Ce înseamnă forma ax plus by plus c egal 0?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuația generală a dreptei

Este scrierea în care toți termenii stau într-o parte, iar coeficienții $a$ și $b$ nu se anulează amândoi deodată. Ea acoperă orice dreaptă din plan, inclusiv verticalele, care ies când $b = 0$ . Din $2 x - 3 y + 6 = 0$ se scoate panta $\frac{2}{3}$ , împărțind coeficientul lui $x$ la cel al lui $y$ și schimbând semnul. Aceeași dreaptă are o infinitate de astfel de scrieri, toate proporționale între ele.

Forma explicită are un gol: verticalele. Ecuația generală îl astupă. Ea se scrie $a x + b y + c = 0$ , cu $a$ și $b$ nu simultan nule — condiția nu e un capriciu: pentru $a = b = 0$ ecuația ar deveni $c = 0$ , adică fie o afirmație falsă (nicio soluție), fie una mereu adevărată (tot planul), iar niciuna dintre cele două mulțimi nu este o dreaptă.

Teorema care justifică numele: mulțimea punctelor care verifică o astfel de ecuație este întotdeauna o dreaptă și, reciproc, orice dreaptă din plan admite o asemenea ecuație. Nicio dreaptă nu scapă și nimic în afară de drepte nu se strecoară înăuntru.

Trecerea în forma explicită se face izolând $y$ , posibilă exact când $b \neq = 0$ : $m = - \frac{a}{b}$ și $n = - \frac{c}{b}$ — ambele cu minus. Coeficienții se citesc și geometric: $b = 0$ înseamnă dreaptă verticală $x = - \frac{c}{a}$ , fără pantă; $a = 0$ înseamnă dreaptă orizontală, cu panta $0$ ; $c = 0$ înseamnă dreaptă prin origine, pentru că $O (0, 0)$ verifică ecuația.

Spre deosebire de forma explicită, cea generală nu este unică: două ecuații descriu aceeași dreaptă exact când tripletele $(a, b, c)$ sunt proporționale, cu factor nenul — toți trei coeficienții, termenul liber inclus. De obicei se alege reprezentantul cu coeficienți întregi, fără factor comun. Apartenența unui punct se decide prin substituție, iar intersecțiile cu axele anulând, pe rând, câte o coordonată.

De reținut

$a x + b y + c = 0$ , cu $a$ și $b$ nu amândoi nuli
$b \neq = 0 \Rightarrow m = - \frac{a}{b}$ ; $b = 0 \Rightarrow$ dreaptă verticală
Ecuațiile proporționale descriu aceeași dreaptă

Greșeala tipică

Se citește panta direct din coeficientul lui $x$ , adică se scrie $m = a$ . Panta se obține împărțind cei doi coeficienți și schimbând semnul, deci pentru $2 x - 3 y + 6 = 0$ ea nu este $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Panta dreptei de ecuație $5 x + 2 y - 8 = 0$ este:
- a) $\frac{5}{2}$
- b) $- \frac{5}{2}$
- c) $- \frac{2}{5}$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{5}{2}$

Izolăm $y$ : $2 y = - 5 x + 8$ , deci $y = - \frac{5}{2} x + 4$ și panta este $m = - \frac{5}{2}$ . Formula $m = - \frac{a}{b}$ dă același rezultat — cu minus. Varianta $\frac{5}{2}$ este exact greșeala de semn care apare când se citește $\frac{a}{b}$ .
Ordonata la origine a dreptei $2 x - 5 y - 20 = 0$ este:
- a) $- 4$
- b) $- 20$
- c) $4$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 4$

Punem $x = 0$ : $- 5 y - 20 = 0$ , deci $y = - 4$ . Cu formula, $n = - \frac{c}{b} = - \frac{- 20}{- 5} = - 4$ . Varianta $- 20$ este termenul liber $c$ , care nu este ordonata la origine — confuzia se evită punând efectiv $x = 0$ .
Care dintre următoarele ecuații reprezintă aceeași dreaptă ca $3 x - 5 y + 15 = 0$ ?
- a) $3 x - 5 y + 30 = 0$
- b) $6 x - 10 y + 15 = 0$
- c) $- 9 x + 15 y - 45 = 0$
- d) $5 x - 3 y + 15 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 9 x + 15 y - 45 = 0$

Două ecuații dau aceeași dreaptă exact când tripletele lor de coeficienți sunt proporționale, cu tot cu termenul liber: $(- 9, 15, - 45) = (- 3) \cdot (3, - 5, 15)$ ✓. Prima variantă are aceiași $a$ și $b$ , dar alt termen liber; a doua a înmulțit doar primii doi coeficienți.

Întrebări conexe

Ce condiție trebuie să respecte a și b în ecuația generală?

Cel puțin unul dintre ei trebuie să fie diferit de zero. Dacă amândoi s-ar anula, egalitatea ar deveni $c = 0$ , adică fie o afirmație falsă, fie una adevărată pentru tot planul — în niciun caz o dreaptă.

Ce dreaptă are ecuația x egal 5?

O dreaptă verticală, formată din toate punctele cu abscisa $5$ , indiferent de ordonată. În forma generală ea se scrie $x - 5 = 0$ , deci coeficientul lui $y$ este zero, ceea ce explică de ce nu are pantă.

Ce direcție este perpendiculară pe dreapta ax plus by plus c egal 0?

Perechea de coeficienți $(a, b)$ dă chiar o direcție perpendiculară pe dreaptă, numită direcție normală. Din ea se obține imediat formula distanței de la un punct la dreaptă, unde apare $a^{2} + b^{2}$ .

Cum aduc o ecuație cu fracții la coeficienți întregi?

Înmulțești toată egalitatea cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Operația nu schimbă mulțimea punctelor, fiindcă zero înmulțit cu orice rămâne zero, deci dreapta este aceeași.

Ce ecuație generală are axa Ox?

Este $y = 0$ , adică toate punctele cu ordonata nulă. Analog, axa verticală are ecuația $x = 0$ . Ele sunt cazurile extreme în care unul dintre cei doi coeficienți dispare, iar termenul liber este și el zero.

De ce se preferă ecuația generală în formulele de distanță?

Fiindcă tratează la fel toate dreptele, inclusiv verticalele, iar coeficienții intră direct în formulă. O formulă scrisă cu panta ar avea nevoie de un caz separat exact acolo unde panta nu există.

Oamenii mai întreabă și: ecuația generală a dreptei · ax plus by plus c egal zero · forma implicită a unei drepte · cum aflu panta din ecuația generală