Care este poziția dreptei $$y=x+1$$ față de parabola $$y=x^2+2x-1$$?

nu se poate stabili fără a desena graficul

Este corectă afirmația: «O dreaptă verticală $$x=k$$ are exact un punct comun cu orice parabolă $$y=ax^2+bx+c$$, deci este tangentă acesteia»?

Nu — are un punct comun, dar îl traversează

Da, întotdeauna, pentru orice parabolă

Nu, pentru că nu poate avea niciun punct comun

Când este o dreaptă tangentă la o parabolă?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Dreaptă și parabolă: poziții relative

Când ecuația obținută prin egalarea celor două expresii are discriminantul zero, deci o rădăcină dublă. Practic pui $m x + n = a x^{2} + b x + c$ , aduci totul într-un membru și ceri $Δ = 0$ . Pentru dreapta $y = 3 x + n$ și parabola $y = x^{2} + x + 1$ rezultă $x^{2} - 2 x + 1 - n = 0$ cu $Δ = 4 n$ , deci tangența cere $n = 0$ . Un discriminant pozitiv dă două puncte comune, iar unul negativ niciunul.

Punctele comune ale dreptei $y = m x + n$ cu parabola $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) se obțin din ecuația de intersecție $a x^{2} + (b - m) x + (c - n) = 0$ , prin substituirea directă a lui $y$ . Semnul discriminantului $Δ = (b - m)^{2} - 4 a (c - n)$ decide poziția relativă: $Δ > 0$ înseamnă dreaptă secantă (două puncte comune), $Δ = 0$ înseamnă dreaptă tangentă (un punct, ca rădăcină dublă), iar $Δ < 0$ înseamnă dreaptă exterioară (niciun punct comun) — la fel cum o minge aruncată în arc de parabolă poate tăia, atinge sau ocoli un cablu întins. Condiția generală de tangență se scrie $(b - m)^{2} = 4 a (c - n)$ , iar punctul de contact are abscisa rădăcinii duble, $x = \frac{m - b}{2 a}$ . Atenție: dreptele verticale $x = k$ au mereu exact un punct comun cu parabola, dar nu sunt tangente — ele traversează parabola, iar teorema cu discriminantul se aplică doar dreptelor de forma $y = m x + n$ . Când dreapta e secantă, ea determină pe parabolă o coardă: folosind relațiile lui Viète pe ecuația de intersecție, abscisa mijlocului coardei este $\frac{m - b}{2 a}$ , iar lungimea ei este $∣ x_{1} - x_{2} ∣ \cdot 1 + m^{2}$ — ambele calculabile fără a rezolva efectiv ecuația.

De reținut

$Δ > 0$ secantă, $Δ = 0$ tangentă, $Δ < 0$ exterioară
condiția de tangență: $(b - m)^{2} = 4 a (c - n)$
dreptele verticale $x = k$ nu intră în discuția cu discriminantul

Greșeala tipică

Se numără un singur punct comun și se declară tangența, deși o dreaptă verticală taie parabola tot o dată fără să o atingă; tangența se decide din rădăcina dublă a ecuației de intersecție.

Exerciții din această mini-lecție

Care este poziția dreptei $y = x + 1$ față de parabola $y = x^{2} + 2 x - 1$ ?
- a) secantă
- b) tangentă
- c) exterioară
- d) nu se poate stabili fără a desena graficul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) secantă

Ecuația de intersecție: $x^{2} + 2 x - 1 = x + 1$ , adică $x^{2} + x - 2 = 0$ , cu $Δ = 1 + 8 = 9 > 0$ . Cum discriminantul e strict pozitiv, dreapta este secantă, cu două puncte comune: rădăcinile sunt $x = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ , adică $1$ și $- 2$ , deci punctele $(1, 2)$ și $(- 2, - 1)$ .
Determinați $n$ astfel încât dreapta $y = 3 x + n$ să fie tangentă parabolei $y = x^{2} + x + 1$ .
- a) $n = 0$
- b) $n = 1$
- c) $n = - 1$
- d) $n = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $n = 0$

