Asimptotele unei hiperbole sunt dreptele $$y = \pm\dfrac{5}{2}x$$. Ce se poate afirma despre hiperbolă?

există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote

este unic determinată: $$\dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{y^{2}}{25} = 1$$

există exact două astfel de hiperbole

nu există nicio hiperbolă cu aceste asimptote

Câte necunoscute are ecuația unei conice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Determinarea conicelor din condiții

Depinde de tip: cercul are trei, adică $m$ , $n$ și $p$ din forma generală; elipsa și hiperbola au câte două, semiaxele; iar la parabola scrisă canonic și la hiperbola echilateră rămâne una singură. Numărarea aceasta este primul pas, fiindcă o problemă e bine pusă numai când condițiile independente din enunț sunt tot atâtea câte necunoscute există.

A determina o conică din condiții date înseamnă a afla necunoscutele ecuației ei, iar primul pas este numărarea lor: cercul are trei ( $m$ , $n$ , $p$ în ecuația generală $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ ), elipsa și hiperbola câte două (semiaxele $a$ și $b$ ), iar parabola $y^{2} = 2 p x$ și hiperbola echilateră $x y = k$ câte una singură. Problema este bine pusă când numărul condițiilor independente este egal cu numărul necunoscutelor.

La cerc, condițiile uzuale devin ecuații liniare în $m$ , $n$ , $p$ — apartenența unui punct sau poziția centrului pe o dreaptă — iar sistemul $3 \times 3$ se rezolvă cu formulele lui Cramer; tangența la o dreaptă se scrie $d (C, d) = r$ . La elipsă, apartenența a două puncte devine sistem liniar $2 \times 2$ după linearizarea $u = \frac{1}{a ^{2}}$ , $v = \frac{1}{b ^{2}}$ . Asimptotele hiperbolei aduc o singură condiție, $\frac{b}{a} = k$ , deci trebuie completate cu un vârf, un focar sau un punct al curbei. La parabolă, focarul stă la $\frac{p}{2}$ de vârf, iar directoarea la aceeași distanță de partea cealaltă.

Ultimul pas nu este opțional: substitui fiecare dată din enunț în ecuația obținută și controlezi condițiile de existență — $m^{2} + n^{2} - p > 0$ la cerc, $a > b > 0$ la elipsă, $p > 0$ la parabolă.

De reținut

trei necunoscute la cerc, două la elipsă și la hiperbolă, una la parabola canonică
elipsa prin două puncte: se notează $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$
tangența cercului la o dreaptă: $d (C, d) = r$

Greșeala tipică

Se pornesc calculele fără a număra întâi condițiile. Se ajunge la un sistem nedeterminat sau contradictoriu, iar timpul se pierde; numărătoarea spune din prima dacă problema are o soluție, o infinitate sau niciuna.

Exerciții din această mini-lecție

Asimptotele unei hiperbole sunt dreptele $y = \pm \frac{5}{2} x$ . Ce se poate afirma despre hiperbolă?
- a) este unic determinată: $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{25} = 1$
- b) există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote
- c) există exact două astfel de hiperbole
- d) nu există nicio hiperbolă cu aceste asimptote
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote

Asimptotele fixează numai raportul $\frac{b}{a} = \frac{5}{2}$ , adică o singură condiție, în timp ce hiperbola are două necunoscute. Toate perechile $(a, b) = (2 t, 5 t)$ cu $t > 0$ dau aceleași asimptote, deci soluțiile sunt o infinitate; varianta $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{25} = 1$ este doar una dintre ele, cea cu $t = 1$ .
Parabola cu vârful în origine, cu axa $O x$ și cu focarul $F (17, 0)$ are ecuația:
- a) $y^{2} = 34 x$
- b) $y^{2} = 17 x$
- c) $x^{2} = 68 y$
- d) $y^{2} = 68 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y^{2} = 68 x$

Focarul parabolei $y^{2} = 2 p x$ este $F (\frac{p}{2}, 0)$ , deci $\frac{p}{2} = 17$ și $p = 34$ , adică $y^{2} = 68 x$ . Varianta $y^{2} = 34 x$ vine din greșeala clasică „focarul stă la distanța $p$ de vârf”, iar $x^{2} = 68 y$ ar avea axa $O y$ , nu $O x$ .
Cercul cu centrul $C (1, 1)$ , tangent dreptei $3 x + 4 y + 13 = 0$ , are raza:
- a) $4$
- b) $20$
- c) $16$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Condiția de tangență este $d (C, d) = r$ , iar $d (C, d) = \frac{∣ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 13 ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{20}{5} = 4$ . Valoarea $20$ apare când se uită împărțirea la $a^{2} + b^{2}$ , iar $16$ este $r^{2}$ , nu raza.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că o problemă de conice este bine pusă?

Că numărul condițiilor independente se potrivește cu numărul necunoscutelor. Mai puține condiții lasă o infinitate de curbe, mai multe pot duce la o cerință contradictorie, iar răspunsul trebuie să spună limpede care dintre situații a apărut.

Ce schimbare de necunoscute liniarizează condițiile la elipsă?

Notațiile $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$ . Cu ele, condiția ca un punct să se afle pe curbă devine liniară în $u$ și $v$ , deci două puncte dau un sistem simplu de două ecuații. La final se întorc valorile prin $a = \frac{1}{u}$ .

Câte condiții aduc asimptotele unei hiperbole?

Una singură, fiindcă ele fixează doar raportul dintre semiaxe. Mai trebuie deci o informație în plus, fie un vârf, fie un focar, fie coordonatele unui punct de pe curbă, ca amândouă necunoscutele să iasă determinate.

Ce condiții de existență se verifică la final?

La cerc, ca $m^{2} + n^{2} - p$ să fie strict pozitiv, altfel nu iese o curbă. La elipsă, ca semiaxele să fie pozitive și în ordinea cerută de convenție. La parabolă, ca parametrul să fie strict pozitiv. Pasul acesta nu este opțional.

Ce condiție scriu dacă centrul cercului stă pe o dreaptă dată?

Coordonatele centrului verifică ecuația dreptei, deci obții o relație liniară între ele. Este cea mai comodă condiție dintre toate, fiindcă nu ridică nimic la pătrat și scade numărul necunoscutelor de la trei la două. Se adaugă apoi celelalte cerințe ale problemei.

Ce înseamnă literele a, b și p la fiecare conică?

La cerc, perechea $(a, b)$ dă centrul, iar $p$ este termenul liber. La celelalte două conice cu centru, cele două litere numesc semiaxele, în timp ce la parabolă $p$ înseamnă parametrul. Înțelesul se scrie explicit înainte de calcul, ca să nu se amestece.

Oamenii mai întreabă și: determinarea unei conice din condiții · cercul prin trei puncte · elipsa prin două puncte · hiperbola din asimptote · câte condiții determină o conică