Dobânda compusă și dinamica populației

Doi frați primesc, în aceeași zi, câte $2000$ de lei de la bunici și îi duc la două bănci diferite. Amândouă oferă $5%$ pe an. La prima bancă, dobânda se calculează mereu la suma inițială și se strânge într-un cont separat, fără să mai producă ea însăși dobândă. La a doua bancă, dobânda rămâne în cont și, din anul următor, produce și ea dobândă. După cinci ani, frații își compară conturile: primul are $2500$ de lei, al doilea are $2552, 56$ lei. Diferența pare mică — vreo cincizeci de lei. După treizeci de ani, însă, diferența devine uriașă, iar mecanismul care o produce e una dintre cele mai importante idei practice pe care le înveți la matematică.

Diferența are un nume: dobândă simplă în primul caz, dobândă compusă în al doilea. Iar în spatele lor stau exact cele două tipuri de creștere pe care le-ai studiat până acum: creșterea cu un pas constant — progresia aritmetică — și creșterea cu un factor constant — progresia geometrică. Aceeași pereche de modele descrie și cum crește populația unui oraș, cum se răspândește un zvon, cât mai valorează o mașină după câțiva ani sau cum se topește puterea de cumpărare a banilor din cauza inflației. În lecția aceasta punem la lucru progresia geometrică pe teren real, cu bani și cu oameni.

Ce vei învăța

Vei ști să deosebești dobânda simplă de dobânda compusă și să explici de ce prima duce la o progresie aritmetică, iar a doua la o progresie geometrică.
Vei ști să folosești formula capitalului după $n$ ani, $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , și să identifici rația progresiei dintr-un procent dat.
Vei ști să compari numeric cele două tipuri de creștere și să arăți de la ce moment creșterea procentuală o depășește pe cea liniară.
Vei ști să calculezi timpul de dublare al unui capital sau al unei populații și să folosești „regula lui 70" ca estimare rapidă.
Vei ști să modelezi scăderi repetate — deprecierea unui bun, o populație în declin, inflația — cu o progresie geometrică de rație subunitară.
Vei ști să transpui un enunț din viața reală în limbaj de progresii și să interpretezi rezultatul înapoi, în lei sau în locuitori.

Hai să descoperim împreună

1. Dobânda simplă: se adaugă mereu aceeași sumă

Să spunem că depui un capital inițial $C_{0}$ cu o dobândă de $p %$ pe an, simplă. Asta înseamnă că dobânda se calculează în fiecare an la suma depusă inițial, nu la cât ai în cont. În fiecare an ți se adaugă exact aceeași sumă:

$d = C_{0} \cdot \frac{p}{100} .$

Pentru $C_{0} = 2000$ lei și $p = 5$ , dobânda anuală este $d = 2000 \cdot 0, 05 = 100$ lei. Sumele din cont, an de an, sunt $2000, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, \dots$ — recunoști imediat o progresie aritmetică cu primul termen $2000$ și rația $100$ . Termenul general se scrie direct:

$C_{n} = C_{0} + n \cdot C_{0} \cdot \frac{p}{100} = C_{0} (1 + \frac{n p}{100}) .$

Acesta este modelul studiat în lecția Progresii aritmetice: dobânda simplă și costuri. Creșterea e liniară: graficul punctelor $(n, C_{n})$ este format din puncte așezate pe o dreaptă.

2. Dobânda compusă: se înmulțește mereu cu același factor

La dobânda compusă, dobânda rămâne în cont și, începând cu anul următor, produce ea însăși dobândă — de aici expresia „dobândă la dobândă". La sfârșitul primului an ai capitalul plus $5%$ din el:

$C_{1} = C_{0} + C_{0} \cdot 0, 05 = C_{0} (1 + 0, 05) = C_{0} \cdot 1, 05.$

La sfârșitul celui de-al doilea an se repetă exact aceeași operație, dar pornind de la $C_{1}$ :

