară spre stânga. Există și varianta cu primele două coloane copiate la dreapta.

Regula triunghiului lucrează pe tabloul original: se adună produsul de pe diagonala principală și cele două „triunghiuri" paralele cu ea, se scad produsul de pe diagonala secundară și cele două triunghiuri paralele cu ea.

Cele două reguli produc exact aceleași șase produse — nu sunt metode diferite, ci două desene pentru aceeași definiție. De aceea una o verifică pe cealaltă, iar dubla verificare este cea mai ieftină asigurare împotriva greșelilor de semn.

Avertismentul care valorează puncte: nici Sarrus, nici regula triunghiului nu se aplică la ordinul $4$ . Acolo definiția cere $4! = 24$ de produse, iar orice schemă cu diagonale produce doar $8$ . La ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare.

Scurtături de recunoscut din privire: multe zerouri, matrice triunghiulară (determinantul e produsul diagonalei principale), linii proporționale sau o linie nulă (determinantul e $0$ ).

De reținut

Sarrus se aplică NUMAI la ordinul $3$
Trei produse „coborâtoare” cu plus, trei „urcătoare” cu minus
$det A = det^{t} A$ , deci merge și pe coloane

Greșeala tipică

Schema cu diagonale prelungite se folosește și la ordinul $4$ , prin analogie. Definiția cere acolo $24$ de termeni, nu $8$ , deci numărul obținut nu are nicio legătură cu valoarea căutată.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $205 - 1 42 31 - 2$ ?
- a) $- 85$
- b) $43$
- c) $85$
- d) $- 43$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 85$

Produsele care se adună: $2 \cdot 4 \cdot (- 2) = - 16$ , $(- 1) \cdot 1 \cdot 5 = - 5$ , $3 \cdot 0 \cdot 2 = 0$ , cu suma $- 21$ . Produsele care se scad: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ , $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ , $(- 1) \cdot 0 \cdot (- 2) = 0$ , cu suma $64$ . Deci determinantul este $- 21 - 64 = - 85$ . Varianta b) apare când cele două sume se adună în loc să se scadă.
Care dintre afirmațiile despre regula lui Sarrus este adevărată?
- a) se aplică la orice ordin, copiind sub tablou primele $n - 1$ linii
- b) la ordinul $4$ produce toate cele $24$ de produse cerute de definiție
- c) se aplică exclusiv la ordinul $3$ ; la ordinul $4$ un desen cu diagonale ar da doar $8$ produse din cele $24$ necesare
- d) dă alte șase produse decât regula triunghiului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) se aplică exclusiv la ordinul $3$ ; la ordinul $4$ un desen cu diagonale ar da doar $8$ produse din cele $24$ necesare

Argumentul este de numărare: determinantul de ordin $4$ are $4! = 24$ de termeni, iar orice schemă cu diagonale produce doar $8$ — patru într-un sens și patru în celălalt. Lipsesc șaisprezece produse, deci rezultatul nu are cum să fie corect. Varianta d) este falsă: cele două reguli dau exact aceeași listă de șase produse, tocmai de aceea una o verifică pe cealaltă.
Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $2 m 1 m 21 111 = 0$ .
- a) $m \in {1, 2}$
- b) $m \in {0, 2}$
- c) $m \in {- 2, 0}$
- d) $m \in {2, 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m \in {0, 2}$

Produsele care se adună: $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ , $m \cdot 1 \cdot 1 = m$ , $1 \cdot m \cdot 1 = m$ , cu suma $2 m + 4$ . Produsele care se scad: $1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ , $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ , $m \cdot m \cdot 1 = m^{2}$ , cu suma $m^{2} + 4$ . Deci determinantul este $2 m - m^{2} = m (2 - m)$ , nul pentru $m = 0$ și $m = 2$ . Pentru $m = 2$ primele două linii devin identice — determinant nul, vizibil fără calcul.

Întrebări conexe

Câți termeni are un determinant de ordinul 3?

Are șase termeni, câte unul pentru fiecare mod de a alege un element din fiecare linie fără să repeți coloana. Trei dintre ei intră cu plus, trei cu minus, iar regula lui Sarrus îi produce pe toți, în ordine.

Ce semne au termenii în regula lui Sarrus?

Produsele paralele cu diagonala principală intră cu semnul plus, cele paralele cu diagonala secundară cu semnul minus. Inversarea acestei convenții schimbă rezultatul în opusul lui, iar greșeala trece adesea neobservată la exerciții cu numere simetrice.

Se poate aplica Sarrus copiind coloanele în loc de linii?

Da, rezultatul este același, fiindcă determinantul nu se schimbă la transpunere. Unii preferă varianta cu coloane scrise în dreapta; important este ca cele șase produse să fie luate consecvent, într-un singur sens pentru plus și în celălalt pentru minus.

Cum verific rezultatul unui determinant de ordinul 3?

Îl recalculezi prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri și compari. Un al doilea control rapid: dacă două linii ies proporționale, valoarea trebuie să fie zero, iar orice altceva arată o greșeală de aritmetică.

Ce determinant are matricea unitate de ordinul 3?

Are valoarea $1$ : singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală, format din trei factori egali cu $1$ . Toate celelalte cinci produse trec printr-un zero, deci se anulează.

Cum calculez mai repede un determinant de ordinul 3 cu multe zerouri?

Nu mai aplici cele șase produse, ci dezvolți după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Rămâne un singur determinant de ordinul $2$ , deci calculul se scurtează la o diferență de două produse.

Oamenii mai întreabă și: regula lui Sarrus · determinant 3x3 cu Sarrus · cum se calculează un determinant de ordinul trei · regula triunghiului la determinanți