Ecuația dreptei care trece prin $$M_0(-2, 5)$$ și are panta $$m = -\dfrac34$$ este:

$$y = -\dfrac34 x + \dfrac{13}{2}$$

Dreapta care trece prin $$B(-4, 7)$$ și are unghiul de înclinare $$\alpha = 90^\circ$$ are ecuația:

nu se poate scrie nicio ecuație, pentru că dreapta nu are pantă

$$y - 7 = \operatorname{tg}90^\circ \cdot (x+4)$$

Cum scriu ecuația unei drepte știind panta?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuația dreptei: punct și pantă

Folosești formula $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , în care $(x_{0}, y_{0})$ este punctul dat, iar $m$ panta. Pentru punctul $A (2, 3)$ și panta $- 4$ iese $y - 3 = - 4 (x - 2)$ , adică $y = - 4 x + 11$ . Verificarea se face înlocuind coordonatele punctului: cele două părți trebuie să dea zero. Formula nu acoperă dreptele verticale, care se scriu direct sub forma $x = x_{0}$ .

O relație $F (x, y) = 0$ este ecuația unei drepte $d$ dacă mulțimea punctelor ale căror coordonate o verifică este exact $d$ : nici mai puțin (să nu piardă puncte ale dreptei), nici mai mult (să nu prindă puncte străine). De aceea demonstrațiile se fac prin dublă incluziune.

Prin punctul $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ trece o infinitate de drepte, câte una pentru fiecare unghi de înclinare; dacă fixăm și panta, rămâne una singură. Pentru un punct oarecare $P (x, y)$ al ei, panta calculată pe perechea $M_{0}$ , $P$ trebuie să fie $m$ , iar după înmulțirea cu numitorul se obține ecuația dreptei prin punct, cu panta dată: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Cele trei date din care se construiește sunt $x_{0}$ , $y_{0}$ și $m$ — nimic altceva.

Formula presupune că panta există, deci nu descrie dreptele verticale. Verticala prin $M_{0}$ are ecuația $x = x_{0}$ și se scrie separat, de fiecare dată; orizontala, în schimb, se obține din formulă pentru $m = 0$ și are ecuația $y = y_{0}$ . Familia $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , cu $m \in R$ , reunită cu verticala $x = x_{0}$ , formează fasciculul de vârf $M_{0}$ — iar verificarea verticalei la final este exact pasul care se sare cel mai des.

Dacă enunțul dă unghiul, se calculează întâi $m = tg α$ . Aceeași formulă revine, mai târziu, ca ecuație a tangentei la graficul unei funcții.

De reținut

$y - y_{0} = m (x - x_{0})$ — punct și pantă
Verificare: coordonatele punctului anulează ambele părți
Dreptele verticale se scriu $x = x_{0}$

Greșeala tipică

Se schimbă rolurile și se scrie $x - x_{0} = m (y - y_{0})$ . Panta înmulțește întotdeauna diferența absciselor, iar inversarea dă o dreaptă cu panta răsturnată, deci cu totul altă direcție.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația dreptei care trece prin $M_{0} (- 2, 5)$ și are panta $m = - \frac{3}{4}$ este:
- a) $y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{2}$
- b) $y = - \frac{3}{4} x + \frac{13}{2}$
- c) $y = - \frac{4}{3} x + \frac{7}{3}$
- d) $y = - \frac{3}{4} x - \frac{7}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{2}$

Scriem întâi formula cu paranteze: $y - 5 = - \frac{3}{4} (x - (- 2)) = - \frac{3}{4} (x + 2)$ , deci $y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{2} + 5 = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{2}$ . Varianta a doua apare dacă se scrie $x - 2$ în loc de $x + 2$ , iar a treia dacă se răstoarnă panta.
Dreapta care trece prin $B (- 4, 7)$ și are unghiul de înclinare $α = 9 0^{\circ}$ are ecuația:
- a) $y = 7$
- b) nu se poate scrie nicio ecuație, pentru că dreapta nu are pantă
- c) $x = - 4$
- d) $y - 7 = tg 9 0^{\circ} \cdot (x + 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = - 4$

Unghiul de $9 0^{\circ}$ înseamnă dreaptă verticală: toate punctele ei au abscisa $- 4$ , deci ecuația este $x = - 4$ . Lipsa pantei nu înseamnă lipsa ecuației — înseamnă doar că formula punct-pantă nu se aplică, fiindcă $tg 9 0^{\circ}$ nu există. Ecuația $y = 7$ este a orizontalei prin $B$ .
Dintre dreptele care trec prin $P (3, - 1)$ , cea care trece și prin $Q (- 1, 7)$ are ecuația:
- a) $y = - 2 x - 5$
- b) $y = - 2 x + 5$
- c) $y = 2 x - 7$
- d) $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y = - 2 x + 5$

Panta este $m = \frac{7 - ( - 1 )}{- 1 - 3} = \frac{8}{- 4} = - 2$ , iar formula punct-pantă dă $y + 1 = - 2 (x - 3)$ , adică $y = - 2 x + 5$ . Verificare pe ambele puncte: $- 2 \cdot 3 + 5 = - 1$ ✓ și $- 2 \cdot (- 1) + 5 = 7$ ✓. Verticala $x = 3$ nu trece prin $Q$ , deci soluția este unică.

Întrebări conexe

Cum găsesc alte puncte de pe dreapta obținută?

Dai o valoare oarecare abscisei și calculezi ordonata din ecuație. Pentru $y = - 4 x + 11$ , alegerea $x = 1$ dă punctul $(1, 7)$ , iar alegerea $x = 3$ dă $(3, - 1)$ ; oricâte astfel de perechi se pot obține.

Cum trec de la forma cu punct și pantă la forma explicită?

Desfaci paranteza și treci termenul liber în dreapta, până rămâne $y$ singur. Din $y - 3 = - 4 (x - 2)$ ies $y - 3 = - 4 x + 8$ și apoi $y = - 4 x + 11$ , deci ordonata la origine este $11$ .

Ce ecuație are dreapta orizontală printr-un punct dat?

Are forma $y = y_{0}$ , fiindcă panta este zero, iar formula generală se reduce la $y - y_{0} = 0$ . Ordonata rămâne constantă, oricare ar fi abscisa punctelor de pe ea.

Cum scriu ecuația unei drepte verticale?

Direct, sub forma $x = x_{0}$ , fără să folosești panta. O astfel de dreaptă face un unghi drept cu axa orizontală, iar tangenta acelui unghi nu există, deci formula obișnuită nu i se poate aplica.

Ce reprezintă m și ce reprezintă punctul din formulă?

Panta $m$ fixează direcția, iar punctul fixează poziția. Luate separat, fiecare dintre ele lasă la fel de multe posibilități; împreună însă nu mai rămâne decât o singură dreaptă, ceea ce face formula folositoare.

Cum aflu ecuația medianei unui triunghi dat prin coordonate?

Calculezi întâi mijlocul laturii opuse vârfului, apoi panta dintre vârf și acel mijloc, iar la final aplici formula. Se obține astfel ecuația dreptei care trece prin vârf și prin mijlocul laturii opuse.

Oamenii mai întreabă și: ecuația dreptei prin punct și pantă · formula y minus y zero egal m ori x minus x zero · cum scriu ecuația unei drepte cu panta dată · dreaptă printr-un punct cu panta m