Dreaptă și parabolă: interpretarea geometrică a sistemelor

Un jucător lovește o minge care descrie în aer un arc de parabolă. Deasupra terenului, la o anumită înălțime, este întins un cablu drept — o antenă, o sfoară cu stegulețe, cablul unui reflector. Întrebarea antrenorului e simplă: mingea trece pe sub cablu, îl atinge exact o dată sau îl traversează? Răspunsul nu cere niciun instrument de măsură. Cere doar să rezolvi un sistem de două ecuații — una de gradul întâi (cablul), una de gradul al doilea (traiectoria) — și să te uiți la semnul unui singur număr: discriminantul.

Aceasta este ideea lecției. Programa de matematică-informatică o formulează exact așa: se evidențiază interpretarea geometrică a rezolvării sistemelor de forma $\{a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2\}$. Cu alte cuvinte, algebra pe care ai învățat-o în lecția despre sisteme cu ecuații de gradul al doilea capătă acum o imagine: două soluții înseamnă o dreaptă care taie parabola, o soluție înseamnă o dreaptă tangentă, nicio soluție înseamnă o dreaptă care trece pe alături. Iar relațiile lui Viète îți vor da, în plus, mijlocul și lungimea coardei — fără să calculezi rădăcinile.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi problema geometrică „unde se întâlnesc o dreaptă și o parabolă" într-o singură ecuație de gradul al doilea.
• Vei ști să decizi, din semnul lui $\Delta$, dacă dreapta este secantă, tangentă sau exterioară parabolei.
• Vei ști să determini tangentele de pantă dată și tangentele dintr-un punct dat, folosind condiția $\Delta =0$.
• Vei ști să scrii condiția generală de tangență $(b-m{)}^2=4a(c-n)$ și să o justifici.
• Vei ști să calculezi mijlocul și lungimea coardei determinate de o dreaptă secantă, folosind relațiile lui Viète.
• Vei ști să interpretezi în context practic coordonatele punctelor de intersecție a două reprezentări grafice.

Hai să descoperim împreună

1. De la geometrie la o singură ecuație

Fie parabola de ecuație $y=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$ — graficul funcției de gradul al doilea studiat în lecția despre vârf și axă de simetrie — și o dreaptă neverticală de ecuație $y=mx+n$.

Un punct $(x_0,y_0)$ aparține ambelor curbe exact atunci când coordonatele lui verifică ambele ecuații, adică atunci când perechea $(x_0,y_0)$ este soluție a sistemului

$$\{\begin{array}{l}y=a{x}^2+bx+c\\ y=mx+n.\end{array}$$

Sistemul e de tipul studiat deja: o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea. Substituim direct — ambele ecuații încep cu $y$ — și obținem $a{x}^2+bx+c=mx+n$, adică, după trecerea totului într-un membru:

$$\boxed{a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0.}$$

O numim ecuația de intersecție. Fiind de gradul al doilea (căci $a\ne 0$), ea are cel mult două rădăcini reale — deci o dreaptă și o parabolă au cel mult două puncte comune. Fiecare rădăcină $x_0$ dă un punct de intersecție, cu ordonata $y_0=m{x}_0+n$ (mai comod de calculat din dreaptă decât din parabolă).

2. Discriminantul decide poziția

Notăm discriminantul ecuației de intersecție:

$$\Delta =(b-m{)}^2-4a(c-n).$$

Teoremă (pozițiile relative ale unei drepte față de o parabolă). Fie parabola $y=a{x}^2+bx+c$ și dreapta $y=mx+n$. Atunci:

• dacă $\Delta >0$, dreapta este secantă: are exact două puncte comune cu parabola;
• dacă $\Delta =0$, dreapta este tangentă: are exact un punct comun;
• dacă $\Delta <0$, dreapta este exterioară: nu are niciun punct comun cu parabola.

Demonstrație. Punctele comune corespund biunivoc rădăcinilor reale ale ecuației de intersecție: pentru fiecare rădăcină $x_0$ există exact un punct $(x_0,m{x}_0+n)$ pe ambele curbe, iar rădăcini diferite dau puncte diferite (au abscise diferite). Numărul rădăcinilor reale ale unei ecuații de gradul al doilea este $2$, $1$ sau $0$, după cum $\Delta$ este pozitiv, nul sau negativ. $■$

3. Cele trei poziții pe un exemplu unic

Luăm parabola $y=x^2-4x+3$ și trei drepte.