$C_{2} = C_{1} \cdot 1, 05 = C_{0} \cdot 1, 0 5^{2} .$

Mișcarea-cheie: trecerea de la un an la următorul se face printr-o înmulțire cu același număr. Or, aceasta este chiar definiția progresiei geometrice pe care ai învățat-o în lecția Progresia geometrică și rația. Șirul capitalurilor $C_{0}, C_{1}, C_{2}, \dots$ este o progresie geometrică cu primul termen $C_{0}$ și rația

$q = 1 + \frac{p}{100} .$

Aplicând formula termenului general al unei progresii geometrice, obținem formula dobânzii compuse:

$C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

Atenție la un detaliu de indexare: aici numerotăm de la $C_{0}$ , capitalul inițial, deci exponentul este chiar $n$ , numărul de ani. Dacă ai nota primul termen cu $C_{1}$ , ca în lecția Termenul general al progresiei geometrice, ai avea $C_{n} = C_{1} q^{n - 1}$ — aceeași progresie, doar numerotată altfel.

3. Cele două creșteri, față în față

Punem cifrele alături pentru $C_{0} = 2000$ lei și $p = 5%$ pe an (sumele sunt rotunjite la bani, adică la două zecimale):

Anul $n$	Dobândă simplă	Dobândă compusă
1	$2100$	$2100, 00$
2	$2200$	$2205, 00$
3	$2300$	$2315, 25$
5	$2500$	$2552, 56$
10	$3000$	$3257, 79$

După un an sunt egale — firesc, în primul an nu există încă „dobândă la dobândă". Apoi diferența crește încet, dar crește tot mai repede: $5$ lei după doi ani, $52, 56$ lei după cinci, $257, 79$ lei după zece. Explicația e simplă: la dobânda simplă câștigi în fiecare an tot $100$ de lei, pe când la cea compusă câștigi $100$ , apoi $105$ , apoi $110, 25$ , apoi $115, 76$ — dobânzile anuale formează ele însele o progresie geometrică, cu aceeași rație $1, 05$ .

De aici morala financiară pe care o vei auzi toată viața: pentru sume mici și termene scurte, diferența e neglijabilă; pentru termene lungi, dobânda compusă este de neînvins. Un depozit lăsat în pace $30$ de ani la $5%$ ajunge la $2000 \cdot 1, 0 5^{30} \approx 8644$ lei, în timp ce dobânda simplă ar da doar $5000$ de lei.

4. Cât durează dublarea

O întrebare naturală: după câți ani se dublează capitalul? Trebuie să găsim cel mai mic număr natural $n$ pentru care

$C_{0} \cdot 1, 0 5^{n} \geq 2 C_{0}, adic \overset{a}{˘} 1, 0 5^{n} \geq 2.$

Observă că $C_{0}$ se simplifică: timpul de dublare nu depinde de cât ai depus, ci doar de procent. Calculăm puterile: $1, 0 5^{13} \approx 1, 886$ , $1, 0 5^{14} \approx 1, 980$ , $1, 0 5^{15} \approx 2, 079$ . Așadar $n = 15$ ani.

În practică se folosește o estimare rapidă, regula lui 70: la o creștere de $p %$ pe perioadă, dublarea durează aproximativ $\frac{70}{p}$ perioade. Pentru $p = 5$ ea dă $70 : 5 = 14$ ani — aproape de valoarea exactă $15$ , dar nu egală cu ea. Reține deci: regula lui 70 este o aproximare utilă pentru estimări din cap, nu un răspuns de examen. La un exercițiu se cere valoarea exactă, obținută prin calculul puterilor.

5. Dinamica populației: aceeași formulă, alte unități

Populația unui oraș care crește cu $2%$ pe an urmează exact același model, pentru că mecanismul e identic: sporul dintr-un an se calculează raportat la populația de la începutul acelui an, nu la populația inițială. Dacă $P_{0}$ este populația de acum, atunci

$P_{n} = P_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n} .$

Pentru un sat cu $P_{0} = 8000$ de locuitori și $p = 2$ : după $10$ ani, $P_{10} = 8000 \cdot 1, 0 2^{10} \approx 9752$ de locuitori. Observă că am rotunjit la un număr întreg — oamenii nu se numără cu zecimale. Modelul rămâne o aproximare: el presupune o rată constantă, ceea ce în realitate nu se întâmplă niciodată exact, dar descrie surprinzător de bine intervale de câțiva ani.

