Centrul și raza cercului $$2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 6 = 0$$ sunt:

$$C(2, -3)$$ și $$r = \sqrt{3}$$

Ce coeficient dă abscisa centrului unui cerc?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ecuația generală a cercului

Jumătate din coeficientul lui $x$ , luată cu semn schimbat. În forma generală $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , numărul care înmulțește pe $x$ este $2 m$ , deci abscisa centrului iese $- m$ . Din $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$ se obțin $m = 3$ și $n = - 4$ , adică centrul $(- 3, 4)$ , iar raza vine din $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ , aici $9 + 16 + 11 = 36$ .

Desfăcând parantezele din ecuația canonică se ajunge la ecuația generală a cercului: $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , cu centrul $C (- m, - n)$ și $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ . Atenție la coeficienți: numărul care înmulțește pe $x$ este $2 m$ , nu $m$ , deci abscisa centrului este jumătate din coeficientul lui $x$ , cu semn schimbat.

Ecuația reprezintă un cerc adevărat numai dacă $m^{2} + n^{2} - p > 0$ ; pentru valoarea zero rămâne un singur punct, iar pentru valori negative mulțimea vidă. Verificarea acestei condiții este parte din răspuns, nu un amănunt. O ecuație de gradul al doilea poate fi ecuație de cerc numai dacă are coeficienți egali la $x^{2}$ și $y^{2}$ și nu conține termenul $x y$ ; înainte de orice calcul se împarte la coeficientul comun al pătratelor, altfel formulele centrului și razei dau rezultate false.

Condiția ca un punct să aparțină cercului este liniară în $m$ , $n$ și $p$ , ceea ce face ca cercul prin trei puncte să se determine rezolvând un sistem $3 \times 3$ . Determinantul acestui sistem este de patru ori determinantul de coliniaritate al celor trei puncte, deci se anulează exact când punctele sunt coliniare — caz în care niciun cerc nu trece prin ele. Regula de numărare a condițiilor: trei necunoscute înseamnă trei condiții. Cercul găsit se verifică substituind toate cele trei puncte și recalculând raza ca distanță de la centru.

De reținut

$x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , cu centrul $(- m, - n)$ și $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$
cerc adevărat numai dacă $m^{2} + n^{2} - p > 0$
fără termen $x y$ și cu aceiași coeficienți la $x^{2}$ și la $y^{2}$

Greșeala tipică

Se ia drept $m$ chiar numărul care înmulțește pe $x$ . Coeficientul acela este $2 m$ , așa că din $6 x$ iese $m = 3$ , iar abscisa centrului este $- 3$ , nu $- 6$ .

Exerciții din această mini-lecție

Centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 11 = 0$ sunt:
- a) $C (- 3, 4)$ și $r = 6$
- b) $C (6, - 8)$ și $r = 6$
- c) $C (3, - 4)$ și $r = 36$
- d) $C (3, - 4)$ și $r = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $C (3, - 4)$ și $r = 6$

Din $2 m = - 6$ rezultă $m = - 3$ , iar din $2 n = 8$ rezultă $n = 4$ ; centrul este $C (- m, - n) = (3, - 4)$ . Apoi $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p = 9 + 16 + 11 = 36$ , deci $r = 6$ . Varianta $C (6, - 8)$ ia coeficienții drept $m$ și $n$ , iar $C (- 3, 4)$ uită schimbarea de semn.
Mulțimea descrisă de ecuația $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13 = 0$ este:
- a) un singur punct, $(2, - 3)$
- b) mulțimea vidă
- c) o reuniune de două drepte
- d) un cerc de rază $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) un singur punct, $(2, - 3)$

Avem $m = - 2$ , $n = 3$ , $p = 13$ , deci $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p = 4 + 9 - 13 = 0$ . Când expresia se anulează, ecuația se scrie $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 0$ și are o singură soluție reală, punctul $(2, - 3)$ — un cerc „de rază nulă”, adică un punct. Mulțimea vidă apare doar când $m^{2} + n^{2} - p < 0$ .
Centrul și raza cercului $2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 12 y - 6 = 0$ sunt:
- a) $C (2, - 3)$ și $r = 3$
- b) $C (2, - 3)$ și $r = 4$
- c) $C (- 2, 3)$ și $r = 4$
- d) $C (4, - 6)$ și $r = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $C (2, - 3)$ și $r = 4$

Formulele centrului și razei sunt valabile numai pentru coeficientul $1$ la pătrate, deci se împarte întâi prin $2$ : $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ . De aici $m = - 2$ , $n = 3$ , $p = - 3$ , deci $C (2, - 3)$ și $r^{2} = 4 + 9 + 3 = 16$ , adică $r = 4$ . Citirea directă din ecuația neîmpărțită dă centrul $(4, - 6)$ , greșit.

Întrebări conexe

Ce se face când coeficientul pătratelor nu este 1?

Se împarte toată ecuația prin el, înainte de orice identificare. Formulele centrului și razei sunt scrise pentru coeficientul $1$ , așa că aplicate direct pe $3 x^{2} + 3 y^{2} - 12 x + 6 y - 15 = 0$ dau rezultate false; după împărțire ies $m = - 2$ , $n = 1$ și $p = - 5$ .

Când reprezintă ecuația un singur punct?

Când $m^{2} + n^{2} - p = 0$ . Atunci suma a două pătrate este nulă, ceea ce se întâmplă doar pentru $x = - m$ și $y = - n$ , deci mulțimea se reduce la centru. Pentru valori negative ale aceleiași expresii nu există niciun punct.

Ce termen nu are voie să apară în ecuația unui cerc?

Termenul cu produsul $x y$ . Prezența lui arată o conică rotită față de axe, care nu poate fi cerc. A doua cerință este ca $x^{2}$ și $y^{2}$ să aibă același coeficient; dacă vreuna dintre ele cade, ecuația descrie altceva.

Ce sistem se rezolvă la cercul prin trei puncte?

Unul liniar cu trei ecuații și trei necunoscute, $m$ , $n$ și $p$ . Condiția ca un punct să se afle pe cerc este liniară în aceste necunoscute, fiindcă pătratele coordonatelor sunt numere cunoscute. Se rezolvă prin substituție sau cu formulele lui Cramer.

Ce legătură are determinantul sistemului cu coliniaritatea?

Este de patru ori determinantul care spune dacă cele trei puncte stau pe o dreaptă. Prin urmare el se anulează exact atunci când punctele sunt coliniare, iar în acel caz sistemul nu are soluție bine determinată și niciun cerc nu trece prin ele.

Cum se verifică un cerc găsit din condiții?

Se substituie fiecare punct din enunț în ecuația obținută și se cere ca egalitatea să iasă. În plus, raza se recalculează ca distanță de la centrul găsit până la unul dintre puncte, iar cele două valori trebuie să coincidă.

Oamenii mai întreabă și: ecuația generală a cercului · centrul din ecuația generală · cercul prin trei puncte · când e o ecuație de cerc · raza din ecuația generală