Care dintre afirmațiile următoare este falsă?

dacă $$AB = O_n$$, atunci $$A = O_n$$ sau $$B = O_n$$

$$\det(AB) = \det(BA)$$, chiar dacă $$AB \ne BA$$

$$\det\big(A \cdot {}^{t}A\big) = \big(\det A\big)^{2}$$

$$\det\big(A^{k}\big) = \big(\det A\big)^{k}$$, pentru orice $$k \in \mathbb{N}^{*}$$

Cum aflu determinantul lui A ori B?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinantul produsului a două matrice

Determinantul unui produs este produsul determinanților: $det (A B) = det A \cdot det B$ , pentru matrice pătratice de același ordin. Dacă $det A = 3$ și $det B = - 2$ , atunci $det (A B) = - 6$ , fără să calculezi produsul. De aici ies imediat $det (A^{n}) = (det A)^{n}$ și faptul că $det (A B) = det (B A)$ chiar când cele două produse sunt matrice diferite.

Înmulțirea matricelor este capricioasă, dar determinantul se poartă perfect față de ea.

Teoremă. Pentru orice $A, B \in M_{n} (C)$ , $det (A \cdot B) = det A \cdot det B$ . Enunțul nu cere nicio condiție și e valabil la orice ordin. Demonstrația folosește notația $det (B_{1}, \dots, B_{n})$ pentru determinantul matricei cu liniile $B_{1}, \dots, B_{n}$ : liniile produsului sunt combinații ale liniilor lui $B$ , liniaritatea (Proprietatea 4 din lecția de proprietăți (I)) desface suma, termenii cu linii repetate se anulează, iar schimbările de linii aduc exact semnele $ε (σ)$ .

Consecințele sunt cele care se cer la Bacalaureat M1:

$det (A^{k}) = (det A)^{k}$ — afli determinantul unei puteri fără a ridica matricea la putere;
$det (α A) = α^{n} det A$ , unde $n$ este ordinul matricei, pentru că scalarul se scoate din fiecare dintre cele $n$ linii; în particular $det (- A) = (- 1)^{n} det A$ ;
$det (A B) = det (B A)$ , chiar dacă $A B \neq = B A$ ;
$det (A \cdot^{t} A) = (det A)^{2}$ , deci pentru matrice reale acest determinant nu poate fi negativ;
dacă $A B = O_{n}$ , atunci $det A \cdot det B = 0$ — dar nu rezultă că vreuna dintre matrice ar fi nulă.

Două capcane, ambele frecvente. Prima: $det (A + B)$ nu are nicio formulă în funcție de $det A$ și $det B$ ( $A = B = I_{2}$ dau $4$ față de $2$ ). A doua: în $det (α A^{k}) = α^{n} (det A)^{k}$ , exponentul lui $α$ este ordinul, iar exponentul lui $det A$ este puterea — două numere diferite.

De reținut

$det (A B) = det A \cdot det B$ ; deci $det (A^{n}) = (det A)^{n}$
$det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ , cu $det A \neq = 0$
$det (A B) = det (B A)$ chiar dacă $A B \neq = B A$

Greșeala tipică

Regula se extinde greșit la adunare, scriindu-se că determinantul sumei ar fi suma determinanților. Pentru $I_{2}$ și $- I_{2}$ partea stângă dă zero, iar cea dreaptă dă doi, deci egalitatea cade din primul exemplu.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A, B \in M_{3} (R)$ cu $det A = - 2$ și $det B = 5$ . Cât este $det (2 A^{2} B)$ ?
- a) $160$
- b) $- 160$
- c) $40$
- d) $- 40$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $160$

Descompunem pas cu pas: $det (2 A^{2} B) = 2^{3} \cdot (det A)^{2} \cdot det B = 8 \cdot 4 \cdot 5 = 160$ . Exponentul lui $2$ este ordinul matricei, adică $3$ ; exponentul lui $det A$ este puterea, adică $2$ . Varianta c) apare când scalarul este scos o singură dată, adică din confuzia $det (α A) = α det A$ .
Care dintre afirmațiile următoare este falsă?
- a) $det (A B) = det (B A)$ , chiar dacă $A B \neq = B A$
- b) $det (A \cdot^{t} A) = (det A)^{2}$
- c) dacă $A B = O_{n}$ , atunci $A = O_{n}$ sau $B = O_{n}$
- d) $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ , pentru orice $k \in N^{*}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) dacă $A B = O_{n}$ , atunci $A = O_{n}$ sau $B = O_{n}$

Din $A B = O_{n}$ rezultă doar $det A \cdot det B = 0$ , adică cel puțin unul dintre determinanți este nul. Contraexemplu: $A = (11 - 1 - 1)$ și $B = (1111)$ au produsul $O_{2}$ , deși niciuna nu este matricea nulă. Celelalte trei afirmații sunt adevărate.
Fie $A \in M_{4} (R)$ cu $det A = - 3$ . Cât este $det (- 2 A)$ ?
- a) $48$
- b) $- 48$
- c) $6$
- d) $- 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 48$

Ordinul fiind $4$ , scalarul $- 2$ se scoate din fiecare dintre cele patru linii: $det (- 2 A) = (- 2)^{4} det A = 16 \cdot (- 3) = - 48$ . Variantele c) și d) provin din scoaterea scalarului o singură dată. Reține și cazul particular: $det (- A) = (- 1)^{n} det A$ , deci la ordin par semnul nu se schimbă.

Întrebări conexe

Ce determinant are inversa unei matrice?

Este inversul numărului: $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ . Rezultatul iese din $A \cdot A^{- 1} = I_{n}$ , unde partea dreaptă are determinantul $1$ . Se vede și de ce inversa cere $det A \neq = 0$ : altfel ar trebui împărțit la zero.

Cum arăt că determinantul unui produs de trei matrice se desface?

Grupezi primii doi factori, aplici regula o dată, apoi încă o dată pentru perechea rămasă. Se obține $det (A B C) = det A \cdot det B \cdot det C$ , iar procedeul se repetă la fel pentru oricâți factori, fiindcă înmulțirea matricelor este asociativă.

Ce se întâmplă cu determinantul la transpunerea produsului?

Valoarea rămâne neatinsă. Deși ordinea factorilor se inversează, fiindcă $^{t} (A B) =^{t} B \cdot^{t} A$ , fiecare transpusă își păstrează determinantul, iar produsul a două numere nu ține cont de ordine. Așadar rezultatul este tot $det A \cdot det B$ .

Cât este determinantul produsului dintre o matrice și transpusa ei?

Este pătratul determinantului: $det (A \cdot^{t} A) = (det A)^{2}$ . Fiind un pătrat, valoarea nu poate fi negativă, ceea ce se folosește uneori ca să se arate că o anumită matrice nu poate exista.

Ce determinant are produsul a două matrice singulare?

Tot zero, fiindcă produsul a doi factori nuli este nul. Mai mult, e destul ca unul singur dintre factori să aibă determinantul zero pentru ca produsul să nu fie inversabil.

Cum folosesc regula produsului ca să aflu un determinant necunoscut?

Dacă enunțul dă o relație de tipul $A B = C$ și cunoști doi dintre cei trei determinanți, îl scoți pe al treilea dintr-o simplă împărțire. Metoda evită complet calculul elementelor matricei necunoscute.

Oamenii mai întreabă și: determinantul produsului a două matrice · det de A ori B · determinantul unei puteri de matrice · teorema produsului la determinanți