Ecuația dreptei determinate de punctele $$A(-5, 2)$$ și $$B(-5, 9)$$ este:

dreapta nu are ecuație, pentru că nu are pantă

Cum aflu ecuația dreptei cu un determinant?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Dreapta prin două puncte

Scrii un determinant de ordinul $3$ cu punctul curent pe prima linie și cele două puncte date pe următoarele, fiecare linie completată cu un $1$ : $x x_{1} x_{2} y y_{1} y_{2} 111 = 0$ . Dezvoltând, iese o ecuație de gradul întâi în $x$ și $y$ . Pentru punctele $(1, 2)$ și $(3, 8)$ se obține $3 x - y - 1 = 0$ , adică $y = 3 x - 1$ .

Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una, deci din patru coordonate trebuie să iasă o ecuație. Există două rute. Ruta în doi pași: calculezi panta $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , apoi scrii $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ . Forma cu proporție comprimă cei doi pași într-o egalitate, $\frac{x - x _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y - y _{A}}{y _{B} - y _{A}}$ , dar are două puncte moarte: cere ambii numitori nenuli, deci cedează pe verticale și pe orizontale.

A doua rută, cerută explicit de programă, folosește un determinant de ordinul al treilea: punctul $M (x, y)$ aparține dreptei $A B$ dacă și numai dacă determinantul cu liniile $(x, y, 1)$ , $(x_{A}, y_{A}, 1)$ și $(x_{B}, y_{B}, 1)$ este nul. Coloana de $1$ nu este decor — fără ea, determinantul s-ar anula pentru orice dreaptă prin origine.

Dezvoltarea după prima linie dă direct coeficienții formei generale: $a = y_{A} - y_{B}$ , $b = x_{B} - x_{A}$ , $c = x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A}$ . Atenție la $b$ : minusul din dezvoltare inversează ordinea diferenței. Iar $(a, b) = (0, 0)$ se întâmplă exact când $A = B$ , caz exclus prin ipoteză.

Demonstrația că dreapta obținută este chiar $A B$ nu cere niciun calcul: pentru $M = A$ primele două linii devin identice, iar un determinant cu două linii identice este nul. Avantajul practic: formulele sunt polinomiale, fără numitori, deci verticalele și orizontalele ies fără caz special. Ultimul pas rămâne mereu același — substitui ambele puncte în ecuația obținută.

De reținut

$x x_{1} x_{2} y y_{1} y_{2} 111 = 0$
Merge și pentru drepte verticale, spre deosebire de formula cu panta
Rezultatul se simplifică prin factorul comun al coeficienților

Greșeala tipică

Se dezvoltă determinantul și se lasă coeficienții neîmpărțiți prin factorul lor comun. Ecuația este corectă și așa, dar forma cerută la examen este cea cu coeficienți întregi, fără divizor comun.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația generală a dreptei determinate de punctele $A (- 1, 6)$ și $B (3, - 2)$ este:
- a) $2 x - y + 8 = 0$
- b) $2 x - y - 4 = 0$
- c) $2 x + y - 4 = 0$
- d) $2 x + y + 4 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 x + y - 4 = 0$

Cu formulele din dezvoltarea determinantului: $a = 6 - (- 2) = 8$ , $b = 3 - (- 1) = 4$ , $c = (- 1) (- 2) - 3 \cdot 6 = - 16$ , deci $8 x + 4 y - 16 = 0$ , adică $2 x + y - 4 = 0$ . Verificare pe ambele puncte: $- 2 + 6 - 4 = 0$ ✓ și $6 - 2 - 4 = 0$ ✓. Prima variantă trece prin $A$ , dar nu și prin $B$ — de aceea se verifică amândouă.
În ecuația generală obținută prin dezvoltarea determinantului dreptei $A B$ , coeficientul lui $y$ este:
- a) $x_{A} - x_{B}$
- b) $y_{A} - y_{B}$
- c) $y_{B} - y_{A}$
- d) $x_{B} - x_{A}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x_{B} - x_{A}$

Dezvoltarea după prima linie dă $x (y_{A} - y_{B}) - y (x_{A} - x_{B}) + (x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A})$ . Minusul de la al doilea termen inversează diferența, deci $b = x_{B} - x_{A}$ . Coeficientul lui $x$ este, în schimb, $a = y_{A} - y_{B}$ — cu ordinea nerăsturnată.
Ecuația dreptei determinate de punctele $A (- 5, 2)$ și $B (- 5, 9)$ este:
- a) $x = - 5$
- b) $y = - 5$
- c) $x = 7$
- d) dreapta nu are ecuație, pentru că nu are pantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = - 5$

Determinantul dă $a = 2 - 9 = - 7$ , $b = - 5 - (- 5) = 0$ și $c = (- 5) \cdot 9 - (- 5) \cdot 2 = - 35$ , deci $- 7 x - 35 = 0$ , adică $x = - 5$ . Lipsa pantei nu înseamnă lipsa ecuației: dreapta este verticală, iar forma cu determinant o produce fără niciun caz special.

Întrebări conexe

Ce se scrie pe cele trei linii ale determinantului?

Pe prima, coordonatele punctului curent, notate cu litere; pe celelalte două, coordonatele punctelor date, cu numere. Ordinea celor două puncte poate fi schimbată: determinantul își schimbă semnul, dar ecuația rămâne aceeași.

Ce rol are coloana de unu din determinant?

Ea transformă condiția într-una de gradul întâi și face ca ecuația să acopere și dreptele care nu trec prin origine. Fără acea coloană, condiția ar descrie doar direcții, nu drepte așezate oriunde în plan.

Ce ecuație obțin pentru punctele de coordonate 1 și 2, respectiv 3 și 8?

Dezvoltând determinantul iese $6 x - 2 y - 2 = 0$ , care se simplifică prin $2$ și devine $3 x - y - 1 = 0$ , adică $y = 3 x - 1$ . Verificarea se face înlocuind pe rând cele două puncte date: fiecare dintre ele anulează partea stângă.

Se poate scrie determinantul cu punctul curent pe altă linie?

Da, mutarea unei linii schimbă cel mult semnul determinantului, iar o egalitate cu zero nu se schimbă la înmulțirea cu $- 1$ . Ecuația obținută descrie, așadar, aceeași dreaptă.

Ce avantaj are forma cu determinant față de formula cu pante?

Funcționează și când cele două puncte au aceeași abscisă, caz în care panta nu există. Atunci dezvoltarea dă direct o ecuație de tipul $x = x_{1}$ , fără să fie nevoie de un tratament separat.

Cum aflu ecuația unei laturi de triunghi din coordonate?

Iei vârfurile care o determină și aplici aceeași construcție. Metoda se folosește la înălțimi, mediane și mediatoare, unde primul pas este întotdeauna scrierea ecuației laturii de sprijin.

Oamenii mai întreabă și: ecuația dreptei prin două puncte · forma cu determinant a dreptei · determinant cu coloana de unu · dreapta determinată de două puncte date