Dreapta $y=x-1$. Ecuația de intersecție: $x^2-4x+3=x-1$, adică $x^2-5x+4=0$, cu $\Delta =25-16=9>0$. Rădăcinile sunt $x_1=1$ și $x_2=4$, deci punctele comune sunt $(1,0)$ și $(4,3)$. Control pe parabolă: $1-4+3=0$ ✓ și $16-16+3=3$ ✓. Dreapta este secantă.

Dreapta $y=-2x+2$. Ecuația: $x^2-4x+3=-2x+2$, adică $x^2-2x+1=0$, cu $\Delta =4-4=0$. Rădăcina dublă $x=1$ dă unicul punct comun $(1,0)$. Dreapta este tangentă în punctul $(1,0)$.

Dreapta $y=-x$. Ecuația: $x^2-4x+3=-x$, adică $x^2-3x+3=0$, cu $\Delta =9-12=-3<0$. Nu există puncte comune: dreapta este exterioară.

Observă cât de puțin lucru cere fiecare caz: o mutare de termeni, un discriminant, o concluzie.

4. Ce înseamnă „tangentă" — și ce nu înseamnă

La parabolă, „tangentă" înseamnă exact ce spune definiția algebrică: dreaptă care are un singur punct comun cu parabola, obținut ca rădăcină dublă a ecuației de intersecție. Geometric, tangenta „se sprijină" pe parabolă: în vecinătatea punctului de contact, toată parabola rămâne de aceeași parte a dreptei.

Există însă o capcană importantă. Dreptele verticale, de ecuație $x=k$, au întotdeauna exact un punct comun cu parabola — anume $(k,a{k}^2+bk+c)$ — dar nu sunt tangente: ele străpung parabola, trecând dintr-o parte în cealaltă. Motivul pentru care nu apar în teorema noastră e simplu: o dreaptă verticală nu se poate scrie sub forma $y=mx+n$, deci nu intră în discuția cu discriminantul. De aceea teorema se enunță pentru drepte neverticale.

O a doua observație: dreapta tangentă în vârful parabolei este orizontala $y=y_V$. Pentru $y=x^2-4x+3$, vârful e $V(2,-1)$, iar dreapta $y=-1$ dă ecuația $x^2-4x+4=0$, cu $\Delta =0$ — tangentă în vârf, așa cum era de așteptat.

5. Cum găsești tangentele

Toate problemele de tangență se reduc la aceeași condiție: $\Delta =0$. Diferă doar ce anume este necunoscut.

a) Tangenta de pantă dată. Se cunoaște panta $m$ și se caută $n$. Exemplu: tangenta de pantă $2$ la parabola $y=x^2-4x+3$. Ecuația de intersecție este $x^2-4x+3=2x+n$, adică $x^2-6x+3-n=0$, cu $\Delta =36-4(3-n)=24+4n$. Condiția $\Delta =0$ dă $n=-6$, deci tangenta este $y=2x-6$. Punctul de contact are abscisa $x=\frac{6}{2}=3$ (rădăcina dublă $-\frac{B}{2A}$) și ordonata $y=2\cdot 3-6=0$: punctul $(3,0)$. Control pe parabolă: $9-12+3=0$ ✓.

b) Tangentele dintr-un punct dat. Se cunoaște un punct $A(x_A,y_A)$ prin care trece dreapta și se caută panta $m$. Scriem dreapta ca $y=m(x-x_A)+y_A$ și impunem $\Delta =0$ — obținem o ecuație în $m$, de obicei de gradul al doilea. Vei rezolva un astfel de caz în Exemplul 3.

c) Condiția generală de tangență. Punând $\Delta =0$ în forma generală obținem relația

$$(b-m{)}^2=4a(c-n),$$

care leagă panta și ordonata la origine ale oricărei tangente la parabola $y=a{x}^2+bx+c$. E utilă când ambele mărimi sunt necunoscute și mai ai o condiție suplimentară.

