Ce semn are termenul $$a_{12}a_{24}a_{31}a_{45}a_{53}$$ în dezvoltarea unui determinant de ordinul al cincilea?

produsul nu este termen al determinantului

semnul depinde de valorile elementelor

Câți termeni are dezvoltarea unui determinant de ordinul al șaselea și câți dintre ei au semnul minus?

$$720$$ termeni, dintre care $$360$$ cu minus

$$36$$ termeni, dintre care $$18$$ cu minus

$$720$$ termeni, toți cu minus

$$120$$ termeni, dintre care $$60$$ cu minus

Cum se definește determinantul cu permutări?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinantul de ordin n, cu permutări

Se ia câte un element din fiecare linie, fără a repeta vreo coloană; alegerea este descrisă de o permutare $σ$ a coloanelor. Fiecare astfel de produs primește semnul permutării, iar determinantul este suma tuturor: $det A = \sum_{σ \in S_{n}} ε (σ) a_{1 σ (1)} \dots a_{nσ (n)}$ . La ordinul $2$ ies două produse, la ordinul $3$ ies șase, adică exact cele date de Sarrus.

Rețetele de la ordinul $2$ și $3$ nu spun ce este un determinant. Definiția generală o spune, și e una singură, pentru orice ordin:

$det A = σ \in S_{n} \sum ε (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)} .$

Ideea din spate: iei câte un element din fiecare linie, fără să iei de două ori din aceeași coloană. Condiția aceasta spune exact că funcția care asociază liniei $i$ coloana $σ (i)$ este bijectivă, adică $σ \in S_{n}$ . Suma are deci $n!$ termeni, iar fiecare intră cu semnul $ε (σ)$ : plus dacă permutarea e pară, minus dacă e impară.

Din definiție ies, ca simple cazuri particulare, formula $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ (minusul vine din faptul că permutarea care schimbă coloanele este impară) și cei șase termeni ai regulii lui Sarrus — de aceea Sarrus nu se poate extinde la ordinul $4$ , unde ar da $8$ termeni în loc de $24$ .

Definiția răspunde direct la o cerință de Bacalaureat M1: este acest produs un termen al determinantului și cu ce semn? Verifici că indicii de linie sunt $1, 2, \dots, n$ , fiecare o dată; verifici că indicii de coloană formează o permutare (dacă o coloană apare de două ori, produsul nu este termen); apoi numeri inversiunile și aplici $ε (σ) = (- 1)^{m (σ)}$ .

Un câștig imediat: pentru o matrice triunghiulară sau diagonală, singurul termen posibil nenul este cel al permutării identice, deci $det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$ ; în particular $det I_{n} = 1$ și $det O_{n} = 0$ . Definiția este sursa adevărului, nu metoda de calcul.

De reținut

$det A = \sum_{σ \in S_{n}} ε (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)}$
$n!$ termeni: $2$ la ordinul $2$ , $6$ la ordinul $3$ , $24$ la ordinul $4$
Semnul unui termen = semnul permutării coloanelor

Greșeala tipică

Se crede că regula lui Sarrus se prelungește la ordinul $4$ , cu opt produse. Definiția cere $24$ de termeni la ordinul $4$ , iar orice schemă cu diagonale prelungite pierde cei mai mulți dintre ei.

Exerciții din această mini-lecție

Ce semn are termenul $a_{12} a_{24} a_{31} a_{45} a_{53}$ în dezvoltarea unui determinant de ordinul al cincilea?
- a) semnul minus
- b) semnul plus
- c) produsul nu este termen al determinantului
- d) semnul depinde de valorile elementelor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) semnul plus