Același model apare peste tot unde o mărime crește proporțional cu ea însăși: numărul de bacterii dintr-o cultură (care se dublează la interval fix), numărul de persoane care au aflat un zvon, numărul de utilizatori ai unei aplicații în faza de lansare. În toate cazurile, întrebarea de pus este: „sporul se calculează la valoarea inițială sau la valoarea curentă?" — dacă răspunsul e „la cea curentă", modelul este o progresie geometrică.

6. Când rația este subunitară: deprecierea și inflația

Nu toate progresiile geometrice cresc. Dacă o mărime scade cu $p %$ pe perioadă, factorul de trecere este

$q = 1 - \frac{p}{100} < 1,$

iar valorile scad, apropiindu-se tot mai mult de zero, fără să-l atingă vreodată.

Exemplu: o mașină cumpărată cu $20000$ de lei își pierde $20%$ din valoare în fiecare an. Atunci $q = 0, 8$ și valorile sunt $16000$ , $12800$ , $10240$ , $8192$ lei după unu, doi, trei, respectiv patru ani. Observă că mașina nu ajunge la zero după cinci ani, cum ar sugera un raționament greșit („ $5 \times 20% = 100%$ "): la fiecare pas se pierde $20%$ din valoarea rămasă, care e tot mai mică. Această capcană a scăderilor repetate e discutată pe larg în lecția Creștere și descreștere procentuală repetată.

Tot cu rație subunitară se măsoară și efectul inflației asupra banilor. Dacă prețurile cresc cu $5%$ pe an, o sumă de $1000$ de lei ținută „la saltea" va cumpăra peste $10$ ani cât cumpără astăzi $\frac{1000}{1 , 0 5 ^{10}} \approx 614$ lei. De aceea o dobândă anuală trebuie comparată întotdeauna cu rata inflației: dacă banca îți dă $4%$ , iar inflația e $5%$ , capitalul tău crește în lei, dar scade în putere de cumpărare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Simplă sau compusă, pe trei ani

Un capital de $3000$ de lei este depus cu $5%$ pe an. Calculați suma din cont după $3$ ani, în cazul dobânzii simple și în cazul dobânzii compuse.

Rezolvare. Dobândă simplă: dobânda anuală este $3000 \cdot 0, 05 = 150$ lei, aceeași în fiecare an, deci după trei ani avem $3000 + 3 \cdot 150 = 3450$ lei.

Dobândă compusă: rația este $q = 1, 05$ , deci

$C_{3} = 3000 \cdot 1, 0 5^{3} = 3000 \cdot 1, 157625 = 3472, 875 \approx 3472, 88 lei .$

Diferența în favoarea dobânzii compuse este de $22, 88$ lei — mică, pentru că termenul e scurt.

Exemplul 2 — Determinarea procentului

Un capital de $1000$ de lei, depus cu dobândă compusă, ajunge după $3$ ani la $1331$ de lei. Care este procentul anual?

Rezolvare. Din formula dobânzii compuse: $1000 \cdot q^{3} = 1331$ , deci $q^{3} = 1, 331$ . Cum $1, 1^{3} = 1, 331$ , obținem $q = 1, 1$ , adică

$1 + \frac{p}{100} = 1, 1 ⟹ p = 10.$

Procentul anual este de $10%$ . Verificare rapidă: $1000 \to 1100 \to 1210 \to 1331$ . ✓

Exemplul 3 — Populația unui sat în declin

Un sat are $4000$ de locuitori, iar populația scade cu $3%$ pe an. Câți locuitori va avea peste $5$ ani?

Rezolvare. Factorul de trecere este $q = 1 - 0, 03 = 0, 97$ , iar

$P_{5} = 4000 \cdot 0, 9 7^{5} \approx 4000 \cdot 0, 858734 \approx 3434, 94,$

adică aproximativ $3435$ de locuitori. Reține interpretarea: satul pierde în cinci ani cam $565$ de oameni, dar nu $5 \cdot 120 = 600$ , cât ar da o scădere calculată mereu la populația inițială.