6. Coarda: mijloc și lungime, cu Viète

Dacă dreapta este secantă, ea determină pe parabolă o coardă — segmentul dintre cele două puncte comune $A(x_1,y_1)$ și $B(x_2,y_2)$. Aici intervine elegant teorema din lecția despre relațiile lui Viète: abscisele $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ecuației de intersecție, deci

$$x_1+x_2=\frac{m-b}{a},x_1{x}_2=\frac{c-n}{a}.$$

De aici:

• abscisa mijlocului coardei este $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m-b}{2a}$ — se calculează fără a rezolva ecuația;
• lungimea coardei se obține din $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$ și din faptul că ambele puncte sunt pe dreapta de pantă $m$, deci $y_1-y_2=m(x_1-x_2)$. Rezultă

$$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=|x_1-x_2|\cdot \sqrt{1+m^2}.$$

Exemplu. Parabola $y=x^2$ și dreapta $y=x+2$. Ecuația de intersecție: $x^2-x-2=0$, cu $\Delta =9>0$. Din Viète, $x_1+x_2=1$ și $x_1{x}_2=-2$, deci $x_M=\frac{1}{2}$ și $|x_1-x_2|=\sqrt{1+8}=3$. Cum panta e $m=1$, lungimea coardei este $3\sqrt{2}$. Verificare directă: rădăcinile sunt $2$ și $-1$, punctele sunt $(2,4)$ și $(-1,1)$, iar distanța dintre ele este $\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ ✓. Mijlocul are coordonatele $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$.

7. Interpretarea geometrică a sistemelor

Acum putem citi geometric orice sistem de forma cerută de programă:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2.\end{array}$$

Prima ecuație descrie o dreaptă, a doua o parabolă. Soluțiile sistemului sunt exact coordonatele punctelor lor comune. Prin urmare, întreaga discuție algebrică — două soluții, una singură, niciuna — devine o afirmație despre desen. Reciproc, dacă ai desenul, poți anticipa câte soluții va avea sistemul înainte de a face vreun calcul.

Exemplu. Sistemul $\{x+y=3,y=x^2-2x+1\}$. Din prima ecuație, $y=3-x$; înlocuim: $x^2-2x+1=3-x$, adică $x^2-x-2=0$, cu $\Delta =9>0$, deci $x_1=2$ și $x_2=-1$. Soluțiile sunt $(2,1)$ și $(-1,4)$. Geometric: dreapta $y=3-x$ taie parabola $y=(x-1{)}^2$ în două puncte.

În context practic, punctul de intersecție are întotdeauna o poveste. Dacă parabola descrie traiectoria unui obiect aruncat, iar dreapta descrie un cablu întins, punctul comun este locul unde obiectul atinge cablul. Dacă parabola descrie profitul în funcție de numărul de produse, iar dreapta un cost fix pe unitate, punctele comune sunt pragurile de rentabilitate. Iar cazul $\Delta =0$ — un singur punct comun — corespunde de fiecare dată unei situații „la limită": atingere exactă, prag critic, valoare optimă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Stabilirea poziției

Stabiliți poziția dreptei $d:y=x-1$ față de parabola $y=x^2-2x$ și determinați eventualele puncte comune.

Rezolvare. Ecuația de intersecție: $x^2-2x=x-1$, adică $x^2-3x+1=0$. Discriminantul este $\Delta =9-4=5>0$, deci dreapta este secantă.

Punctele comune au abscisele $x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ și ordonatele $y=x-1$, adică $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Chiar dacă valorile sunt iraționale, concluzia geometrică — două puncte comune — s-a obținut instantaneu din semnul lui $\Delta$. Din Viète știm în plus că abscisa mijlocului coardei este $\frac{3}{2}$. $■$

Exemplul 2 — Tangenta de pantă dată

Determinați ecuația dreptei de pantă $4$, tangentă la parabola $y=x^2+2x+2$, și punctul de contact.

Rezolvare. Căutăm $n$ astfel încât $y=4x+n$ să fie tangentă. Ecuația de intersecție:

$$x^2+2x+2=4x+n⟺x^2-2x+2-n=0.$$

Condiția de tangență: $\Delta =4-4(2-n)=4n-4=0$, deci $n=1$. Tangenta este $y=4x+1$.

