Ce înseamnă y egal cu mx plus n?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuația explicită a dreptei

Este forma în care ordonata se scrie direct în funcție de abscisă: $m$ dă panta, iar $n$ este valoarea lui $y$ în punctul în care dreapta taie axa verticală. Pentru $y = 2 x - 1$ , dreapta urcă cu două unități la fiecare pas spre dreapta și trece prin punctul $(0, - 1)$ . Sub această formă se pot scrie toate dreptele, în afară de cele verticale, care nu au pantă.

O dreaptă neverticală se poate comprima în două numere. Desfăcând paranteza în ecuația punct-pantă și izolând $y$ , rămâne ecuația explicită (numită și redusă): $y = m x + n$ , unde $m$ este panta, iar $n$ este ordonata la origine — pentru $x = 0$ se obține $y = n$ , deci dreapta taie axa $O y$ în punctul $(0, n)$ .

Cele două numere au roluri complementare: $m$ dă direcția, $n$ dă poziția. Schimbând $m$ roteșți dreapta în jurul punctului $(0, n)$ ; schimbând $n$ o translatezi pe verticală, fără să-i modifici înclinarea.

O dreaptă admite ecuație explicită dacă și numai dacă nu este verticală: verticala $x = x_{0}$ nu are pantă, deci nu există niciun $m$ potrivit; orizontala, în schimb, se scrie fără dificultate, cu $m = 0$ . În plus, perechea $(m, n)$ este unic determinată de dreaptă — de aici metoda identificării coeficienților: două drepte coincid exact când au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine, iar cu aceeași pantă și ordonate diferite sunt paralele distincte.

Intersecțiile se citesc imediat: $(0, n)$ cu $O y$ și $(- \frac{n}{m}, 0)$ cu $O x$ , cu condiția $m \neq = 0$ . Împreună cu originea ele închid un triunghi dreptunghic de arie $S = \frac{n ^{2}}{2 ∣ m ∣}$ , cerință frecventă la Bacalaureat M1. Trecerea în forma generală se face mutând totul într-un membru: $m x - y + n = 0$ .

De reținut

$y = m x + n$ : $m$ = panta, $n$ = ordonata la origine
Dreptele verticale NU au ecuație explicită
Paralele $⟺$ același $m$ ; confundate $⟺$ același $m$ și același $n$

Greșeala tipică

Se citește $n$ drept punctul în care dreapta taie axa orizontală. Termenul liber dă tăietura cu axa verticală; tăietura cu cea orizontală se află rezolvând ecuația $m x + n = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta $d : y = - \frac{3}{4} x + 6$ intersectează axa $O x$ în punctul:
- a) $(0, 6)$
- b) $(- \frac{3}{4}, 0)$
- c) $(- 8, 0)$
- d) $(8, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(8, 0)$

Pe axa $O x$ ordonata este nulă, deci $- \frac{3}{4} x + 6 = 0$ , de unde $x = 8$ și punctul este $(8, 0)$ . Punctul $(0, 6)$ este intersecția cu cealaltă axă — acolo se citește ordonata la origine.
Aria triunghiului determinat de dreapta $y = 2 x - 6$ împreună cu axele de coordonate este egală cu:
- a) $18$
- b) $9$
- c) $\frac{9}{2}$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9$

Intersecțiile sunt $(0, - 6)$ cu $O y$ și, din $2 x - 6 = 0$ , punctul $(3, 0)$ cu $O x$ . Triunghiul este dreptunghic în origine, cu catetele $3$ și $6$ , deci $S = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ . Formula directă dă același rezultat: $S = \frac{n ^{2}}{2 ∣ m ∣} = \frac{36}{4} = 9$ .
Dreapta paralelă cu $d : y = \frac{2}{3} x - 5$ care trece prin punctul $A (9, - 1)$ are ecuația:
- a) $y = \frac{3}{2} x - 7$
- b) $y = \frac{2}{3} x - 5$
- c) $y = \frac{2}{3} x - 7$
- d) $y = \frac{2}{3} x + 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = \frac{2}{3} x - 7$

Paralelele au aceeași pantă, deci ecuația este $y = \frac{2}{3} x + n$ . Punând coordonatele lui $A$ : $- 1 = \frac{2}{3} \cdot 9 + n = 6 + n$ , deci $n = - 7$ . Varianta a doua este chiar dreapta $d$ — o paralelă distinctă are ordonata la origine diferită.

Întrebări conexe

Cum verific dacă un punct se află pe dreapta y egal mx plus n?

Înlocuiești abscisa punctului în partea dreaptă și compari rezultatul cu ordonata lui. Pentru $y = 2 x - 1$ și punctul $(3, 5)$ iese $2 \cdot 3 - 1 = 5$ , deci punctul aparține dreptei; orice altă valoare ar însemna că nu.

Ce ecuație explicită are dreapta prin origine?

Are forma $y = m x$ , fiindcă punctul $(0, 0)$ obligă termenul liber să fie zero. Astfel de drepte descriu mărimi direct proporționale, iar panta joacă rolul coeficientului de proporționalitate.

Ce legătură are panta cu unghiul dintre dreaptă și axa Ox?

Panta este tangenta unghiului format de dreaptă cu sensul pozitiv al axei orizontale: $m = tg α$ . O dreaptă care urcă la $45°$ are panta $1$ , una orizontală are panta $0$ , iar pentru unghiuri obtuze panta iese negativă. Verticala nu are pantă, fiindcă tangenta de $90°$ nu există.

Ce se întâmplă cu graficul dacă m rămâne fix și n crește?

Dreapta urcă paralel cu ea însăși, fără să își schimbe înclinarea. Familia obținută astfel acoperă tot planul, câte o dreaptă prin fiecare punct, ceea ce se folosește la problemele cu drepte paralele impuse.

Ce legătură are ecuația explicită cu funcția de gradul întâi?

Graficul funcției $f (x) = m x + n$ este chiar dreapta cu această ecuație, iar panta este rata cu care se schimbă valoarea funcției. De aceea studiul dreptelor și cel al funcțiilor afine merg mână în mână.

Cum trec de la forma explicită la cea generală?

Muți totul în stânga și, dacă apar fracții, înmulțești cu numitorul comun. Din $y = \frac{2}{3} x - 1$ ies pe rând $3 y = 2 x - 3$ și apoi $2 x - 3 y - 3 = 0$ , care are coeficienți întregi.

Oamenii mai întreabă și: ecuația explicită a dreptei · y egal mx plus n · panta și ordonata la origine · forma explicită a unei drepte