Exemplul 4 — Dobânzile formează ele însele o progresie

Arătați că, la dobânda compusă cu procentul $p$ , dobânzile obținute în anii consecutivi formează o progresie geometrică de rație $q = 1 + \frac{p}{100}$ .

Rezolvare. Dobânda din anul $n$ este diferența dintre capitalul de la sfârșitul și cel de la începutul anului:

$D_{n} = C_{n} - C_{n - 1} = C_{0} q^{n} - C_{0} q^{n - 1} = C_{0} q^{n - 1} (q - 1) .$

Raportul a două dobânzi consecutive este atunci

$\frac{D _{n + 1}}{D _{n}} = \frac{C _{0} q ^{n} ( q - 1 )}{C _{0} q ^{n - 1} ( q - 1 )} = q,$

constant, deci $(D_{n})$ este o progresie geometrică de rație $q$ . Numeric, pentru $2000$ de lei la $5%$ : $100$ ; $105$ ; $110, 25$ ; $115, 76$ ; $121, 55$ — fiecare este precedenta înmulțită cu $1, 05$ .

Exemplul 5 — După câți ani depășim un prag

Un capital de $2000$ de lei este depus cu dobândă compusă de $5%$ pe an. După câți ani întregi depășește pentru prima dată $2500$ de lei?

Rezolvare. Căutăm cel mai mic $n$ natural cu $2000 \cdot 1, 0 5^{n} > 2500$ , adică $1, 0 5^{n} > 1, 25$ . Calculăm succesiv: $1, 0 5^{4} \approx 1, 2155$ (deci $2431, 01$ lei, insuficient), $1, 0 5^{5} \approx 1, 2763$ (deci $2552, 56$ lei). Prima depășire are loc după $5$ ani.

Metoda de lucru merită reținută: la astfel de cerințe nu rezolvi o ecuație, ci încerci valori consecutive ale lui $n$ până treci pragul, apoi arăți că valoarea precedentă nu-l atinge. Ambele verificări trebuie scrise.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Un capital de $10000$ de lei este depus la bancă cu dobândă compusă de $10%$ pe an. a) Determinați suma din cont după $2$ ani. b) Determinați numărul minim de ani după care suma din cont depășește $15000$ de lei.

Rezolvare. Notăm cu $C_{n}$ suma din cont după $n$ ani; șirul $(C_{n})$ este o progresie geometrică cu $C_{0} = 10000$ și rația $q = 1 + \frac{10}{100} = 1, 1$ , deci $C_{n} = 10000 \cdot 1, 1^{n}$ .

a) $C_{2} = 10000 \cdot 1, 1^{2} = 10000 \cdot 1, 21 = 12100$ lei.

b) Condiția $10000 \cdot 1, 1^{n} > 15000$ revine la $1, 1^{n} > 1, 5$ . Calculăm termenii progresiei:

$C_{3} = 13310; C_{4} = 14641; C_{5} = 16105, 10.$

Cum $C_{4} = 14641 < 15000$ , iar $C_{5} = 16105, 10 > 15000$ , numărul minim de ani este $n = 5$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La problemele cu bani, scrie întâi rația $q$ , apoi formula $C_{n} = C_{0} q^{n}$ și abia la final înlocuiește cifrele; rotunjește sumele la bani (două zecimale) doar în răspunsul final.

1. Scrie rația progresiei geometrice a capitalului pentru fiecare procent anual: $3%$ , $7, 5%$ , $12%$ , $0, 5%$ .

2. Un capital de $1000$ de lei este depus cu $10%$ pe an. Calculează suma din cont după $1$ , $2$ și $3$ ani, în cazul dobânzii simple și în cazul celei compuse.

3. Calculează suma din cont după $4$ ani pentru un capital de $2000$ de lei depus cu dobândă compusă de $5%$ pe an.

4. Un capital de $5000$ de lei se depune pe $3$ ani cu $4%$ pe an. Cu cât este mai mare suma finală la dobândă compusă față de dobânda simplă?