Punctul de contact are abscisa rădăcinii duble, $x=1$, și ordonata $y=4\cdot 1+1=5$. Control pe parabolă: $1+2+2=5$ ✓. Punctul de contact este $(1,5)$. $■$

Exemplul 3 — Tangentele dintr-un punct exterior

Determinați dreptele care trec prin punctul $A(0,-1)$ și sunt tangente la parabola $y=x^2$.

Rezolvare. Orice dreaptă neverticală prin $A$ are ecuația $y=mx-1$. (Verticala $x=0$ nu poate fi tangentă, conform observației din secțiunea 4.) Ecuația de intersecție:

$$x^2=mx-1⟺x^2-mx+1=0.$$

Condiția de tangență: $\Delta =m^2-4=0$, deci $m=2$ sau $m=-2$. Există două tangente: $y=2x-1$ și $y=-2x-1$.

Punctele de contact: pentru $m=2$, rădăcina dublă este $x=1$, deci punctul $(1,1)$; pentru $m=-2$, rădăcina dublă este $x=-1$, deci punctul $(-1,1)$. Control: $1^2=1$ ✓ și $(-1{)}^2=1$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Un sistem citit geometric

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}2x-y+3=0\\ y=-x^2+6x\end{array}$ și interpretați geometric rezultatul.

Rezolvare. Din prima ecuație, $y=2x+3$. Înlocuim în a doua:

$$-x^2+6x=2x+3⟺x^2-4x+3=0,$$

cu $\Delta =16-12=4>0$, deci $x_1=1$ și $x_2=3$. Soluțiile sistemului sunt $(1,5)$ și $(3,9)$. Control pe parabolă: $-1+6=5$ ✓ și $-9+18=9$ ✓.

Interpretare. Parabola $y=-x^2+6x$ are ramurile în jos și vârful în $(3,9)$; dreapta $y=2x+3$ o taie în două puncte, unul dintre ele fiind chiar vârful. Dacă parabola modelează traiectoria unei mingi (distanța pe orizontală, înălțimea pe verticală) și dreapta un cablu întins oblic, mingea atinge cablul la $1$ m și la $3$ m de la lansare. $■$

Exemplul 5 — Coarda determinată de o secantă

Dreapta $y=x-3$ intersectează parabola $y=x^2-2x-3$ în punctele $A$ și $B$. Determinați coordonatele lor, mijlocul segmentului $AB$ și lungimea lui.

Rezolvare. Ecuația de intersecție: $x^2-2x-3=x-3$, adică $x^2-3x=0$, cu $\Delta =9>0$. Rădăcinile sunt $x_1=0$ și $x_2=3$, deci $A(0,-3)$ și $B(3,0)$. Control pe parabolă: $-3$ ✓ și $9-6-3=0$ ✓.

Mijlocul: abscisa lui e $\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$ (coincide cu $\frac{m-b}{2a}=\frac{1+2}{2}$ ✓), iar ordonata $\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}$. Mijlocul este $M\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)$.

Lungimea: $|x_1-x_2|=3$ și panta este $m=1$, deci $AB=3\sqrt{1+1}=3\sqrt{2}$. Verificare directă: $\sqrt{(3-0{)}^2+(0+3{)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $y=mx+2$ este tangentă parabolei $y=x^2-x+3$ și precizați punctele de contact.

Rezolvare. Ecuația de intersecție:

$$x^2-x+3=mx+2⟺x^2-(1+m)x+1=0.$$

Condiția de tangență: $\Delta =(1+m{)}^2-4=0$, deci $(1+m{)}^2=4$ și $1+m=\pm 2$. Rezultă $m=1$ sau $m=-3$.

Pentru $m=1$: ecuația devine $x^2-2x+1=0$, cu rădăcina dublă $x=1$; punctul de contact este $(1,3)$. Control: parabola dă $1-1+3=3$, dreapta $y=x+2$ dă $3$ ✓.

Pentru $m=-3$: ecuația devine $x^2+2x+1=0$, cu rădăcina dublă $x=-1$; punctul de contact este $(-1,5)$. Control: parabola dă $1+1+3=5$, dreapta $y=-3x+2$ dă $5$ ✓.