Indicii de linie sunt $1, 2, 3, 4, 5$ , iar cei de coloană formează șirul $2, 4, 1, 5, 3$ — o permutare validă. Numărăm inversiunile: $2$ îl are pe $1$ (una), $4$ îi are pe $1$ și $3$ (două), $5$ îl are pe $3$ (una), deci $m (σ) = 4$ și $ε (σ) = (- 1)^{4} = + 1$ . Semnul unui termen nu depinde niciodată de valorile elementelor, ci doar de permutarea coloanelor.
Câți termeni are dezvoltarea unui determinant de ordinul al șaselea și câți dintre ei au semnul minus?
- a) $36$ termeni, dintre care $18$ cu minus
- b) $720$ termeni, toți cu minus
- c) $120$ termeni, dintre care $60$ cu minus
- d) $720$ termeni, dintre care $360$ cu minus
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $720$ termeni, dintre care $360$ cu minus

Numărul termenilor este $card S_{6} = 6! = 720$ , câte unul pentru fiecare permutare de grad $6$ . Jumătate dintre permutări sunt pare și jumătate impare, deci $\frac{720}{2} = 360$ de termeni au semnul minus. Varianta a) confundă $n!$ cu $n^{2}$ , iar varianta c) răspunde pentru ordinul al cincilea.
Care dintre produsele următoare nu este termen al determinantului de ordinul al patrulea?
- a) $a_{14} a_{23} a_{32} a_{41}$
- b) $a_{12} a_{21} a_{34} a_{43}$
- c) $a_{13} a_{21} a_{33} a_{42}$
- d) $a_{11} a_{24} a_{32} a_{43}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a_{13} a_{21} a_{33} a_{42}$

La varianta c) indicii de coloană sunt $3, 1, 3, 2$ : coloana a treia apare de două ori, iar coloana a patra nu apare deloc, deci regula „câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană” este încălcată. La celelalte trei, indicii de coloană sunt $(4, 3, 2, 1)$ , $(2, 1, 4, 3)$ și $(1, 4, 2, 3)$ — permutări valabile.

Întrebări conexe

De ce nu se calculează determinanții mari după definiție?

Fiindcă numărul termenilor crește ca factorialul: la ordinul $5$ sunt $120$ , la ordinul $10$ ajung la $3628800$ . Definiția rămâne temeiul teoretic, dar calculul efectiv se face prin transformări și dezvoltări, care taie enorm din muncă.

Ce termeni are un determinant de ordinul 2 după definiție?

Doar doi: permutarea identică dă $a_{11} a_{22}$ cu semnul plus, iar transpoziția dă $a_{12} a_{21}$ cu semnul minus. Scăderea lor este chiar formula $a d - b c$ , deci regula memorată la ordinul $2$ este definiția scrisă pe scurt.

Ce înseamnă că fiecare termen ia un element din fiecare linie?

Că într-un produs nu apar niciodată două elemente de pe aceeași linie și nici de pe aceeași coloană. Condiția este exact ceea ce transformă alegerea într-o permutare, iar de aici vine legătura dintre determinanți și mulțimea $S_{n}$ .

Cum se scrie definiția determinantului cu simbolul sumei?

Sub sumă se pune $σ \in S_{n}$ , iar termenul general este produsul elementelor $a_{iσ (i)}$ , înmulțit cu $ε (σ)$ . Scrierea aceasta compactă ține loc de toate cele $n!$ produse, oricât de mare ar fi ordinul.

Ce determinant are matricea nulă de ordinul n?

Are valoarea zero, fiindcă orice produs din definiție conține numai factori nuli. Reciproca nu este adevărată: o matrice poate avea determinantul zero fără să aibă vreun element nul, cum se întâmplă la liniile proporționale.

Ce se schimbă dacă definesc determinantul pe coloane, nu pe linii?

Nu se schimbă nimic: cele două scrieri dau aceeași valoare, ceea ce se vede prin egalitatea dintre o matrice și transpusa ei. De aceea orice proprietate demonstrată pe linii se poate folosi și pe coloane.

Oamenii mai întreabă și: definiția determinantului cu permutări · determinant de ordin n formula · suma după permutări la determinanți · cum se definește determinantul unei matrice