5. Un capital depus cu dobândă compusă crește de la $8000$ la $9680$ de lei în doi ani. Determină procentul anual.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La dobânda compusă, suma câștigată ca dobândă este aceeași în fiecare an."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un preț crește cu $10%$ și apoi scade cu $10%$ , revine exact la valoarea inițială."

8. Populația unui oraș este de $8000$ de locuitori și crește cu $2%$ pe an. Câți locuitori va avea peste $10$ ani (rotunjit la unități)?

9. O mașină cumpărată cu $20000$ de lei se depreciază cu $20%$ pe an. Care este valoarea ei după $4$ ani și după câți ani întregi coboară sub $10000$ de lei?

10. O cultură de bacterii pornește de la $500$ de indivizi, iar numărul lor se dublează la fiecare $20$ de minute. Câte bacterii sunt după $3$ ore?

11. (Problemă aplicată.) Două oferte pentru aceiași $1000$ de lei: oferta A adaugă $200$ de lei în fiecare an, oferta B înmulțește suma cu $1, 15$ în fiecare an. Completează un tabel cu primii $7$ ani și precizează din ce an oferta B devine mai bună.

12. Determină numărul minim de ani după care un capital depus cu $6%$ pe an se dublează. Compară rezultatul cu estimarea dată de regula lui 70.

13. Populația unui sat scade cu $3%$ pe an. Dacă acum are $4000$ de locuitori, câți va avea peste $5$ ani?

14. Inflația este de $5%$ pe an. Ce sumă de astăzi are, peste $10$ ani, aceeași putere de cumpărare pe care o au acum $1000$ de lei ținuți în sertar?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Un capital de $10000$ de lei este depus cu dobândă compusă de $10%$ pe an. a) Calculați suma din cont după $3$ ani. b) Determinați numărul minim de ani după care suma depășește $17000$ de lei.

16. O bancă oferă $10%$ pe an, dar cu capitalizare semestrială: la fiecare șase luni se adaugă $5%$ la suma existentă. Ce sumă are după un an un depozit de $1000$ de lei? Compar-o cu capitalizarea anuală.

17. Un capital $C_{0}$ este depus cu dobândă compusă de $p %$ pe an. Arată că raportul $\frac{C _{n + 1}}{C _{n}}$ nu depinde de $n$ și explică ce înseamnă acest lucru în cuvinte.

18. (Provocare.) La sfârșitul fiecărui an, timp de $5$ ani, depui câte $1000$ de lei într-un cont cu dobândă compusă de $10%$ pe an (prima depunere lucrează $4$ ani, ultima nu apucă să producă dobândă). Ce sumă ai în cont imediat după ultima depunere?

Răspunsuri și explicații

1. $q = 1, 03$ ; $q = 1, 075$ ; $q = 1, 12$ ; $q = 1, 005$ . În general $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; atenție la $7, 5%$ , unde $q = 1 + 0, 075$ , nu $1, 75$ .

2. Simplă: dobânda anuală este $100$ de lei, deci $1100$ , $1200$ , $1300$ lei. Compusă: $1000 \cdot 1, 1 = 1100$ ; $1000 \cdot 1, 1^{2} = 1210$ ; $1000 \cdot 1, 1^{3} = 1331$ lei. După primul an sumele coincid, apoi cea compusă o ia înainte.

3. $C_{4} = 2000 \cdot 1, 0 5^{4} = 2000 \cdot 1, 21550625 = 2431, 0125 \approx 2431, 01$ lei.

4. Compusă: $5000 \cdot 1, 0 4^{3} = 5624, 32$ lei. Simplă: $5000 + 3 \cdot 200 = 5600$ lei. Diferența este de $24, 32$ lei în favoarea dobânzii compuse.