Geometric, prin punctul $(0,2)$ — situat sub parabolă — trec exact două tangente la aceasta. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi ecuația de intersecție, apoi discriminantul, apoi concluzia geometrică.

1. Stabilește poziția dreptei $y=x$ față de parabola $y=x^2-2x$ și determină punctele comune.

2. Arată că dreapta $y=4x-4$ este tangentă parabolei $y=x^2$ și precizează punctul de contact.

3. Arată că dreapta $y=x-1$ nu are puncte comune cu parabola $y=x^2$.

4. Determină $n$ real astfel încât dreapta $y=2x+n$ să fie tangentă parabolei $y=x^2$. Care este punctul de contact?

5. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $y=mx+1$ este tangentă parabolei $y=x^2+2x+2$.

6. Determină dreptele care trec prin punctul $A(0,-4)$ și sunt tangente parabolei $y=x^2$.

7. Dreapta $y=x-3$ taie parabola $y=x^2-2x-3$ în punctele $A$ și $B$. Calculează lungimea segmentului $AB$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă verticală $x=k$ are exact un punct comun cu orice parabolă $y=a{x}^2+bx+c$, deci este tangentă acesteia."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă și o parabolă pot avea trei puncte comune."

10. Stabilește poziția dreptei $y=-x+1$ față de parabola $y=x^2+x+2$.

11. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y=x^2-x-2\end{array}$ și interpretează geometric soluțiile.

12. Determină $a$ real astfel încât dreapta $y=3$ să fie tangentă parabolei $y=x^2-4x+a$. Ce reprezintă punctul de contact pentru parabolă?

13. (Problemă aplicată.) Traiectoria unei mingi este descrisă de $y=-x^2+8x$ (distanța și înălțimea, în metri), iar o sfoară întinsă între doi stâlpi are ecuația $y=2x+5$. Stabilește dacă mingea atinge sfoara și, dacă da, la ce distanțe de la lansare.

14. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $y=mx-1$ intersectează parabola $y=x^2$ în două puncte distincte.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră parabola $y=x^2-3x+2$ și dreapta $y=x-1$. a) Determină punctele de intersecție. b) Calculează lungimea coardei determinate.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Dreapta $y=x+1$ intersectează parabola $y=x^2-2$ în punctele $A$ și $B$. Determină abscisa mijlocului segmentului $AB$, fără a rezolva ecuația de intersecție.

17. (Raționament.) Demonstrează că dreapta $y=mx+n$ este tangentă parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ dacă și numai dacă $(b-m{)}^2=4a(c-n)$.

18. (Provocare.) Determină dreptele care trec prin punctul $A(1,-3)$ și sunt tangente parabolei $y=x^2$. Ce observi comparând ecuația în $m$ obținută aici cu discriminantul din problema cu parametru $x^2-mx+m+3=0$?

Răspunsuri și explicații

1. Ecuația de intersecție: $x^2-2x=x$, adică $x^2-3x=0$, cu $\Delta =9>0$ — dreapta este secantă. Rădăcinile sunt $0$ și $3$, deci punctele comune sunt $(0,0)$ și $(3,3)$. Control pe parabolă: $9-6=3$ ✓.

2. $x^2=4x-4$, adică $x^2-4x+4=0$, cu $\Delta =16-16=0$ — tangentă. Rădăcina dublă $x=2$ dă punctul de contact $(2,4)$, care verifică ambele ecuații ✓.

3. $x^2=x-1$, adică $x^2-x+1=0$, cu $\Delta =1-4=-3<0$: nu există rădăcini reale, deci dreapta este exterioară parabolei.

4. $x^2=2x+n$, adică $x^2-2x-n=0$, cu $\Delta =4+4n$. Condiția $\Delta =0$ dă $n=-1$, deci dreapta $y=2x-1$. Rădăcina dublă este $x=1$, punctul de contact $(1,1)$.

5. $x^2+2x+2=mx+1$, adică $x^2+(2-m)x+1=0$, cu $\Delta =(2-m{)}^2-4=0$. Rezultă $2-m=\pm 2$, deci $m=0$ sau $m=4$. Pentru $m=0$, tangenta este orizontala $y=1$, cu contact în vârful $(-1,1)$; pentru $m=4$, tangenta $y=4x+1$ atinge parabola în $(1,5)$.

