Cum se calculează dobânda compusă?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Dobânda compusă

Câștigul fiecărui an intră în capital, așa că procentul din anul următor se calculează la suma nouă, mai mare; astfel, fiecare an înmulțește totalul cu același factor. Formula este $S = C \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , unde $C$ este capitalul de la început, $p$ procentul anual, iar $n$ numărul de ani. La $1000$ de lei cu $10%$ , după trei ani ai $1000 \cdot 1, 1^{3} = 1331$ de lei, cu $31$ mai mult decât la dobânda simplă.

La dobânda compusă, dobânda unui an se adaugă la capital, iar în anul următor procentul se calculează la suma nouă. Fiecare an înmulțește suma cu același factor, deci sumele formează o progresie geometrică.

Formula este $S = C \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , unde $C$ este capitalul inițial, $p$ procentul anual și $n$ numărul de ani. Rația progresiei este factorul $1 + \frac{p}{100}$ .

Un exemplu care arată diferența: $1000$ de lei cu $10%$ pe an, timp de $3$ ani. Compus: $1000 \cdot 1, 1^{3} = 1331$ de lei. Simplu: $1000 + 3 \cdot 100 = 1300$ de lei. Cei $31$ de lei în plus sunt «dobânda la dobândă».

Același model descrie o populație care crește cu $p %$ pe an, o cultură de bacterii care se dublează la fiecare oră sau o substanță radioactivă care se înjumătățește la fiecare perioadă — acolo rația este $q = \frac{1}{2}$ .

Pentru $p > 0$ și cel puțin doi ani, dobânda compusă bate mereu dobânda simplă, iar avantajul crește tot mai repede cu numărul anilor. Pe un singur an cele două dau exact același rezultat.

De reținut

$S = C (1 + \frac{p}{100})^{n}$
rația este $1 + \frac{p}{100}$ , nu procentul singur
la scădere cu $p %$ , rația devine $1 - \frac{p}{100}$

Greșeala tipică

Rația este luată egală cu $0, 05$ pentru un procent de $5%$ , iar capitalul de la care se pornește dispare din calcul. Factorul corect este $1, 05$ , fiindcă păstrează și suma deja avută.

Exerciții din această mini-lecție

O sumă de $2000$ de lei este depusă cu dobândă compusă de $10%$ pe an. Ce sumă va fi în cont după $2$ ani?
- a) $2400$ lei
- b) $2410$ lei
- c) $2420$ lei
- d) $2440$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2420$ lei

$2000 \cdot 1, 1^{2} = 2000 \cdot 1, 21 = 2420$ de lei. Pas cu pas: după primul an $2200$ , iar în al doilea an dobânda se calculează la $2200$ , deci este $220$ de lei. Cu dobândă simplă ar fi ieșit $2400$ .
Cu ce număr se înmulțește suma din cont, de la un an la altul, la o dobândă compusă de $7%$ pe an?
- a) $0, 07$
- b) $0, 93$
- c) $1, 07$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1, 07$

Suma veche rămâne întreagă și i se adaugă $7%$ , deci factorul este $1 + \frac{7}{100} = 1, 07$ . Numărul $0, 93$ ar corespunde unei scăderi cu $7%$ .
O cultură de bacterii se triplează la fiecare oră. Dacă la ora $8 : 00$ sunt $500$ de bacterii, câte sunt la ora $12 : 00$ ?
- a) $4500$
- b) $13500$
- c) $40500$
- d) $121500$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $40500$

De la $8 : 00$ la $12 : 00$ trec $4$ ore, deci se triplează de $4$ ori: $500 \cdot 3^{4} = 500 \cdot 81 = 40500$ . Cine numără $3$ ore obține $13500$ , iar cine numără $5$ ore obține $121500$ .

Întrebări conexe

Cât ajung 2000 de lei cu 8% compus, în doi ani?

Se înmulțește de două ori cu $1, 08$ : $2000 \cdot 1, 0 8^{2} = 2000 \cdot 1, 1664 = 2332, 8$ lei. La dobândă simplă ar fi ieșit $2320$ de lei, deci diferența este de $12, 8$ lei după numai doi ani.

De ce diferența față de dobânda simplă crește cu anii?

Pentru că la cea compusă baza de calcul se mărește în fiecare an, iar dobânda deja primită începe și ea să producă. Creșterea liniară adaugă mereu aceeași sumă, în timp ce creșterea geometrică adaugă tot mai mult, așa că distanța dintre ele se lărgește.

Cum aflu capitalul de la început dacă știu suma finală?

Împarți suma finală la factorul ridicat la numărul de ani. Din $1331$ de lei după trei ani cu $10%$ obții $\frac{1331}{1 , 1 ^{3}} = 1000$ de lei. Operația inversă înmulțirii repetate este împărțirea repetată, la același factor.

Ce înseamnă că o populație scade cu 3% pe an?

Că numărul de locuitori se înmulțește în fiecare an cu $0, 97$ , deci formează o progresie geometrică descrescătoare. Dintr-un oraș cu $50000$ de locuitori rămân după zece ani aproximativ $36900$ . Scăderea nu este liniară: în primii ani se pierd mai mulți oameni decât mai târziu.

Ce se schimbă dacă dobânda se calculează lunar, nu anual?

Factorul se aplică de douăsprezece ori pe an, cu un procent lunar mai mic. Aceeași dobândă nominală aduce astfel puțin mai mult decât la calculul anual, fiindcă dobânda începe să producă mai devreme. Numărul de perioade și procentul pe perioadă trebuie potrivite între ele.

De ce se spune că este o dobândă la dobândă?

Fiindcă suma câștigată într-un an intră în capital și, din anul următor, produce la rândul ei dobândă. La $1000$ de lei cu $10%$ , în al doilea an se calculează $10%$ din $1100$ , nu din $1000$ , deci apar $110$ lei în loc de $100$ .

Oamenii mai întreabă și: formula dobânzii compuse · dobândă compusă exemplu · dobândă la dobândă · creșterea unei populații cu procent fix · progresie geometrică la probleme cu bani