Care dintre următoarele este o rafinare a diviziunii $$\Delta = (0, 2, 5)$$ a intervalului $$[0, 5]$$?

$$\left(0, \dfrac52, 5\right)$$

Ce este norma unei diviziuni?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Diviziuni, normă, puncte intermediare

Este lungimea celei mai lungi bucăți din tăiere, adică $∥ Δ ∥ = 1 \leq i \leq n max (x_{i} - x_{i - 1})$ . Ea măsoară printr-un singur număr cât de fină este tăierea. Nu este nici suma lungimilor, care face mereu $b - a$ , nici media lor, care ar ascunde tocmai bucata cea mai lungă. Pentru diviziunea cu bucăți egale norma este $\frac{b - a}{n}$ .

O diviziune a intervalului $[a, b]$ este un sistem finit de puncte $Δ = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ cu $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ . Ea are $n + 1$ puncte și $n$ intervale parțiale, iar suma lungimilor acestora este $b - a$ . Diviziunea echidistantă cu $n$ intervale are punctele $x_{i} = a + i \frac{b - a}{n}$ și pasul $\frac{b - a}{n}$ .

Norma diviziunii este cea mai mare dintre lungimile intervalelor parțiale, $∥ Δ ∥ = 1 \leq i \leq n max (x_{i} - x_{i - 1})$ ; ea măsoară finețea tăieturii printr-un singur număr. Nu este nici suma lungimilor (aceea este mereu $b - a$ ), nici media lor (aceea ascunde tocmai bucata problematică).

Are loc întotdeauna $∥ Δ ∥ \geq \frac{b - a}{n}$ , cu egalitate numai la diviziunea echidistantă. De aici morala: o normă mică cere multe bucăți, dar multe bucăți nu garantează o normă mică — se poate lăsa o bucată lungă nedivizată. O diviziune $Δ^{'}$ este rafinare a lui $Δ$ dacă îi conține toate punctele; o normă mai mică nu înseamnă rafinare.

Un sistem de puncte intermediare asociat lui $Δ$ este $ξ = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ cu $ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ pentru fiecare $i$ ; capetele sunt permise, iar alegerile standard sunt la stânga, la dreapta și la mijloc.

De reținut

$∥ Δ ∥ = max (x_{i} - x_{i - 1})$
$∥ Δ ∥ \geq \frac{b - a}{n}$
rafinare: conține toate punctele diviziunii date

Greșeala tipică

Se confundă norma cu numărul de bucăți. Norma este lungimea celei mai lungi bucăți, iar o diviziune cu multe puncte poate păstra o bucată lungă, deci o normă mare.

Exerciții din această mini-lecție

Norma diviziunii $Δ = (0, \frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}, 5)$ a intervalului $[0, 5]$ este:
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{5}{4}$
- c) $5$
- d) $\frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{3}{2}$

Lungimile intervalelor parțiale sunt $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{3}{2}$ și $\frac{3}{2}$ , iar norma este cea mai mare dintre ele, adică $\frac{3}{2}$ . Varianta $\frac{5}{4}$ este media lungimilor, varianta $5$ este suma lor, iar $\frac{1}{2}$ este cea mai mică lungime — niciuna nu este norma.
În diviziunea echidistantă cu $8$ intervale a intervalului $[2, 7]$ , punctul $x_{3}$ este:
- a) $\frac{31}{8}$
- b) $\frac{15}{8}$
- c) $\frac{9}{2}$
- d) $\frac{37}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{31}{8}$

Formula este $x_{i} = a + i \frac{b - a}{n}$ , deci $x_{3} = 2 + 3 \cdot \frac{5}{8} = \frac{31}{8}$ . Varianta $\frac{15}{8}$ uită capătul $a$ , varianta $\frac{9}{2} = x_{4}$ vine din numărarea punctelor de la $1$ , iar $\frac{37}{8}$ folosește $\frac{b}{n}$ în loc de $\frac{b - a}{n}$ .
Care dintre următoarele este o rafinare a diviziunii $Δ = (0, 2, 5)$ a intervalului $[0, 5]$ ?
- a) $(0, \frac{5}{2}, 5)$
- b) $(0, 1, 3, 4, 5)$
- c) $(0, 1, 2, 3, 5)$
- d) $(0, 1, 2, 3, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(0, 1, 2, 3, 5)$

Rafinarea cere includerea tuturor punctelor vechi, iar $(0, 1, 2, 3, 5)$ le conține pe $0$ , $2$ și $5$ . Varianta b) are norma mai mică, dar pierde punctul $2$ , deci nu este rafinare; varianta a) nu conține $2$ ; varianta d) nici măcar nu este diviziune a lui $[0, 5]$ , fiindcă nu se termină în $5$ .

Întrebări conexe

Câte intervale parțiale are o diviziune cu n plus 1 puncte?

Are $n$ intervale, fiindcă fiecare pereche de puncte vecine dă câte unul, iar punctele sunt numerotate de la $0$ la $n$ . Capetele intervalului intră obligatoriu în diviziune. Suma lungimilor celor $n$ bucăți este întotdeauna $b - a$ , oricum ar fi așezate punctele.

Ce inegalitate leagă norma de raportul b minus a, supra n?

Are loc $∥ Δ ∥ \geq \frac{b - a}{n}$ , cu egalitate numai la diviziunea cu bucăți egale. Explicația e simplă: dacă toate bucățile ar fi mai scurte decât media, suma lor nu ar mai ajunge la lungimea intervalului. De aici morala că multe puncte nu înseamnă automat normă mică.

Poate o diviziune cu multe puncte să aibă norma mare?

Da. Poți îngrămădi o mie de puncte lângă capătul din stânga și lăsa restul intervalului netăiat: numărul bucăților este mare, dar rămâne una lungă, iar norma este chiar lungimea ei. De aceea finețea tăierii se măsoară cu norma, nu cu numărul bucăților.

Se pot alege capetele ca puncte intermediare?

Da, fiecare punct intermediar se ia din intervalul închis corespunzător, deci capetele sunt permise. Se lucrează de obicei cu trei alegeri: capătul din stânga, mijlocul bucății sau celălalt capăt. O diviziune are o infinitate de sisteme de puncte intermediare.

Cum se scriu punctele unei diviziuni echidistante?

Cu formula $x_{i} = a + i \cdot \frac{b - a}{n}$ , pentru $i$ luat de la $0$ la $n$ . Pentru $i = 0$ iese capătul din stânga, iar pentru $i = n$ cel din dreapta, deci formula acoperă tot intervalul. Pasul rămâne constant pe toată tăierea.

Oamenii mai întreabă și: norma unei diviziuni · cum se calculează norma · diviziune echidistantă · puncte intermediare · ce este o diviziune a unui interval