6. Dreptele prin $A$ au forma $y=mx-4$. Ecuația de intersecție: $x^2-mx+4=0$, cu $\Delta =m^2-16=0$, deci $m=\pm 4$. Tangentele sunt $y=4x-4$ (contact în $(2,4)$) și $y=-4x-4$ (contact în $(-2,4)$).

7. $x^2-2x-3=x-3$, adică $x^2-3x=0$, cu rădăcinile $0$ și $3$; punctele sunt $A(0,-3)$ și $B(3,0)$. Lungimea: $|x_1-x_2|\sqrt{1+m^2}=3\sqrt{2}$, adică $AB=3\sqrt{2}\approx 4,24$.

8. Fals (deși prima jumătate a enunțului e corectă). Este adevărat că $x=k$ întâlnește parabola exact o dată, în punctul $(k,a{k}^2+bk+c)$ — pentru că funcția atribuie fiecărui $x$ o singură valoare. Concluzia este însă greșită: dreapta nu este tangentă, ci traversează parabola, trecând dintr-o parte în cealaltă. Teorema cu discriminantul se referă numai la drepte neverticale, de forma $y=mx+n$.

9. Fals. Punctele comune corespund rădăcinilor ecuației $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$, care are cel mult două rădăcini reale, fiind de gradul al doilea ($a\ne 0$). Deci sunt posibile cel mult două puncte comune.

10. $x^2+x+2=-x+1$, adică $x^2+2x+1=0$, cu $\Delta =0$ — dreapta este tangentă, cu punctul de contact dat de rădăcina dublă $x=-1$, adică $(-1,2)$. Control: parabola dă $1-1+2=2$ ✓.

11. Din prima ecuație, $y=x+1$. Înlocuim: $x^2-x-2=x+1$, adică $x^2-2x-3=0$, cu $\Delta =4+12=16>0$; rădăcinile sunt $3$ și $-1$. Soluțiile sistemului sunt $(3,4)$ și $(-1,0)$. Geometric, dreapta $y=x+1$ este secantă parabolei $y=x^2-x-2$, tăind-o în aceste două puncte.

12. $x^2-4x+a=3$, adică $x^2-4x+a-3=0$, cu $\Delta =16-4(a-3)=0$, deci $a-3=4$ și $a=7$. Rădăcina dublă este $x=2$, deci punctul de contact este $(2,3)$ — chiar vârful parabolei $y=x^2-4x+7$, fiindcă tangenta este orizontală.

13. $-x^2+8x=2x+5$, adică $x^2-6x+5=0$, cu $\Delta =36-20=16>0$; rădăcinile sunt $1$ și $5$. Da, mingea atinge sfoara în două puncte: la $1$ m de la lansare (la înălțimea $7$ m) și la $5$ m (la înălțimea $15$ m). Control pe traiectorie: $-1+8=7$ ✓ și $-25+40=15$ ✓; pe sfoară: $2+5=7$ ✓ și $10+5=15$ ✓.

14. $x^2=mx-1$, adică $x^2-mx+1=0$. Două puncte distincte înseamnă $\Delta >0$: $m^2-4>0$, deci $m\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$. Pentru $m=\pm 2$ dreapta ar fi tangentă, iar pentru $m$ între $-2$ și $2$ nu ar atinge parabola.

15. a) $x^2-3x+2=x-1$, adică $x^2-4x+3=0$, cu $\Delta =4$; rădăcinile sunt $1$ și $3$, deci punctele sunt $(1,0)$ și $(3,2)$. b) $|x_1-x_2|=2$ și $m=1$, deci lungimea coardei este $2\sqrt{2}$. Verificare: $\sqrt{(3-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ✓.

16. Ecuația de intersecție: $x^2-2=x+1$, adică $x^2-x-3=0$, cu $\Delta =1+12=13>0$ (deci există într-adevăr două puncte). Din Viète, $x_1+x_2=1$, deci abscisa mijlocului este $\frac{1}{2}$ — obținută fără a calcula rădăcinile, care sunt iraționale.

