Piciorul perpendicularei duse din $$M(3, 5)$$ pe dreapta $$h: x - 2y + 4 = 0$$ are coordonatele:

$$\left(\dfrac{18}{5},\ \dfrac{19}{5}\right)$$

$$\left(\dfrac{12}{5},\ \dfrac{31}{5}\right)$$

$$\left(\dfrac{21}{5},\ \dfrac{13}{5}\right)$$

Cât de departe este un punct de o dreaptă?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Distanța de la un punct la o dreaptă

Exact atât cât măsoară segmentul dus perpendicular din punct pe dreaptă, iar valoarea se citește din formula $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ , cu dreapta scrisă sub formă generală. Pentru punctul $(1, 2)$ și dreapta $3 x + 4 y - 5 = 0$ iese $\frac{∣3 + 8 - 5∣}{5} = \frac{6}{5}$ . Orice alt drum de la punct la dreaptă este mai lung decât perpendiculara.

De la un punct la o dreaptă se pot duce o infinitate de segmente; distanța este cel mai scurt dintre ele, iar minimul se atinge exact în piciorul perpendicularei. Demonstrația e o singură aplicare a teoremei lui Pitagora: pentru orice alt punct $Q$ al dreptei, triunghiul $M_{0} N Q$ este dreptunghic în $N$ , deci $M_{0} Q > M_{0} N$ . Consecința practică: distanța se măsoară pe perpendiculară, nu „pe verticală”.

Formula, pentru $h : a x + b y + c = 0$ și $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ , este $d (M_{0}, h) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ . Numărătorul măsoară cât de mult nu verifică punctul ecuația, iar numitorul traduce această abatere în unitățile axelor. Dreapta se aduce întâi la forma generală, cu toți termenii în membrul stâng — coeficienții nu se citesc din forma explicită.

Demonstrația dă și piciorul perpendicularei: $N (x_{0} - ak, y_{0} - bk)$ , unde $k = \frac{a x _{0} + b y _{0} + c}{a ^{2} + b ^{2}}$ , iar distanța este $∣ k ∣ a^{2} + b^{2}$ . Toate cazurile speciale intră în aceeași formulă: verticala $x = a$ dă $∣ x_{0} - a ∣$ , orizontala $y = b$ dă $∣ y_{0} - b ∣$ , originea dă $\frac{∣ c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ , iar un punct de pe dreaptă dă $0$ .

Distanța dintre două drepte paralele este distanța de la un punct oarecare al uneia la cealaltă; forma scurtă $\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ cere ca $a$ și $b$ să fie identici în ambele ecuații. Iar înălțimea din $C$ a triunghiului $A B C$ este chiar $d (C, A B)$ .

De reținut

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ , cu dreapta în formă generală
Ecuația trebuie adusă întâi la forma cu zero în dreapta
$d = 0 ⟺$ punctul aparține dreptei

Greșeala tipică

Se aplică formula pe o ecuație scrisă ca $y = m x + n$ , luând coeficienții de acolo. Dreapta trebuie adusă întâi la forma cu toți termenii în stânga, altfel numărătorul și numitorul se calculează cu numere greșite.

Exerciții din această mini-lecție

Distanța de la punctul $M (- 2, 5)$ la dreapta $h : 3 x - 4 y + 1 = 0$ este egală cu:
- a) $\frac{25}{7}$
- b) $- 5$
- c) $25$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Numărătorul este $∣ 3 \cdot (- 2) - 4 \cdot 5 + 1 ∣ = ∣ - 25 ∣ = 25$ , iar numitorul $9 + 16 = 5$ , deci $d = 5$ . Varianta $\frac{25}{7}$ apare dacă la numitor se scrie $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ în loc de $a^{2} + b^{2}$ , iar $- 5$ dacă se uită modulul — o distanță nu poate fi negativă.
Distanța de la punctul $P (1, 3)$ la dreapta $y = 2 x + 4$ este egală cu:
- a) $\frac{3 5}{5}$
- b) $3$
- c) $\frac{3}{5}$
- d) $\frac{9 5}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3 5}{5}$

Aducem dreapta la forma generală: $2 x - y + 4 = 0$ . Atunci $d = \frac{∣ 2 - 3 + 4 ∣}{4 + 1} = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5}$ . Varianta $\frac{9 5}{5}$ apare dacă se iau coeficienții direct din forma explicită, iar $3$ este distanța măsurată pe verticală — mai mare decât cea reală.
Piciorul perpendicularei duse din $M (3, 5)$ pe dreapta $h : x - 2 y + 4 = 0$ are coordonatele:
- a) $(\frac{12}{5}, \frac{31}{5})$
- b) $(\frac{18}{5}, \frac{19}{5})$
- c) $(3, \frac{7}{2})$
- d) $(\frac{21}{5}, \frac{13}{5})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(\frac{18}{5}, \frac{19}{5})$

Cu $k = \frac{3 - 10 + 4}{1 + 4} = - \frac{3}{5}$ , piciorul este $N (x_{0} - ak, y_{0} - bk) = (3 + \frac{3}{5}, 5 - \frac{6}{5}) = (\frac{18}{5}, \frac{19}{5})$ . Verificare: $\frac{18}{5} - \frac{38}{5} + 4 = 0$ ✓. Varianta a treia se obține coborând vertical din $M$ pe dreaptă, iar ultima este simetricul lui $M$ față de $h$ .

Întrebări conexe

Ce se pune la numitorul formulei distanței?

Rădăcina pătrată din suma pătratelor coeficienților necunoscutelor, adică $a^{2} + b^{2}$ . Termenul liber nu intră acolo, iar uitarea radicalului este greșeala care apare cel mai des la această formulă.

Cât este distanța de la origine la o dreaptă?

Se pun coordonatele nule în formulă și rămâne $\frac{∣ c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ . De aici se vede imediat că o dreaptă trece prin origine exact atunci când termenul ei liber este zero.

De ce apare modulul la numărător?

Fiindcă expresia $a x_{0} + b y_{0} + c$ își schimbă semnul după partea în care se află punctul față de dreaptă, iar o distanță nu poate fi negativă. Semnul rămâne totuși util când se cere de care parte stă punctul.

Ce ecuație are dreapta aflată la distanță dată de un punct?

Se scrie condiția ca distanța să aibă valoarea cerută și se rezolvă ecuația cu modul. Ies de obicei două drepte, așezate simetric de o parte și de alta a punctului, ceea ce explică dubla soluție.

Cum verific rezultatul unei distanțe calculate?

Afli piciorul perpendicularei și calculezi lungimea segmentului dintre el și punct. Valorile trebuie să coincidă; un al doilea control rapid este că distanța iese zero exact când punctul se află pe dreaptă.

Ce distanță are față de o dreaptă un punct de pe ea?

Este zero, fiindcă înlocuind coordonatele lui în ecuație se obține chiar zero la numărător. Formula devine astfel și un test de apartenență, nu doar o măsurătoare.

Oamenii mai întreabă și: formula distanței de la un punct la o dreaptă · distanța punct-dreaptă · modul de ax0 plus by0 plus c supra radical · cât de departe e un punct de o dreaptă · cum aflu distanța de la un punct la o dreaptă