5. $8000 \cdot q^{2} = 9680 \Rightarrow q^{2} = 1, 21 \Rightarrow q = 1, 1$ (luăm rădăcina pozitivă, capitalul fiind pozitiv), deci $p = 10%$ . Verificare: $8000 \to 8800 \to 9680$ . ✓

6. Fals. Aceeași sumă se adaugă anual doar la dobânda simplă. La cea compusă, dobânzile cresc de la an la an, formând ele însele o progresie geometrică de rație $q$ (Exemplul 4): pentru $2000$ de lei la $5%$ ele sunt $100$ ; $105$ ; $110, 25$ ; …

7. Fals. Factorul total este $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ , deci prețul ajunge la $99%$ din cel inițial: un preț de $100$ de lei devine $110$ , apoi $99$ de lei. Cele două procente se aplică unor baze diferite, de aceea nu se anulează.

8. $P_{10} = 8000 \cdot 1, 0 2^{10} \approx 8000 \cdot 1, 218994 \approx 9751, 96$ , adică aproximativ $9752$ de locuitori.

9. $q = 0, 8$ ; valorile sunt $16000$ ; $12800$ ; $10240$ ; $8192$ lei. După $4$ ani mașina valorează $8192$ de lei, iar pragul de $10000$ este coborât prima dată tot după $4$ ani (la $3$ ani avea încă $10240$ de lei).

10. Trei ore înseamnă $180 : 20 = 9$ intervale de dublare, deci $500 \cdot 2^{9} = 500 \cdot 512 = 256000$ de bacterii. Progresia are rația $q = 2$ .

11. A: $1200$ , $1400$ , $1600$ , $1800$ , $2000$ , $2200$ , $2400$ . B: $1150$ ; $1322, 50$ ; $1520, 88$ ; $1749, 01$ ; $2011, 36$ ; $2313, 06$ ; $2660, 02$ . Oferta B este mai slabă în primii patru ani, dar din anul al cincilea o depășește pe A și diferența crește apoi rapid — imaginea tipică a creșterii procentuale față de cea liniară.

12. Căutăm cel mai mic $n$ cu $1, 0 6^{n} \geq 2$ : $1, 0 6^{11} \approx 1, 898 < 2$ , iar $1, 0 6^{12} \approx 2, 012 > 2$ , deci $n = 12$ ani. Regula lui 70 estimează $70 : 6 \approx 11, 7$ ani — o aproximare bună, dar valoarea exactă se obține doar prin calculul puterilor.

13. $q = 0, 97$ și $P_{5} = 4000 \cdot 0, 9 7^{5} \approx 3434, 94$ , adică aproximativ $3435$ de locuitori (Exemplul 3).

14. Trebuie să găsim suma $S$ pentru care $S \cdot 1, 0 5^{10} = 1000$ , deci $S = \frac{1000}{1 , 0 5 ^{10}} \approx \frac{1000}{1 , 628895} \approx 613, 91$ lei. Cu alte cuvinte, banii ținuți în sertar pierd peste o treime din putere în zece ani.

15. a) $C_{3} = 10000 \cdot 1, 1^{3} = 13310$ lei. b) $C_{4} = 14641$ ; $C_{5} = 16105, 10$ ; $C_{6} = 17715, 61$ . Cum $C_{5} < 17000 < C_{6}$ , numărul minim de ani este $n = 6$ .

16. Un an are două semestre, deci $1000 \cdot 1, 0 5^{2} = 1102, 50$ lei, față de $1100$ de lei la capitalizarea anuală. Capitalizarea mai deasă înseamnă mai multe înmulțiri cu un factor mai mic, iar rezultatul este ușor mai mare — de aceea băncile precizează întotdeauna și frecvența capitalizării.

17. $\frac{C _{n + 1}}{C _{n}} = \frac{C _{0} q ^{n + 1}}{C _{0} q ^{n}} = q = 1 + \frac{p}{100}$ , independent de $n$ . În cuvinte: procentul de creștere de la un an la următorul este mereu același, indiferent de cât a ajuns capitalul — aceasta este definiția însăși a progresiei geometrice.