17. Punctele comune corespund rădăcinilor ecuației $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$. Dreapta este tangentă exact atunci când această ecuație are rădăcină dublă, adică atunci când discriminantul ei este nul: $(b-m{)}^2-4a(c-n)=0$, echivalent cu $(b-m{)}^2=4a(c-n)$. Ambele implicații sunt imediate, fiindcă „un singur punct comun, ca rădăcină dublă" și „$\Delta =0$" sunt formulări ale aceleiași condiții. $■$

18. Dreptele prin $A(1,-3)$ au ecuația $y=m(x-1)-3=mx-m-3$. Ecuația de intersecție cu $y=x^2$ este $x^2-mx+m+3=0$, iar condiția de tangență cere $\Delta =m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=0$, adică $(m-6)(m+2)=0$, deci $m=6$ sau $m=-2$. Tangentele sunt $y=6x-9$ (contact în $(3,9)$) și $y=-2x-1$ (contact în $(-1,1)$); controlul se face imediat: $3^2=9$ ✓ și $(-1{)}^2=1$ ✓. Observația cerută: ecuația de intersecție este exact o ecuație cu parametru de felul celor studiate la relațiile lui Viète, unde condiția $\Delta \ge 0$ se citea „rădăcini reale". Aici, aceeași expresie $\Delta =(m-6)(m+2)$ are o citire geometrică: $\Delta >0$ înseamnă drepte secante prin $A$, $\Delta =0$ înseamnă cele două tangente, iar $\Delta <0$ (adică $m$ între $-2$ și $6$) înseamnă drepte prin $A$ care nu ating parabola.

De reținut

• Punctele comune ale dreptei $y=mx+n$ cu parabola $y=a{x}^2+bx+c$ sunt date de rădăcinile ecuației de intersecție $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$.
• Semnul lui $\Delta$ decide poziția: $\Delta >0$ → secantă (două puncte), $\Delta =0$ → tangentă (un punct, rădăcină dublă), $\Delta <0$ → exterioară (niciun punct).
• Condiția generală de tangență este $(b-m{)}^2=4a(c-n)$; punctul de contact are abscisa rădăcinii duble, $x=\frac{m-b}{2a}$.
• Dreptele verticale $x=k$ ating parabola exact o dată, dar nu sunt tangente — teorema se aplică doar dreptelor de forma $y=mx+n$.
• Pentru o coardă, Viète dă direct abscisa mijlocului $\frac{m-b}{2a}$ și lungimea $|x_1-x_2|\sqrt{1+m^2}$, fără a calcula rădăcinile.

Greșeli frecvente

• Confunzi „un punct comun" cu „tangentă". Verticalele au un punct comun fără să fie tangente. Tangența înseamnă rădăcină dublă a ecuației de intersecție, deci $\Delta =0$ pentru o dreaptă neverticală.
• Rezolvi ecuația de intersecție când ți se cere doar poziția. Dacă întrebarea e „secantă, tangentă sau exterioară?", calculezi doar $\Delta$ și te oprești. Rădăcinile sunt necesare abia când se cer punctele.
• Greșești semnele la mutarea termenilor. Ecuația corectă este $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$: din coeficientul lui $x$ se scade panta, iar din termenul liber se scade ordonata la origine a dreptei.
• Uiți să calculezi ordonata punctului de contact. Un punct de intersecție are două coordonate; după ce afli $x$, înlocuiește în ecuația dreptei (e mai simplă) și verifică pe parabolă.
• La tangentele dintr-un punct, uiți că pot fi două. Dintr-un punct exterior parabolei pleacă exact două tangente; ecuația în $m$ este de gradul al doilea și trebuie rezolvată complet.

Aplică acasă

1. Laboratorul grafic. Deschide GeoGebra sau Desmos, trasează parabola $y=x^2-4x+3$ și dreapta $y=mx+n$ cu două cursoare pentru $m$ și $n$. Mișcă-le și notează, pentru cinci poziții diferite, câte puncte comune vezi; verifică apoi de fiecare dată prin calculul lui $\Delta$. Găsește experimental un $n$ pentru care dreapta e tangentă la panta $m=-1$.

