Ce este complementul algebric al unui element?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Dezvoltarea după o linie sau o coloană

Complementul algebric al elementului de pe linia $i$ și coloana $j$ este minorul lui, adică determinantul rămas după ștergerea acelei linii și acelei coloane, înmulțit cu $(- 1)^{i + j}$ . Notat $A_{ij}$ , el diferă de minor doar prin semn. La poziția $(2, 1)$ semnul iese $- 1$ , deci $A_{21} = - M_{21}$ . Cu ajutorul lui, determinantul se scrie ca sumă de produse dintre elementele unei linii și complemenții lor.

Definiția cu permutări cere $n!$ termeni. Dezvoltarea după o linie coboară ordinul cu o unitate: un determinant de ordin $4$ devine o combinație de determinanți de ordin $3$ , pe care îi știi calcula.

Minorul elementului $a_{ij}$ , notat $Δ_{ij}$ , este determinantul de ordin $n - 1$ obținut din $A$ prin eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$ . Indicii minorului sunt indicii elementului, nu ai matricei rămase, iar în minor nu apare niciun număr de pe linia $i$ sau de pe coloana $j$ .

Complementul algebric (sau cofactorul) este minorul înmulțit cu semnul poziției: $δ_{ij} = (- 1)^{i + j} Δ_{ij}$ . Semnul se citește dintr-o tablă de șah care începe cu $+$ în colțul din stânga sus: $+$ când $i + j$ este par, $-$ când este impar.

Teorema de dezvoltare. Cu $i$ fixat, $det A = j = 1 \sum n a_{ij} δ_{ij}$ ; cu $j$ fixat, $det A = i = 1 \sum n a_{ij} δ_{ij}$ . Toate cele $2 n$ dezvoltări dau același număr — că merge și pe coloane vine din $det (^{t} A) = det A$ .

Strategia este simplă: alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, pentru că fiecare zero șterge din calcul un determinant întreg de ordin $n - 1$ . De aici și regula pentru matricele triunghiulare: determinantul lor este produsul elementelor de pe diagonala principală, deci $det I_{n} = 1$ .

Ultimul rezultat al lecției pregătește inversa: elementele unei linii înmulțite cu complemenții altei linii dau întotdeauna $0$ , pentru că suma obținută este dezvoltarea unui determinant cu două linii identice.

De reținut

$A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ : minorul cu semnul poziției
$det A = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in}$
Dezvoltarea după o linie străină dă $0$ , nu $det A$

Greșeala tipică

Se folosește minorul în locul complementului algebric, deci se uită factorul de semn. La pozițiile cu suma indicilor impară rezultatul iese cu semn schimbat, iar eroarea nu se vede până la verificare.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $A = 43 - 1 - 2 52 106$ , cât este complementul algebric $δ_{23}$ ?
- a) $6$
- b) $- 6$
- c) $26$
- d) $- 26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 6$

Tăiem linia $2$ și coloana $3$ : $Δ_{23} = 4 - 1 - 2 2 = 8 - 2 = 6$ . Semnul poziției este $(- 1)^{2 + 3} = - 1$ , deci $δ_{23} = - 6$ . Varianta a) este minorul, lăsat fără semn — greșeala cea mai frecventă; variantele c) și d) provin din tăierea liniei și coloanei $3$ , adică din calculul lui $Δ_{33}$ .
La dezvoltarea unui determinant de ordinul al patrulea după linia a treia, șirul semnelor care însoțesc minorii este:
- a) $-, +, -, +$
- b) $+, +, -, -$
- c) $-, -, +, +$
- d) $+, -, +, -$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $+, -, +, -$

Semnul poziției $(3, j)$ este $(- 1)^{3 + j}$ : pentru $j = 1, 2, 3, 4$ se obține $(- 1)^{4} = +$ , $(- 1)^{5} = -$ , $(- 1)^{6} = +$ , $(- 1)^{7} = -$ . Linia a treia fiind impară, șirul începe cu $+$ , la fel ca pe linia întâi. Varianta a) este șirul liniilor pare.
Cât este $3 - 1 26 00701403 251 - 2$ ?
- a) $665$
- b) $- 665$
- c) $0$
- d) $- 95$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $665$

Coloana a doua are un singur element nenul, $a_{32} = 7$ , deci dezvoltarea după ea are un singur termen: $7 δ_{32}$ . Tăind linia $3$ și coloana $2$ rămâne $Δ_{32} = 3 - 1 6 143 25 - 2 = - 95$ (cu regula lui Sarrus, permisă aici pentru că minorul are ordinul $3$ ). Semnul poziției $(3, 2)$ este $(- 1)^{5} = - 1$ , deci $δ_{32} = 95$ și rezultatul este $7 \cdot 95 = 665$ . Varianta b) apare când se uită semnul poziției.

Întrebări conexe

Cum se aleg semnele plus și minus la dezvoltare?

După tabla de șah: colțul din stânga sus poartă plus, iar semnele alternează pe fiecare pas orizontal sau vertical. Formal, semnul poziției $(i, j)$ este $(- 1)^{i + j}$ , deci pozițiile cu suma indicilor pară primesc plus.

Câți determinanți de ordin mai mic apar la o dezvoltare?

Câte unul pentru fiecare element al liniei alese, deci $n$ determinanți de ordinul $n - 1$ . Elementele nule nu cer niciun calcul, fiindcă produsul lor cu complementul respectiv se anulează oricum.

Cum calculez un determinant de ordinul 3 prin dezvoltare?

Alegi o linie, iar apoi fiecare element al ei se înmulțește cu complementul algebric din poziția lui; cele trei produse se adună. Cum orice complement este aici un determinant de ordinul $2$ , calculul se reduce la trei diferențe de produse.

Ce iese dacă dezvolt după o linie de zerouri?

Iese zero, fiindcă toate produsele au un factor nul. Este demonstrația cea mai scurtă a faptului că o linie plină de zerouri anulează determinantul, indiferent de restul tabloului.

Ce este matricea complemenților algebrici?

Tabloul în care fiecare element este înlocuit cu complementul lui algebric, păstrând poziția. Transpusa acestui tablou se numește matrice adjunctă și intră direct în formula inversei.

Se poate dezvolta și după o coloană?

Da, procedeul și semnele sunt aceleași, iar rezultatul coincide. Alegerea între linie și coloană se face după unde stau mai multe zerouri, fiindcă fiecare zero șterge un determinant de calculat.

Oamenii mai întreabă și: complement algebric · diferența dintre minor și complement algebric · dezvoltarea unui determinant după o linie · cofactor la determinanți