18. Prima depunere produce dobândă $4$ ani, deci devine $1000 \cdot 1, 1^{4} = 1464, 10$ lei; următoarele devin $1331$ ; $1210$ ; $1100$ ; iar ultima rămâne $1000$ de lei. Totalul este suma unei progresii geometrice cu $b_{1} = 1000$ , $q = 1, 1$ și $5$ termeni:

$S_{5} = 1000 \cdot \frac{1 , 1 ^{5} - 1}{1 , 1 - 1} = 1000 \cdot \frac{0 , 61051}{0 , 1} = 6105, 10 lei,$

folosind formula din lecția Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice. Ai depus $5000$ de lei și ai câștigat $1105, 10$ lei.

De reținut

Dobânda simplă se calculează mereu la capitalul inițial: capitalurile formează o progresie aritmetică, $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{n p}{100})$ , iar creșterea este liniară.
Dobânda compusă se calculează la capitalul curent: capitalurile formează o progresie geometrică de rație $q = 1 + \frac{p}{100}$ , iar $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .
Aceeași formulă descrie dinamica populației, înmulțirea bacteriilor sau creșterea unui număr de utilizatori: oriunde sporul se raportează la valoarea curentă, modelul este progresia geometrică.
Dacă mărimea scade cu $p %$ pe perioadă, rația este $q = 1 - \frac{p}{100} < 1$ ; valorile scad spre zero fără să-l atingă, iar scăderile repetate nu se adună procentual.
Timpul de dublare nu depinde de capitalul inițial, ci doar de procent; se determină exact încercând valori consecutive ale lui $n$ , iar regula lui 70 ( $n \approx 70 : p$ ) oferă doar o estimare rapidă.

Greșeli frecvente

Confundarea rației cu procentul. Pentru $p = 5%$ , rația este $q = 1, 05$ , nu $0, 05$ și nici $5$ . Factorul $0, 05$ dă doar dobânda, nu și capitalul păstrat.
Adunarea procentelor pe ani. „ $3$ ani cu $10%$ înseamnă $30%$ " este adevărat doar la dobânda simplă; la cea compusă factorul este $1, 1^{3} = 1, 331$ , adică o creștere de $33, 1%$ .
Compensarea greșită a creșterii cu scăderea. $+ 10%$ urmat de $- 10%$ dă $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ , deci o pierdere de $1%$ ; procentele se aplică unor baze diferite și nu se anulează.
Exponent greșit din cauza indexării. Dacă notezi capitalul inițial cu $C_{0}$ , formula este $C_{n} = C_{0} q^{n}$ ; dacă îl notezi cu $C_{1}$ , devine $C_{n} = C_{1} q^{n - 1}$ . Alege o notație și verifică pe primul an dacă formula dă răspunsul corect.
Rotunjirea prea devreme. Dacă rotunjești la fiecare an, erorile se acumulează; ține valoarea exactă în calcul și rotunjește o singură dată, la final. La populații, rotunjește la numere întregi și spune explicit că e o aproximare.

Aplică acasă

Contul tău imaginar. Caută pe site-urile a două bănci dobânda anuală pentru un depozit la termen. Calculează, pentru un capital de $5000$ de lei, ce sumă ai avea după $1$ , $3$ și $5$ ani la fiecare bancă, folosind formula dobânzii compuse. Compară apoi câștigul cu rata inflației anunțată de Institutul Național de Statistică — care ofertă îți păstrează puterea de cumpărare?
Prețurile din casă. Alege trei produse pe care familia le cumpără des și întreabă cât costau acum câțiva ani. Calculează creșterea procentuală medie anuală (adică rația $q$ pentru care prețul vechi înmulțit cu $q^{n}$ dă prețul de azi) și estimează, cu aceeași rație, prețul de peste trei ani.
Populația localității tale. Caută pe site-ul primăriei sau în datele recensământului populația localității la două recensăminte diferite. Determină rația anuală care leagă cele două valori, apoi prezice populația peste $10$ ani. Discută în familie de ce predicția poate să nu se adeverească — ce presupune, de fapt, modelul cu rație constantă?