2. Mingea și cablul. Filmează (sau doar cronometrează) o minge aruncată în curte și estimează înălțimea maximă și distanța la care cade. Scrie o parabolă aproximativă pentru traiectorie, apoi alege înălțimea unui „cablu" imaginar și calculează dacă mingea l-ar atinge. Compară concluzia cu intuiția ta inițială.

3. Colecția de tangente. Alege parabola $y=x^2$ și cinci puncte pe ea, cu abscisele $-2,-1,0,1,2$. Pentru fiecare, determină ecuația tangentei impunând $\Delta =0$ și observă regularitatea coeficienților. Vei descoperi singur formula tangentei într-un punct — pe care o vei demonstra riguros la analiză matematică, în clasa a XI-a.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide capitolul funcției de gradul al doilea, făcând legătura cerută explicit de programa de matematică-informatică între algebră și geometrie: rezolvarea sistemului dintre o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea se citește ca poziție relativă a unei drepte față de o parabolă. Elevul trebuie să plece de aici cu reflexul de a scrie ecuația de intersecție și de a interpreta semnul discriminantului, precum și cu metoda impunerii condiției $\Delta =0$ pentru probleme de tangență.

Întrebări bune de control: „Câte puncte comune pot avea o dreaptă și o parabolă și de ce nu mai multe?"; „Ce înseamnă geometric $\Delta =0$ la ecuația de intersecție?"; „De ce dreapta $x=2$ nu e tangentă la $y=x^2$, deși o atinge într-un singur punct?". Semne că a înțeles: separă corect etapa „stabilesc poziția" (doar $\Delta$) de etapa „determin punctele" (rezolv ecuația), calculează ordonatele punctelor de contact și găsește ambele tangente dintr-un punct exterior.

La Bacalaureatul M1, tipul acesta de problemă apare frecvent în subiectul al II-lea: determinarea unui parametru pentru care o dreaptă este tangentă unei parabole, aflarea punctelor de intersecție, sau probleme aplicate de traiectorie. Baza teoretică e cea din lecțiile despre relațiile lui Viète și despre intersecțiile parabolei cu axele.

Întrebări frecvente

Câte puncte comune pot avea o dreaptă și o parabolă? Cel mult două. Punctele comune corespund rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea, care are cel mult două rădăcini reale. Sunt posibile deci trei situații: două puncte, un punct sau niciunul.

Cum aflu dacă o dreaptă este tangentă la o parabolă? Egalezi cele două expresii ale lui $y$, aduci totul într-un membru și calculezi discriminantul ecuației obținute. Dreapta e tangentă exact când acest discriminant este zero.

Ce este ecuația de intersecție? Ecuația $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$, obținută din $a{x}^2+bx+c=mx+n$. Rădăcinile ei sunt abscisele punctelor comune ale dreptei $y=mx+n$ cu parabola $y=a{x}^2+bx+c$.

Ce înseamnă că o dreaptă este exterioară parabolei? Că nu are niciun punct comun cu ea, adică ecuația de intersecție are discriminant negativ. Grafic, dreapta trece complet pe lângă parabolă, fără să o atingă.

Câte tangente pot duce dintr-un punct la o parabolă? Dintr-un punct exterior parabolei pleacă exact două tangente, dintr-un punct de pe parabolă una singură, iar dintr-un punct din interiorul parabolei niciuna. Se vede din semnul discriminantului ecuației în $m$.

De ce dreptele verticale nu sunt tangente, deși ating parabola o dată? Pentru că ele traversează parabola, trecând dintr-o parte în cealaltă, în loc să se sprijine pe ea. În plus, o verticală $x=k$ nu se poate scrie sub forma $y=mx+n$, deci nici nu intră în discuția cu discriminantul.

Cum calculez lungimea coardei fără să aflu rădăcinile? Folosești relațiile lui Viète: $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$, apoi înmulțești cu $\sqrt{1+m^2}$, unde $m$ este panta dreptei. Formula funcționează și când rădăcinile sunt iraționale.

Ce semnificație practică au punctele de intersecție? Ele sunt momentele sau locurile în care două mărimi devin egale: o traiectorie atinge un cablu, un profit egalează un cost, două oferte ajung la același preț. Cazul unui singur punct comun descrie mereu o situație-limită, de atingere exactă.