Se consideră $$A=\left\{2-\dfrac{3}{n}\ \middle\vert\ n\in\mathbb{N}^{*}\right\}$$. Care afirmație este adevărată?

$$\sup A=2$$, iar $$\max A$$ nu există

Care e diferența dintre supremum și maxim?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Margini, dreapta reală încheiată, vecinătăți

Marginea superioară este cel mai mic majorant al mulțimii și există întotdeauna la o mulțime nevidă și mărginită superior; maximul este cel mai mare element, deci trebuie să aparțină mulțimii. La intervalul $(0, 1)$ marginea superioară este $1$ , dar maxim nu există, fiindcă $1$ nu face parte din mulțime. Când marginea superioară aparține mulțimii, cele două noțiuni coincid.

Dintre toți majoranții unei mulțimi nevide și majorate există unul cel mai mic: el se numește margine superioară și se notează $sup A$ . În practică se verifică prin două condiții: (i) $x \leq sup A$ pentru orice $x \in A$ ; (ii) pentru orice $ε > 0$ există în $A$ un element mai mare decât $sup A - ε$ . Analog, $in f A$ este cel mai mare minorant. Marginea nu este totuna cu maximul: $max A$ există doar când $sup A \in A$ — capătul închis dă maxim, capătul deschis dă doar margine.

Faptul că marginea superioară există întotdeauna este axioma lui Cantor (completitudinea lui $R$ ); $Q$ nu are această proprietate.

Pe dreapta reală încheiată $\overline{R} = R \cup {- \infty, + \infty}$ , cu $- \infty < x < + \infty$ , orice mulțime nevidă are margini: $sup A = + \infty$ dacă nu e majorată. Operațiile permise sunt doar cele din tabel ( $a + (+ \infty) = + \infty$ , $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ și celelalte), iar $\frac{a}{0}$ nu este operație. Cele șapte nedeterminări, în ordine, sunt $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ . În fine, $V$ este vecinătate a lui $x_{0}$ dacă există un interval deschis $(a, b)$ cu $x_{0} \in (a, b) \subseteq V$ ; vecinătățile lui $+ \infty$ conțin un interval $(a, + \infty]$ .

De reținut

$sup A$ = cel mai mic majorant; $max A$ = cel mai mare element al lui $A$
$sup A$ există mereu la mulțimi nevide, mărginite superior; $max A$ poate lipsi
Vecinătate a lui $x_{0}$ : orice mulțime care conține un interval $(x_{0} - ε, x_{0} + ε)$

Greșeala tipică

Se scrie un interval cu paranteză dreaptă la infinit, de tipul $[3, + \infty]$ . Infinitul nu este un număr, deci nu poate fi inclus; scrierea corectă păstrează paranteza rotundă de acea parte.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = {2 - \frac{3}{n} n \in N^{*}}$ . Care afirmație este adevărată?
- a) $in f A = 0$ și $sup A = 2$
- b) $sup A = 2$ și $max A = 2$
- c) $sup A = 2$ , iar $max A$ nu există
- d) $sup A = + \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $sup A = 2$ , iar $max A$ nu există

Din $0 < \frac{3}{n} \leq 3$ rezultă $- 1 \leq x < 2$ , deci $2$ este majorant. Este cel mai mic: pentru orice $ε > 0$ , condiția $\frac{3}{n} < ε$ se realizează pentru $n > \frac{3}{ε}$ . Cum $\frac{3}{n} > 0$ pentru orice $n$ , valoarea $2$ nu se atinge niciodată, deci maximul nu există. (Marginea inferioară este $- 1$ , atinsă la $n = 1$ .)
Care dintre expresiile următoare nu este caz de nedeterminare?
- a) $\frac{0}{+ \infty}$
- b) $0 \cdot (+ \infty)$
- c) $(+ \infty) - (+ \infty)$
- d) $1^{+ \infty}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{0}{+ \infty}$

Rândul $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ din tabelul operațiilor se aplică pentru orice $a \in R$ , deci și pentru $a = 0$ : rezultatul este $0$ . Celelalte trei sunt exact nedeterminările $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ și $1^{\infty}$ din lista canonică — expresii care trebuie prelucrate înainte de a primi o valoare.
Care dintre mulțimile următoare este vecinătate a punctului $- 2$ ?
- a) ${- 2}$
- b) $[- 2, 0)$
- c) $(- \infty, - 2]$
- d) $(- 5, - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(- 5, - 1)$

Trebuie ca $- 2$ să stea în interiorul mulțimii: intervalul deschis $(- 5, - 1)$ îl conține pe $- 2$ și e inclus în el însuși. În $[- 2, 0)$ și în $(- \infty, - 2]$ punctul $- 2$ stă pe margine, fără loc de o parte, iar o mulțime cu un singur element nu poate conține niciun interval deschis.

Întrebări conexe

Ce operații nu se pot face cu simbolul infinit?

Scăderea a două infinități de același semn, raportul lor, produsul dintre zero și infinit, precum și puterile de tip $1^{\infty}$ , $0^{0}$ și $\infty^{0}$ . Restul operațiilor au rezultat stabilit prin convenție.

Ce formă are o vecinătate simetrică a unui punct?

Este un interval de tipul $(x_{0} - ε, x_{0} + ε)$ , cu $ε > 0$ oricât de mic. Orice mulțime care cuprinde un astfel de interval este tot vecinătate, chiar dacă are formă mai complicată.

Cât este marginea inferioară a mulțimii numerelor de forma 1 supra n?

Este $0$ , deși nicio valoare a mulțimii nu ajunge acolo. Termenii coboară oricât de aproape de zero, deci niciun număr pozitiv nu poate fi minorant, iar minim nu există.

Ce margine superioară are o mulțime nemărginită?

Prin convenție, $+ \infty$ . Mulțimea numerelor naturale sau intervalul $(0, + \infty)$ nu au niciun majorant real, așa că marginea superioară se scrie cu simbolul, nu cu un număr. Tocmai pentru asemenea scrieri a fost adăugat capătul la dreapta numerelor.

Ce margini are intervalul deschis de la 0 la 1?

Marginea inferioară este $0$ , cea superioară este $1$ , iar niciuna nu este atinsă. Exemplul acesta arată limpede de ce sunt necesare două noțiuni diferite și nu una singură.

De ce infinitul nu este un număr real?

Fiindcă nu se supune regulilor de calcul: nu are opus, nu se poate scădea din el însuși și nu respectă proprietățile ordinii la operații. El se adaugă separat, ca simbol, ca să poată fi descrise limitele nemărginite.

Oamenii mai întreabă și: diferența dintre supremum și maxim · marginea superioară a unei mulțimi · sup A și max A · cel mai mic majorant