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce progresia geometrică în contextul cel mai util din viața de adult: creșterea procentuală repetată. Elevul trebuie să ajungă să distingă instantaneu cele două întrebări — „sporul se calculează la valoarea inițială sau la cea curentă?" — pentru că răspunsul decide modelul: progresie aritmetică în primul caz, geometrică în al doilea. Conținutul răspunde direct notei din programă, care cere abordarea progresiilor în contexte practice: dobândă simplă, dobândă compusă, creșteri și scăderi procentuale.

Ce verifică lecția: scrierea corectă a rației din procent ( $q = 1 + p /100$ ), aplicarea formulei $C_{n} = C_{0} q^{n}$ cu exponentul potrivit indexării, determinarea procentului dintr-o creștere dată, rezolvarea cerințelor de tip „după câți ani depășește pragul" prin încercări succesive și interpretarea rezultatului în context. Întrebări bune de control: „De ce dobânda compusă depășește dobânda simplă abia din anul al doilea?"; „Ce înseamnă că rația e $0, 8$ ?"; „De ce o scădere de $20%$ pe an nu duce valoarea la zero în cinci ani?".

Semne că elevul a înțeles: transformă corect orice procent în rație, verifică singur primul termen înainte de a scrie formula generală, rotunjește doar la final și nu confundă creșterea totală cu suma procentelor anuale. La Bacalaureat, aceste probleme apar în subiectele cu progresii geometrice, formulate exact ca în Exemplul 6: un punct pentru termenul de rang dat, un punct pentru determinarea rangului minim care depășește un prag.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre dobânda simplă și dobânda compusă? La dobânda simplă, procentul se aplică mereu capitalului inițial, deci în fiecare an se adaugă aceeași sumă, iar capitalurile formează o progresie aritmetică. La dobânda compusă, procentul se aplică sumei existente în cont, deci dobânda produce la rândul ei dobândă, iar capitalurile formează o progresie geometrică.

Care este formula dobânzii compuse? Dacă $C_{0}$ este capitalul depus și $p$ procentul anual, atunci după $n$ ani capitalul este $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ . Numărul $q = 1 + \frac{p}{100}$ este rația progresiei geometrice formate de capitaluri.

Cum aflu rația progresiei dintr-un procent? Adaugi procentul la $1$ , exprimat zecimal: pentru o creștere de $p %$ ai $q = 1 + p /100$ , iar pentru o scădere de $p %$ ai $q = 1 - p /100$ . De exemplu, $+ 7%$ dă $q = 1, 07$ , iar $- 15%$ dă $q = 0, 85$ .

După câți ani se dublează un capital depus cu dobândă compusă? Se caută cel mai mic număr natural $n$ pentru care $q^{n} \geq 2$ , calculând puteri succesive; capitalul inițial nu contează, doar procentul. Pentru $5%$ răspunsul este $15$ ani. Regula lui 70 ( $n \approx 70 : p$ ) oferă o estimare rapidă, dar nu exactă.

De ce o creștere cu 10% urmată de o scădere cu 10% nu revine la valoarea inițială? Pentru că cele două procente se calculează la baze diferite: creșterea se aplică valorii inițiale, iar scăderea valorii deja mărite. Factorul total este $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ , deci rămâi cu $99%$ din suma de plecare.

Cum modelez creșterea unei populații cu progresii? Dacă populația crește cu un procent constant pe an, folosești $P_{n} = P_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ și rotunjești rezultatul la numere întregi. Modelul presupune o rată constantă, deci este o aproximare valabilă pe intervale scurte, de câțiva ani.

Ce se întâmplă când rația progresiei este mai mică decât 1? Mărimea scade la fiecare pas, apropiindu-se de zero fără să-l atingă vreodată. Așa se descriu deprecierea unui bun, o populație în declin sau pierderea puterii de cumpărare din cauza inflației.

Unde apare dobânda compusă la Bacalaureat? La subiectele cu progresii geometrice: se cere fie capitalul după un număr dat de ani, fie numărul minim de ani după care capitalul depășește un prag, fie procentul dedus dintr-o creștere cunoscută. Redactarea așteptată începe cu identificarea rației și a formulei termenului general.