Ecuația de intersecție: $x^{2} + x + 1 = 3 x + n$ , adică $x^{2} - 2 x + (1 - n) = 0$ , cu $Δ = 4 - 4 (1 - n) = 4 n$ . Condiția de tangență este $Δ = 0$ , deci $4 n = 0$ și $n = 0$ . Pentru celelalte opțiuni, $Δ \neq = 0$ : la $n = 1$ , $Δ = 4 > 0$ (secantă); la $n = - 1$ , $Δ = - 4 < 0$ (exterioară); la $n = 4$ , $Δ = 16 > 0$ (secantă).
Este corectă afirmația: «O dreaptă verticală $x = k$ are exact un punct comun cu orice parabolă $y = a x^{2} + b x + c$ , deci este tangentă acesteia»?
- a) Da, întotdeauna, pentru orice parabolă
- b) Nu — are un punct comun, dar îl traversează
- c) Da, dar numai dacă $a > 0$
- d) Nu, pentru că nu poate avea niciun punct comun
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu — are un punct comun, dar îl traversează

Este adevărat că $x = k$ întâlnește parabola exact o dată, în $(k, a k^{2} + bk + c)$ , fiindcă funcția atribuie fiecărui $x$ o singură valoare $y$ . Dar concluzia „deci e tangentă” este greșită: tangența înseamnă un punct comun obținut ca rădăcină dublă a ecuației de intersecție $a x^{2} + (b - m) x + (c - n) = 0$ , ceea ce presupune o dreaptă de forma $y = m x + n$ . O verticală nu se scrie astfel, deci nu intră deloc în această discuție — ea traversează parabola, trecând dintr-o parte în cealaltă, spre deosebire de o tangentă adevărată, care lasă toată parabola de aceeași parte.

Întrebări conexe

Cum aflu punctele comune ale unei drepte cu o parabolă?

Egalezi cele două expresii ale ordonatei și rezolvi ecuația de gradul al doilea obținută. Fiecare rădăcină dă abscisa unui punct comun, iar ordonata se calculează înlocuind în oricare dintre cele două formule. Pentru $y = x + 1$ și $y = x^{2} + 2 x - 1$ ies punctele $(1, 2)$ și $(- 2, - 1)$ .

Ce rol are discriminantul la intersecția dreptei cu parabola?

El numără punctele comune. Valoare pozitivă înseamnă două puncte, deci dreaptă secantă; valoare nulă înseamnă un punct de contact, deci tangentă; valoare negativă înseamnă că nu există puncte comune, deci dreaptă exterioară. Semnul se citește fără a rezolva ecuația.

Cum aflu panta tangentei la parabolă într-un punct dat?

Scrii dreapta prin acel punct cu pantă necunoscută, o intersectezi cu parabola și impui discriminant zero. Rezolvi ecuația în pantă și obții valoarea căutată. Metoda merge fără derivate și dă chiar rădăcina dublă în abscisa punctului de contact.

Ce drepte orizontale taie parabola în două puncte?

Cele aflate deasupra vârfului, când ramurile urcă, sau sub vârf, când ramurile coboară. Dreapta care trece chiar prin vârf atinge parabola într-un singur punct, iar cele de partea cealaltă nu o ating deloc. Practic, compari ordonata dreptei cu ordonata vârfului.

Cum determin m astfel încât dreapta să nu taie parabola?

Scrii ecuația de intersecție și ceri discriminant strict negativ. Rezolvi inecuația de gradul al doilea obținută în parametru și scrii mulțimea valorilor bune. Verifici cu o valoare din interior, desenând mental parabola și dreapta.

Oamenii mai întreabă și: condiția de tangență dreaptă parabolă · când o dreaptă atinge parabola · poziția dreptei față de parabolă · dreaptă tangentă la o parabolă